促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的專題變式教學(xué)的建構(gòu)
——以專題課“隱圓”為例

李 娃

（金華市永康中學(xué) 浙江 金華 321300）

“專題教學(xué)”一般指的是以某一類知識或思想、方法等為內(nèi)容載體，以梳理數(shù)學(xué)知識、探索解題策略、掌握思想方法等為目標(biāo)，而開展的一系列教學(xué)。其特點(diǎn)是,數(shù)學(xué)問題的系列性、數(shù)學(xué)知識的綜合性、思想方法的收斂性?！白兪浇虒W(xué)”是基于數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題的相似性、聯(lián)系性與結(jié)構(gòu)性，從已經(jīng)提出和解決的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，通過改變問題的情境、條件、障礙或目標(biāo)，提出蘊(yùn)含著新的數(shù)學(xué)概念、原理、方法或結(jié)論的新問題的教學(xué)。 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022版》指出，初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。 中考前的最后復(fù)習(xí)階段是進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵時期，而專題復(fù)習(xí)課中恰當(dāng)?shù)淖兪浇虒W(xué)的建構(gòu)為核心素養(yǎng)的發(fā)展搭建了很好的平臺，下面就以專題課“隱圓”為例，談?wù)勛兪浇虒W(xué)如何建構(gòu)。

1.明確變式教學(xué)的目標(biāo)

1.1 分析題目已知和未知條件，經(jīng)歷如何想到構(gòu)造圓、如何構(gòu)造圓的過程，從圓的定義著手實(shí)現(xiàn)隱圓的構(gòu)造。

1.2 在隱圓構(gòu)造的過程中，如旋轉(zhuǎn)構(gòu)圓、滑動構(gòu)圓、折疊構(gòu)圓、對稱構(gòu)圓……它們的本質(zhì)都是定點(diǎn)定長，體會變中不變的化歸思想。

1.3 通過以上的過程，體會到從確定圓的方法著手，變幻出破解圓的隱身術(shù)的不同方法。

1.4 體會到模型的獲得首先需要對模型本身的特點(diǎn)、功能等掌握的基礎(chǔ)上，才能構(gòu)造出相應(yīng)的模型，體會模型思想在解決問題中的重要性。

1.5 促進(jìn)學(xué)生的抽象能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)的發(fā)展

2.選定變式教學(xué)的載體

2.1 解決問題與提出問題相結(jié)合。如在教師提出變式并解決之后，可以放手讓學(xué)生自行編擬變式題。

2.2 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型相結(jié)合。如可以一邊利用圓的定義和性質(zhì)解決問題，一邊建構(gòu)出三種隱圓模型：定點(diǎn)定長型、定邊對定角型、四點(diǎn)共圓型。

2.3 掌握數(shù)學(xué)知識技能與發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力相結(jié)合。如通過不斷的變式使學(xué)生掌握隱圓的三種模型，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力、化歸能力。

3.確定變式教學(xué)的策略

3.1 變?nèi)蝿?wù)驅(qū)動為思維導(dǎo)向

如給出引題之后，讓學(xué)生自主思考，看誰的方法最多、最快。這樣學(xué)生就不會僅滿足于求出∠BDC的度數(shù)這個任務(wù)驅(qū)動，而會更深入地思考，找到一種既簡便又全面的方法，做出隱圓，從而把學(xué)生的思維導(dǎo)向這節(jié)課的主題——隱圓。

3.2 強(qiáng)化變式教學(xué)的整體設(shè)計(jì)

（1）引題——引出模型

例 1.如圖 1，在 ΔABC中，AB=AC，∠A=60°，點(diǎn)D在ΔABC的外部，且在BC的上方，如果AD=AB，那么∠BDC=____°.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

設(shè)置此例為引題的目的是因?yàn)榇祟}方法眾多，但有的方法很繁瑣，如生1的方法，而且還得對D點(diǎn)的位置進(jìn)行分類，生2～生4的方法雖然簡便，但取的都是特殊位置，不全面，唯有生5的方法，既簡便、全面，又邏輯嚴(yán)密。學(xué)生從比較這幾種方法中，充分體會到作出隱圓后，可以利用圓的相關(guān)知識，如圓心角、圓周角，弦，弧等的關(guān)系來使解題過程優(yōu)化簡便，從而深刻認(rèn)識到學(xué)習(xí)隱圓的必要性。

變式.如圖7，在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長為____.

圖7

在變式之后由學(xué)生及時提煉出第一種隱圓的模型：定點(diǎn)定長型。

（2）源題

例2.如圖8，正方形ABCD的邊長為2，將長為2的線段EF的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動，如果點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，按A→B滑動到B止，同時點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，按B→C滑動到C止，則線段EF的中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長是____.

