例析原理法解決二項(xiàng)式定理有關(guān)問題

孫書剛

【摘 要】 關(guān)于二項(xiàng)式定理的高考題的原解析大都用的是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，機(jī)械套用多，思維水平低，解析步驟多，運(yùn)算量大，出錯(cuò)率高;用原理法來解決關(guān)于二項(xiàng)式定理的問題，高階思維多，化簡運(yùn)算少，解答時(shí)間短，正答率高，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是思維的體操，落實(shí)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 高階思維;數(shù)學(xué)運(yùn)算;邏輯推理

1 原理法解讀

根據(jù)初中冪的定義[1]，（a+b）n表示n個(gè)（a+b）因子相乘（其中的n是正整數(shù)，以下同），按照分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理[3]，（a+b）n展開式的每一項(xiàng)均來自這n個(gè)因子（a+b），要么取因子（a+b）的a，要么取因子（a+b）的b，如果取了r個(gè)b，（r可以取0，1，2，…，n），那么一定取了n-r個(gè)a，而且是從n個(gè)（a+b）因子中隨機(jī)取了r個(gè)因子（a+b），由于乘積跟順序無關(guān)，所以其系數(shù)屬于組合數(shù)問題.另外，由于可以全部取a（此時(shí)不取b），或者全部取b（此時(shí)不取a），由此按照a的次數(shù)的從高到低、從n到0的順序（此時(shí)b的次數(shù)是從低到高、從0到n）可以得到二項(xiàng)式定理[3].

由于這種辦法源自冪的定義，用的是分類加法原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理[3]，所以稱這種方法為原理法.筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，關(guān)于二項(xiàng)式定理的高考題原解析過程大都用的是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，機(jī)械套用多，思維水平低，解析步驟多，運(yùn)算量大，出錯(cuò)率高;用原理法來解決關(guān)于二項(xiàng)式定理的問題，高階思維多，化簡運(yùn)算少，解答時(shí)間短，正答率高，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是思維的體操，落實(shí)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算[2]兩大核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部審定.義務(wù)教育教科書.七年級數(shù)學(xué)上冊.北京：人民教育出版社，2012，41-44.

[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）.北京：人民教育出版社，4-7.

[3]中華人民共和國教育部審定.人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3.北京：人民教育出版社，5-36.

[4]曲一線.5年高考3年模擬.2022版.北京：首都師范大學(xué)出版社，126-159.