程能映射下配光平移群的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)*

張航 胡月姣 陳嘉文 修龍汪

(浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，杭州 310023)

1 引言

基于自由曲面的非成像光學(xué)被廣泛地應(yīng)用于基礎(chǔ)研究與產(chǎn)業(yè)應(yīng)用中[1]，如:激光光束整形、機(jī)器視覺(jué)照明、光學(xué)深度傳感和光波導(dǎo)耦合等.非成像光學(xué)設(shè)計(jì)本質(zhì)上是基于一個(gè)已知光源和目標(biāo)面光分布求光學(xué)器件幾何表面的逆問(wèn)題，對(duì)于不具有對(duì)稱(chēng)性的自由目標(biāo)光分布，對(duì)應(yīng)光學(xué)器件的表面一般為自由曲面[2].非成像光學(xué)設(shè)計(jì)方法主要分為3 類(lèi):優(yōu)化法、代數(shù)法和幾何法.優(yōu)化法的中心思想是將自由曲面由優(yōu)化變量表征，在設(shè)計(jì)過(guò)程中不斷調(diào)整優(yōu)化變量，使得其評(píng)價(jià)函數(shù)值達(dá)到所需評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而滿足所需照明設(shè)計(jì)要求.代數(shù)法主要是根據(jù)Snell 定律和能量守恒定律為中心思想，構(gòu)建光源與目標(biāo)面之間的映射關(guān)系，這種映射關(guān)系通?？梢杂脭?shù)學(xué)方程來(lái)表示.通過(guò)求解數(shù)學(xué)方程，得到自由曲面參數(shù)，如常微分方程方法[3]、同步多表面設(shè)計(jì)方法[4]、剪裁法[5]及求解Monge-Ampère(MA)方程[6-8]等.Chang 等[6]通過(guò)求解二階MA 型偏微分方程設(shè)計(jì)了雙自由曲面，實(shí)現(xiàn)了具有指定光照模式的任意輸出波前.幾何法的主要思想是借助幾何曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，根據(jù)能量守恒關(guān)系將一個(gè)預(yù)定照明問(wèn)題用一組子面來(lái)離散化，最后由該組曲面片的包絡(luò)面來(lái)確定自由曲面的解，如Oliker 等[9]提出的支撐二次曲面法(supporting quadratic method，SQM).這類(lèi)方法的關(guān)鍵在于建立起所有子面的光程常數(shù)分布K與目標(biāo)面上照度分布E之間具有單調(diào)性映射關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)程能映射，或KE 映射).簡(jiǎn)單分析可知，SQM 是程能方法在僅有單一待求自由光學(xué)曲面下的特例.在目標(biāo)離散光分布的優(yōu)化過(guò)程中，光程常數(shù)陣列中各元素之間存在異常復(fù)雜的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，導(dǎo)致難以解析求解，通常需要借助優(yōu)化算法來(lái)求解，而深度學(xué)習(xí)是一種性能優(yōu)越的尋優(yōu)工具.

深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(deep neural networks，DNN)采用多層非線性網(wǎng)絡(luò)層疊加而成，利用數(shù)據(jù)集對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，可以逐層變換和學(xué)習(xí)樣本空間的特征值，對(duì)逆問(wèn)題的求解具有良好的適應(yīng)性[10，11].在成像光學(xué)領(lǐng)域，如超分辨率圖像重構(gòu)[12]、光學(xué)表面雜質(zhì)檢測(cè)[13]、納米圖像配準(zhǔn)方法[14]和計(jì)算成像[15]等方面已經(jīng)得到應(yīng)用，而在非成像光學(xué)領(lǐng)域則尚在探索之中.

從一般非成像光學(xué)系統(tǒng)出發(fā)建立了基礎(chǔ)配光方程，針對(duì)光斑平移情況導(dǎo)出了平移配光方程，并引入配光平移群來(lái)描述配光平移算符集合.為了滿足群的構(gòu)成條件，引入程能映射關(guān)系來(lái)保證平移配光方程解的唯一性，進(jìn)一步推導(dǎo)出SQM 下的配光方程和K空間里的配光平移變換群.接著引入DNN來(lái)擬合KE 映射和平移操作，完成平移配光方程的求解，獲得相應(yīng)的自由光學(xué)曲面(DNN-KE 方法).以均勻方斑為例，利用SQM 方法之一的支撐橢流面法(supporting ellipsoid method，SEM)生成樣本數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)DNN 進(jìn)行多維度調(diào)參和訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)了平移均勻方斑的配光設(shè)計(jì).光學(xué)仿真結(jié)果表明DNN 生成的光學(xué)表面產(chǎn)生離散光分布與標(biāo)準(zhǔn)光分布之間的誤差很小，均在10—3量級(jí)內(nèi)，說(shuō)明DNN-KE 方法成功實(shí)現(xiàn)了配光平移群的構(gòu)建.

