K-M 花樣分析法測定薄晶體厚度和消光距離的不確定度評定

婁艷芝 李玉武

1) (中國航發(fā)北京航空材料研究院,北京 100095)

2) (國家環(huán)境分析測試中心,北京 100029)

本文通過分析200 kV 加速電壓條件下,單晶Si 薄膜樣品的透射電子顯微鏡(TEM)雙束會聚束衍射(CBED) Kossel-M?llenstedt (K-M)花樣,測定了單晶Si 薄膜樣品的局部厚度和Si 晶體(400)晶面的消光距離ξ400.分析了影響測量不確定度的因素,并運用一階偏導的方法討論了各個因素對測量不確定度的影響系數(shù),依據(jù)GB/T 27418-2017《測量不確定度評定與表示》對實驗估計值進行了不確定度評定.結論如下:被測Si 晶體局部厚度的實驗估計值為239 nm,其合成標準不確定度為5 nm,相對標準不確定度為2.2%;包含概率為0.95 時,包含因子為2.07,擴展不確定度為11 nm;加速電壓為200 kV 時,Si 晶體(400)晶面的消光距離ξ400的實驗估計值為194 nm,合成標準不確定度為20 nm;包含概率為0.85 時,包含因子為1.49,擴展不確定度為30 nm.影響試樣厚度t0合成標準不確定度的主要因素是相機常數(shù)、加速電壓和試樣厚度;影響消光距離ξ 合成標準不確定度的主要因素是相機常數(shù)、加速電壓和消光距離.雙束K-M花樣測量數(shù)據(jù)的測量不確定度u(Δθi)對消光距離不確定度的影響約是對試樣厚度不確定度影響的ni(ξ/t)3 (ni為正整數(shù),ni≥1)倍,對擬合直線斜率的不確定度的影響是對截距不確定度影響的ni倍.如果試樣有一定厚度,即ni＞1,則用TEM 雙束會聚束衍射K-M 花樣分析薄晶體厚度的不確定度較小,而用此方法分析消光距離的不確定度較大.

1 引言

薄晶體樣品的局部厚度在很多情況下需要精確測定,如高分辨圖像模擬、聚焦離子束(FIB)樣品制備、X 射線能譜(EDS)定量分析時的吸收與熒光修正、半導體器件的物理分析、金屬材料中析出相含量以及位錯密度的測定等相關科研工作[1-4].目前測定薄晶體厚度的方法有很多,常用的有消光輪廓法、滑移痕跡法、電子能量損失譜(EELS)和透射電子顯微鏡雙束會聚束衍射法(CBED)等[5-7],其中EELS 和CBED 的測量精確度較高.樣品厚度較小(如:＜20 nm)時,可選用EELS 測量,但如果樣品太厚,將無法得到較好的能損譜,且數(shù)據(jù)處理過程中需要估算電子在此物質中的平均自由程,一般誤差較大.樣品厚度在50—200 nm 之間時,采用CBED 方法可以得到更準確的分析結果,這是因為基于雙束動力學衍射理論的會聚束電子衍射K-M 花樣對薄晶體厚度非常敏感,可以通過分析K-M 花樣暗條紋位置,從而精確測定薄晶體的厚度.CBED 方法的另一優(yōu)點是在分析薄晶體樣品厚度的同時可以得到該晶體在特定條件下的消光距離.

選用不同的薄晶體厚度測定方法得到的測試結果,其精確度各不相同.在給出厚度測量結果的同時,可以給出測量不確定度.測量不確定度簡稱不確定度,它是表征測試結果分散性的一個非負參數(shù),是測試結果可信度的量度.通常,不確定度是賦予被測值的,該值的改變將導致相應不確定度的改變.不確定度一般由若干分量組成,它是各個分量的不確定度引起的測試結果不確定度的疊加,體現(xiàn)了測試結果的最大誤差范圍,反映了測試結果的置信水平.影響不確定度的分量一般可以分為兩類:一類是可以在規(guī)定測試條件下,將測量值用統(tǒng)計分析的方法進行評定的不確定度分量,此為A 類不確定度,如暗條紋位置這個測量值的不確定度,這類不確定度會隨著測量次數(shù)的增加而減小;除A 類以外,其他影響不確定度的分量可歸納為B 類不確定度分量,如加速電壓的波動、經檢定的透射電鏡的型號和等級等,此類不確定度由實驗設備的水平決定,與測試人員和測量次數(shù)無關.