圖8

（3）漸變

可以通過改變載體如把正方形變成矩形、菱形等，也可以改變點(diǎn)的位置，或者加入動點(diǎn)，還可以改變運(yùn)動的方式，如變旋轉(zhuǎn)為滑動、折疊、對稱等，或者改變問題的結(jié)論等，但不管怎么變，都是要形成定點(diǎn)、定長。在原題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)變式：

變式1.如圖9，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊上的兩動點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn).連結(jié)DM，則DM的最小值是____.

圖9

圖10

變式2.在變式1的基礎(chǔ)上，取點(diǎn)N為AD邊上一動點(diǎn)，連結(jié)CN、MN，則CN+MN的最小值是____.

變式3.如圖11，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，點(diǎn)P是AD邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)BP，將ΔABP沿BP折疊，A落在A'.

圖11

（1）連結(jié)A'D，則A'D的最小值是____.

（2）連結(jié)A'C，設(shè)A'C的中點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD運(yùn)動到點(diǎn)D時停止運(yùn)動，則點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長是____.

（4）遞變

除了定點(diǎn)定長型還有什么情況下可以構(gòu)圓？變式4～變式6設(shè)置的目的就是讓構(gòu)圓模型的方法進(jìn)一步延伸，提煉出定邊對定角型、四點(diǎn)共圓型。

變式4.如圖12，正方形ABCD中，AB=4，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動,同時動點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中線段AF，BE相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長是____.

圖12

變式5.如圖13,等邊三角形ABC的邊長為4，E、F分別是AC、BC邊上的兩個動點(diǎn)，且CE=BF，連結(jié)AF、BE，交點(diǎn)為P，則CP的最小值是____.

圖13

變式6.如圖14,等邊三角形ABC的邊長為4，P為AB邊上一動點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分別為D、E，則DE的最小值為____.

圖14

（5）總結(jié)

由學(xué)生總結(jié)如何構(gòu)圓，哪些情況可以構(gòu)圓？圓可以解決哪些問題？怎么解決？

3.3 在變式中促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展

有了整體的教學(xué)設(shè)計(jì)后，教學(xué)中恰當(dāng)?shù)恼n堂提問能起到穿針引線的作用，有助于學(xué)生形成良好的知識和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在引題部分，教師可以追問生5為什么想到畫圓？由學(xué)生概括出這3條線段的特征：共端點(diǎn)等線段，然后聯(lián)系圓的定義抽象概括出第一種隱圓模型：定點(diǎn)定長型，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

教師繼續(xù)追問：哪些運(yùn)動會出現(xiàn)這種情況？生：旋轉(zhuǎn)、滑動、折疊、對稱……

師：為什么這幾種運(yùn)動可以構(gòu)圓？

生：因?yàn)樗鼈兊谋举|(zhì)都是定點(diǎn)定長。通過這些運(yùn)動的變式，目的是讓學(xué)生體會變中不變的思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力。

變式4～變式6之后繼續(xù)讓學(xué)生抽象概括出隱圓的另兩種模型：定邊對定角型和四點(diǎn)共圓型，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念。

3.4 增強(qiáng)學(xué)生在變式教學(xué)中的自主性

教師在變式時，要揭示變式產(chǎn)生的思維過程，然后可以放手讓學(xué)生自己提出變式，這樣做的目的是加強(qiáng)學(xué)生對這類問題的理解，逐漸把知識、方法內(nèi)化，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。如在源題之后、漸變題之后讓學(xué)生接著變式。

生1：線段EF的中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.

生2：EF的兩個端點(diǎn)始終落在正方形的邊上，按逆時針方向滑動一周，線段EF的中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長是____.線段EF的中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.

生3：如圖15，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，長為2的木棒EF緊貼著矩形的邊逆時針方向滑動一周，木棒的中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長是____.中點(diǎn)M在運(yùn)動過程中所圍成的圖形的面積是____.

圖15

生4：如圖16，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)F、N分別是AB、BC邊上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)E在AD邊上且AE=2，將ΔAEF沿EF折疊形成ΔMEF，連結(jié)MN，DN，則DN+MN的最小值是____.

圖16

生5：如圖17，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動點(diǎn)，將ΔAMN沿MN所在直線折疊得到ΔA'MN，連結(jié)A'C，則A'C長度的最小值是____.

圖17

本課中，利用變式教學(xué)把隱圓的問題串成串，教師幫助學(xué)生在復(fù)雜的問題中學(xué)會抽絲剝繭，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，多題化歸，抽象概括出此類問題的三種基本模型，最終達(dá)到促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的目的。