對(duì)稱馬氏過程梯度型算子弱（1,1）有界性的注記

周博文，張龍騰，梁明杰

（1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 福州 350007；2.福建師范大學(xué)協(xié)和學(xué)院，福建 福州 350007；3.三明學(xué)院信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

對(duì)稱馬氏過程所生成半群的分析性質(zhì)一直是隨機(jī)過程與隨機(jī)分析的主要研究?jī)?nèi)容，見文獻(xiàn)[1-2]。其中，對(duì)稱馬氏過程生成元的Riesz變換是一個(gè)非?；钴S的研究課題。例如，在假設(shè)度量測(cè)度空間滿足體積倍增(VD)及具有高斯型熱核估計(jì)條件下，文獻(xiàn)[3-5]討論了對(duì)稱擴(kuò)散算子的Riesz變換；文獻(xiàn)[6]建立了滿足次高斯型熱核估計(jì)條件下，黎曼流形和圖上Riesz變換的LP有界性；文獻(xiàn)[10]在緊流形空間上給出了其對(duì)應(yīng)Riesz變換的LP有界性，同時(shí)指出了高斯或次高斯熱核估計(jì)對(duì)建立Riesz變換有界的非必要性。文獻(xiàn)[3-6]的證明方法強(qiáng)烈依賴于梯度算子的弱（1,1）有界性。然而，軌道不連續(xù)馬氏過程對(duì)應(yīng)非局部算子的Riesz變換至今仍未系統(tǒng)研究，部分相關(guān)結(jié)果可參見文獻(xiàn)[7]中關(guān)于時(shí)間依賴非對(duì)稱穩(wěn)定型算子的研究。該研究問題的困難主要有兩點(diǎn)，一是一般對(duì)稱馬氏過程所對(duì)應(yīng)的梯度型算子是如何定義的；二是如何建立其弱（1,1）有界性。本文的主要貢獻(xiàn)是克服上述兩個(gè)困難，在一般度量測(cè)度空間中建立對(duì)稱馬氏過程對(duì)應(yīng)梯度型算子的弱（1,1）有界性，主要的工具是基于狄氏型理論[8-9]與現(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于熱核估計(jì)的相關(guān)結(jié)果。

1 定理1的證明

2 例子