關于通過雙束會聚束衍射K-M 花樣測定薄晶體厚度的不確定度水平,很多資料都有提及,多數(shù)文獻給出了不確定度的大概范圍,如Spence 和Zuo[8]在專著中提到測量誤差可以小于2%.Delille 等[7]通過對能量過濾K-M 花樣的分析,得到測量誤差優(yōu)于1%,此誤差是軟件擬合時得到的擬合誤差,它與本文的直線擬合誤差一致,是不確定度的一個分量.事實上,采用CBED 方法測定薄晶體厚度時,不確定度的值因厚度值的改變而有所不同,同時也與晶體在特定條件下消光距離的大小有關,不能一概而論.

本文以目前常規(guī)配置透射電鏡(無能量過濾器)和常用實驗條件(U=200 kV)下得到的Si 晶體(400)晶面的雙束會聚束衍射K-M 花樣為例,采用國家標準[9]描述的薄晶體厚度測定方法,分析得到了Si 晶體的局部厚度和加速電壓200 kV 條件下、(400)晶面的消光距離的實驗估計值;采用一階偏導的方法,推導了試樣厚度和消光距離的測量不確定度,比較了厚度和消光距離兩個被測量在不確定度水平方面的差異,討論了差異產生的原因,給出了影響分析結果不確定度的主要因素以及各個因素的靈敏系數(shù).計算結果表明,通過降低主要影響因素的不確定度分量可以實現(xiàn)降低分析結果測量不確定度的目的.本文為改善雙束會聚束衍射K-M 花樣法測定薄晶體厚度的不確定度水平指明了努力的方向,為目前常規(guī)實驗條件下雙束會聚束衍射K-M 花樣法測定薄晶體厚度分析結果的測量不確定度評定,提供了具體實例和科學依據(jù).

2 實驗結果

本文分析用實驗數(shù)據(jù)是單晶Si 薄膜樣品(400)晶面的透射電子顯微鏡雙束會聚束衍射K-M 花樣[4],如圖1 所示.實驗用電子顯微鏡為Tecnai G2F20型透射電子顯微鏡,實驗用加速電壓U的標稱值為200 kV,波動范圍為1×10—7U/min,即0.02 V/min.Si 晶體為金剛石結構,點陣參數(shù)a=0.5430 nm,晶面間距d400=0.1357 nm.K-M 花樣拍攝時,雙傾試樣臺沿x軸和y軸的轉角分別為:a=7.56°,β=2.80°.

圖1 單晶硅的K-M 花 樣 (a) (400)晶面 的K-M 花樣;(b) g400方向的強度分布Fig.1.K-M pattern of single-crystal silicon:(a) K-M pattern of (400) plane;(b) intensity distribution along g400.

3 K-M 花樣數(shù)據(jù)分析

在透射電子顯微鏡中用會聚電子束照射薄晶體試樣時,在物鏡的后焦平面上將產生會聚束電子衍射(CBED)花樣.在適當?shù)脑嚇雍穸确秶鷥?衍射盤內會出現(xiàn)明暗相間的條紋,即K-M 衍射花樣.

根據(jù)電子衍射的動力學理論,在雙束近似條件下試樣(hkl)衍射盤內的強度分布Ihkl為[8]

式中

si為偏離矢量,也就是(hkl)衍射盤內第i個強度極小值對精確布拉格條件的偏離值;λ 為入射電子束波長;dhkl是(hkl)晶面間距;Δθi是(hkl)衍射盤內第i條暗條紋到盤中心的距離;Rhkl為透射盤和衍射盤之間的距離;t為入射電子束方向薄晶體試樣的局部厚度;ξhkl為200 kV 條件下,Si 晶體(hkl)晶面的消光距離.

