運(yùn)用放縮法解數(shù)列不等式題的思路

陳曉娟

數(shù)列不等式證明題經(jīng)常出現(xiàn)在各類(lèi)試題中.此類(lèi)問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，且難度較大.解答此類(lèi)問(wèn)題，需仔細(xì)觀(guān)察和研究數(shù)列，明確其特征和規(guī)律，并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s.下面，筆者介紹兩種運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式問(wèn)題的思路.

一、通過(guò)裂項(xiàng)進(jìn)行放縮

裂項(xiàng)相消法是求數(shù)列和的常用方法.對(duì)于通項(xiàng)公式為分式的數(shù)列不等式，可首先將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危缤ǚ?、放縮、拆分，將其轉(zhuǎn)化兩項(xiàng)之差的形式，然后利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，再將所得的結(jié)果與求證目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，最后通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s，根據(jù)不等式的傳遞性證明不等式.

二、利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮

數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，具有單調(diào)性.因而在證明數(shù)列不等式時(shí)，可靈活運(yùn)用數(shù)列和函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求證.通?？筛鶕?jù)數(shù)列不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造出函數(shù)模型，將其視為自變量為自然數(shù)的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式進(jìn)行放縮，從而證明結(jié)論.

利用函數(shù)的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行放縮，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)合適的函數(shù)模型.這就需要仔細(xì)分析目標(biāo)數(shù)列不等式的結(jié)構(gòu)特征，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，抽象出一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)模型，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.一般地，對(duì)于增函數(shù)，白變量大的函數(shù)值大，自變量小的函數(shù)值小;對(duì)于減函數(shù)，自變量大的函數(shù)值小，自變量小的函數(shù)值大.

總而言之，在運(yùn)用放縮法解答數(shù)列不等式證明題時(shí)，首先要根據(jù)題意和目標(biāo)不等式確定放縮的方向，然后將數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，以便將數(shù)列構(gòu)造成可裂項(xiàng)求和的式子、函數(shù)式，再通過(guò)裂項(xiàng)，利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式進(jìn)行放縮，從而證明結(jié)論.

（作者單位：江蘇省鹽城市第一中學(xué)）