談?wù)勄蠛瘮?shù)值域的四種路徑

陳燕華

函數(shù)值域問題是高中數(shù)學(xué)各類試題中常出現(xiàn)的一類問題，此類問題具有較強(qiáng)的綜合性，難度較大，通常需靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)及圖象、不等式的性質(zhì)、方程的判別式等來求解.本文結(jié)合實(shí)例，談一談求函數(shù)值域的幾種路徑.

一、利用判別式

判別式法主要適用于求解有關(guān)二次函數(shù)的值域問題.在解題時(shí)，需將因變量y看作參數(shù)，把函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程有解，得到判別式△≥0，即可得到關(guān)于y的不等式，解該不等式就能順利求得y的取值范圍，得到y(tǒng)的值域.

利用判別式法解題的前提條件是所得到的方程為一元二次方程.因此在求函數(shù)的值域時(shí)，若所得的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，需對(duì)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論.

二、配方

配方法常用于求解二次函數(shù)值域問題.在解題時(shí)，需先通過恒等變形，將函數(shù)式配湊為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和，然后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論函數(shù)式的頂點(diǎn)和單調(diào)性，從而求得區(qū)間上函數(shù)的值域.在配方時(shí)，要先確定二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行合理配湊.

三、換元

換元法也是解答函數(shù)值域問題的有效手段.對(duì)于含有根式、絕對(duì)值等較為復(fù)雜的函數(shù)式，通常需利用換元法求其值域.用一個(gè)或者幾個(gè)新變量代替函數(shù)式中根號(hào)下的式子、絕對(duì)值內(nèi)部的式子、某個(gè)出現(xiàn)頻率較高的式子，從而將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的函數(shù)式，這樣便可將函數(shù)式簡(jiǎn)化，直接根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本函數(shù)的性質(zhì)、圖象來求得函數(shù)的值域.

在求出新變量的最值后，需將新變量與舊變量、新函數(shù)的值域與舊函數(shù)的值域進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，這樣求得的結(jié)果才是最終答案.要注意的是，在換元的過程中要確保定義域的等價(jià)性.

四、借助反函數(shù)

我們知道關(guān)于y=x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，且原函數(shù)的值域即為其反函數(shù)的定義域.因此在求原函數(shù)的值域受阻時(shí)，可轉(zhuǎn)換思路，先求其反函數(shù)，得到關(guān)于y的函數(shù)式，再討論反函數(shù)的定義域，即可求得原函數(shù)的值域.

運(yùn)用反函數(shù)法求函數(shù)的值域，關(guān)鍵是根據(jù)原函數(shù)的解析式求得其反函數(shù).一般地，需調(diào)換x、y，用y表示x，同時(shí)要掌握一些求函數(shù)定義域的方法.

雖然求函數(shù)值域的路徑較多，但是每種路徑的適用范圍各不相同.判別式法、配方法一般適用于求解有關(guān)二次函數(shù)值域問題，可先嘗試運(yùn)用配方法求解;換元法適用于求解函數(shù)式較為復(fù)雜的值域問題;反函數(shù)法適用于解答原函數(shù)的反函數(shù)易于求得的值域問題.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí).需根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)和自身掌握知識(shí)的情況選擇最佳的路徑.

（作者單位：江蘇省啟東市第一中學(xué)）