衍射盤內第i條暗條紋出現(xiàn)的條件是Ihkl=0,由此可得[10]

在圖1(a)所示K-M 花樣中,測量出Rhkl和衍射盤內各個暗條紋到衍射盤中心的距離Δθi,被測量Z平均值的不確定度u(Z)可以用平均值的實驗標準差表示[11],如(4)式所示,分析結果列于表1.

表1 K-M 花樣測量數(shù)據(jù)Table 1.K-M pattern measurement data.

根據(jù)(2)式計算出Si 晶體(400)衍射盤內各個強度極小值對應的偏離矢量si值,分析得到ni和i之間的關系[4]為ni=i+1,將其代入和(si/ni)2中,結果如表2 所列.

表2 K-M 花樣測量結果的數(shù)據(jù)分析Table 2.Data analysis of K-M pattern measurement results.

圖2 關系圖Fig.2.Graph of (si/ni)2 against

擬合直線的斜率k、截距b及其不確定度u(k)和u(b)列于表3 中.將相關直線擬合結果代入關系式b=t-2,得到試樣沿入射束方向的厚度為

表3 直線擬合數(shù)據(jù)及相關分析結果Table 3.Line fitting data and related analysis results.

t=242 nm.另外,垂直于入射電子束的平面與試樣所在平面之間的轉角φ與雙傾臺轉角α和β之間的關系為cosφ=cosαcosβ,由此得到試樣厚度t0=tcosφ=tcosαcosβ=239 nm.將表3 中相關數(shù)據(jù)代入關系式得到200 kV 條件下,Si 晶體(400)晶面的消光距離ξ400=194 nm.

由關系式b=t-2,得到在等號兩側分別求偏導數(shù),得到擬合厚度的誤差u(t)和擬合斜率的誤差u(ξhkl),如(5)式和(6)式所示.另外,由t0=tcosαcosβ可得到u(t0)和u(t)之間的關系,如(7)式所示.

將直線擬合結果代入(5)式—(7)式中,得到u(t),u(ξ400)和u(t0)的值,結果列入表3 中.

4 不確定度分析

4.1 試樣厚度的不確定度分析

4.1.1 合成標準不確定度uc(t0)

由(3)式得到入射電子束方向試樣厚度t的表達式:

試樣的厚度t0=tcosαcosβ,其中α和β為透射電鏡試樣雙傾臺在x軸和y軸的轉角.試樣的厚度t0的表達式為

(9)式中si的表達式如(2)式所示.可見,(9)式中涉及的變量有ni,ξhkl,α,β,λ,dhkl,Δθi和Rhkl.其中,ni是正整數(shù),無誤差;λ,dhkl,α和β的誤差很小,可忽略不計.因此,影響厚度t0不確定度的因素只有ξhkl,Δθi和Rhkl.

被測量厚度t0估計值的合成標準不確定度uc(t0)可近似由ξhkl,Δθi和Rhkl三個變量不確定度引起的厚度不確定度平方和的正平方根計算得到[12].另外,各個變量的不確定度引起的厚度不確定度中包含自變量i,這里采用平均值的實驗標準差公式表示.試樣厚度t0的合成標準不確定度uc(t0)可表示為

式中,第1 項為消光距離的不確定度u(ξhkl)引入的不確定度分量;第2 項為衍射盤中第i個強度極小值至中心的距離Δθi的測量不確定度u(Δθi)引入的分量;第3 項為衍射盤中心與透射盤中心距離測量值的不確定度u(Rhkl)引入的不確定度分量.將(9)式兩側求偏導數(shù),可得到(10)式中各個偏導數(shù)的表達式,結果為

將數(shù)據(jù)代入相關公式,計算過程數(shù)據(jù)如表4 所列,(10)式中三項的值分別為

表4 薄晶體厚度的合成標準不確定度分析過程數(shù)據(jù)Table 4.Combined standard uncertainty analysis process data of thin crystal thickness.

可以看出,與第二項測量誤差引起的不確定度相比,第一項和第三項引起的測量不確定度可以忽略不計.試樣厚度t0的合成標準不確定度uc(t0)可近似表達為

將相關數(shù)據(jù)代入(16)式,求出試樣厚度的合成標準不確定度為uc(t0)=5 nm;試樣厚度的相對標準不確定度為uc(t0)/t0=2.2%.

若用合成標準不確定度表示被測單晶Si 薄膜樣品的局部厚度,可以表述為:局部厚度的實驗估計值為239 nm,合成標準不確定度為5 nm;相對標準不確定度為2.2%.

4.1.2 擴展不確定度U(t0)

將合成標準不確定度uc(t0)乘以包含概率為p時的包含因子kp(kp＞1),得到包含概率為p時的擴展不確定度Up(t0),即Up(t0)=kpt0,其中包含因子kp=tp(v),tp(v)表示包含概率為p、自由度為v時的t分布值.

本次測量數(shù)據(jù)點N=24,數(shù)據(jù)自由度v=N-2=22.若取包含概率p=0.95,查表[11]可得到自由度分別為20 和25 時的t分布值:t0.95(20)=2.09,t0.95(25)=2.06,用插值法得到t0.95(22)=2.08.tp(v)的值也可以使用相關軟件,如excel 軟件中的

TINV 函數(shù)得到,結果為t0.95(22)=2.07.這里采信t0.95(22)=2.07,則 厚度t0的擴展不確定度為U95(t0)=t0.95(22)uc(t0)=11 nm.

若用擴展不確定度表示被測單晶Si 薄膜樣品的局部厚度,可以表述為t0=(239±11) nm,合成標準不確定度為5 nm;包含概率為0.95 時,包含因子為2.07,擴展不確定度為11 nm.

4.2 消光距離的不確定度分析

4.2.1 合成標準不確定度uc(ξ)

由(2)式和(3)式得到消光距離ξ的表達式為

(17)式中涉及的變量有ni,t,λ,Δθi,dhkl和Rhkl,其中ni,λ和dhkl的不確定度可忽略不計,影響消光距離ξ的不確定度因素主要是t,Δθi和Rhkl.消光距離ξ的合成標準不確定度uc(ξ)可表示為

式中,第1 項為試樣厚度的不確定度u(t)引入的不確定度分量;第2 項為衍射盤中第i個強度極小值至中心的距離Δθi的測量不確定度u(Δθi)引入的不確定度分量;第3 項為衍射盤中心與透射盤中心距離的測量不確定度u(Rhkl)引入的不確定度分量.將(17)式兩側求偏導數(shù),可得到(18)式中各個偏導數(shù)的表達式,結果為

因b和t之間有關系式b=t-2,變量t引入的不確定度分量也可以用變量b引入的不確定度分量代替,即(18)式也可以表達為

將數(shù)據(jù)代入相關公式,計算過程數(shù)據(jù)如表5 所列,(18)式中各項的值分別為

表5 消光距離的合成標準不確定度分析過程數(shù)據(jù)Table 5.Combined standard uncertainty analysis process data of extinction distance.

可以看出,與第一項和第二項相比,第三項可以忽略不計.消光距離ξ的合成標準不確定度uc(ξ)可簡化為

將相關數(shù)據(jù)代入(24)式,求出消光距離的合成標準不確定度為uc(ξ)=20 nm;消光距離的相對標準不確定度為uc(ξ)/ξ=10%.

若用合成標準不確定度表示200 kV 時,被測Si 晶體(400)晶面的消光距離可以表述為:消光距離的實驗估計值為194 nm,合成標準不確定度為20 nm;相對標準不確定度為10%.

4.2.2 擴展不確定度U(ξ400)

數(shù)據(jù)點N=24,數(shù)據(jù)自由度v=22,包含概率為p=0.85 時,t0.85(22)=1.49.消光距離ξ400的擴展不確定度為U85(ξ400)=t0.85(22)uc(ξ400)=30 nm.

若用擴展不確定度表示200 kV 時,被測Si 晶體(400)晶面的消光距離,可以表述為:ξ400=(194±30) nm,合成標準不確定度為20 nm;包含概率為0.85 時,包含因子為1.49,擴展不確定度為30 nm.

4.2.3 ξ 的測試值與理論值的比較

根據(jù)電子衍射的襯度理論,hkl衍射束在滿足布拉格衍射條件時的有效消光距離ξhkl可以表示為[13,14]

式中Vc是單胞的體積;λ 是經相對論修正的電子束波長;θB是hkl衍射束的布拉格角,可由布拉格公式2dsinθB=λ[15,16]計算得到,也可以通過測量衍射花樣上衍射斑hkl和透射斑之間的角度2θB得到.因θB很小,cosθB≈1,消光距離公式也可以簡化為ξhkl=πVc/λFhkl.

經相對論修正的電子束波長λ 的表達式[17,18]為λ 的單位為nm.λ 的值可計算得到,也可以在文獻中查到[19,20].U是電子顯微鏡的加速電壓,單位為V;Fhkl是ghkl衍射時晶體單胞的結構振幅,其表達式為

計算得到,在200 kV 加速電壓條件下,硅晶體(400)晶面的消光距離為ξ400=156 nm.理論計算值低于本次實驗測定值38 nm,約占實測值的19%.實際情況下,由于若干因素對原子散射振幅的影響,實測值和理論值會有較大誤差.

4.3 影響t0和ξ 不確定度的因素

可見,影響試樣厚度t0標準不確定度的主要因素是相機常數(shù)、加速電壓和試樣厚度.相機常數(shù)越大、加速電壓越大、試樣厚度越小,則試樣厚度t0的標準不確定度越小;影響消光距離ξ標準不確定度的主要因素是相機常數(shù)、加速電壓和消光距離.相機常數(shù)越大、加速電壓越大、消光距離ξ越小,則消光距離ξ的標準不確定度越小.K-M 花樣暗條紋位置的測量誤差u(Δθi)對消光距離不確定度的影響約是對試樣厚度的不確定度影響的ni(ξ/t)3倍.

可見,測量不確定度導致的擬合直線斜率的不確定度約是截距不確定度的ni倍.如果試樣有一定厚度,即ni＞1,則用TEM 雙束會聚束衍射K-M 花樣分析得到的薄晶體厚度的不確定度會明顯小于用此方法分析得到的消光距離的不確定度.

5 結論

1) 被測Si 晶體局部厚度的實驗估計值為239 nm,其合成標準不確定度為5 nm;相對標準不確定度為2.2%;包含概率為0.95 時,包含因子為2.07,擴展不確定度為11 nm;

2) 加速電壓為200 kV 時,Si 晶體(400)晶面的消光距離ξ400的實驗估計值為194 nm,合成標準不確定度為20 nm;相對標準不確定度為10%;包含概率為0.85 時,包含因子為1.49,擴展不確定度為30 nm;

3) 加速電壓為200 kV 時,被測Si 晶體(400)晶面的消光距離的理論計算值為156 nm,理論計算值與實驗測定值的差為38 nm,約占19%;

4) 影響試樣厚度t0和消光距離ξ合成標準不確定度的主要因素是測量不確定度u(Δθi),測量不確定度對試樣厚度t0和消光距離ξ的合成標準不確定度的影響系數(shù)由相機常數(shù)、加速電壓、試樣厚度或消光距離決定;

5) 測量誤差u(Δθi)對消光距離不確定度的影響是對試樣厚度不確定度影響的ni(ξ/t)3倍;對擬合直線斜率的不確定度的影響是對截距不確定度影響的ni倍.如果試樣有一定厚度,即ni＞1,則用TEM 雙束會聚束衍射K-M 花樣分析得到的薄晶體厚度的不確定度會明顯小于用此方法分析得到的消光距離的不確定度.