2 原理與方法

2.1 配光方程

一個(gè)非成像光學(xué)系統(tǒng)包含光源、光學(xué)面和目標(biāo)分布3 個(gè)要素.光源發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)光學(xué)表面的光學(xué)作用投射到目標(biāo)面形成特定的光強(qiáng)分布，這個(gè)過(guò)程通?？梢员硎緸榕涔夥匠蘙16]:

式中，Γ是光學(xué)算子，將點(diǎn)光源的光強(qiáng)角分布I(θ，φ)映射到目標(biāo)面空間r(u，v) 形成照度分布E(u，v) .在連續(xù)漸變介質(zhì)中，Γ由光跡方程決定，而在分區(qū)均勻介質(zhì)中，Γ通常表現(xiàn)為反射、折射或直線傳播，可以展開(kāi)表示成:

這里，ni為第i個(gè)介質(zhì)的折射率，Si是第i個(gè)光學(xué)面，S1和SN-1分別靠近光源和目標(biāo)面.

在一般照明問(wèn)題中，整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)沉浸在空氣中，僅需1 個(gè)反射器(1 個(gè)光學(xué)面)或1 個(gè)透鏡(兩個(gè)光學(xué)面)即可實(shí)現(xiàn)多數(shù)配光任務(wù).在反射情形下，只有單一空氣介質(zhì)，(2)式可簡(jiǎn)化成

式中，S是反射面.在光學(xué)曲面S上自然標(biāo)架場(chǎng)中反射算子為

具有反對(duì)稱(chēng)性.在全局坐標(biāo)系中，反射算子?？梢杂搔！渚唧w表示為

式中，A是全局坐標(biāo)到S上自然標(biāo)架的坐標(biāo)變換，A—1是A的逆.將(3)式代入方程(1)可得單個(gè)反射面情形的配光方程

求解方程(6)是個(gè)逆問(wèn)題，即已知光源和目標(biāo)光分布求S.如果目標(biāo)光分布E(u，v) 是任意分布，不帶任何對(duì)稱(chēng)性，這個(gè)逆問(wèn)題的解析求解是非常困難的，且S會(huì)是個(gè)自由曲面.

2.2 配光平移群

在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)碰到光源的位置和朝向均保持不變，自由曲面中心位置也不變，并保持光斑形態(tài)不變，僅要求光斑位置發(fā)生移動(dòng)的情況.如果按傳統(tǒng)方法就得從頭重新設(shè)計(jì)，形成重復(fù)性工作，降低了設(shè)計(jì)效率.為了討論方便，設(shè)目標(biāo)面為平面，并引進(jìn)群概念來(lái)描述配光方程中光學(xué)算子集合.

在目標(biāo)平面里，光分布E(u，v) 簡(jiǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)下的E(x，y) .通常E(x，y) 具有某種特定的照度分布模式，如均勻方斑.當(dāng)光源參數(shù)不變而光斑E(x，y) 在目標(biāo)面上作平移 Δ=(δx，δy) 后成為新光斑EΔ(x，y)=E(x-δx，y-δy)，此時(shí)反射面S也同步形變成SΔ以遵守配光方程.因光斑平移而引起光學(xué)面從S到SΔ的變換用一個(gè)配光平移算符表示:Λ=Λ(Δ) .這樣方程(6)就改為平移配光方程:

其中，Γ(SΔ) 是平移后的反射算子，可表示為

這里的 Δ∈R2，也就是光斑可以在目標(biāo)平面上任意平移，理論上所有的Λ(Δ) 構(gòu)成了一個(gè)群GΛ，稱(chēng)之為配光平移群.

以一維平移操作為例簡(jiǎn)單討論一下GΛ滿足群的4 個(gè)條件[17，18]:1)Λ(0) 就是群GΛ的幺元，其物理意義是光斑沒(méi)有發(fā)生移動(dòng);2)Λ(-δx)Λ(δx)=Λ(0)，所以Λ(-δx) 就是Λ(δx) 的逆元;3)由 于δx ∈R1，群GΛ的封閉性是顯而易見(jiàn)的;4)可以由方程(7)求解的唯一性保證滿足結(jié)合律:(Λ(δx1)Λ(δx2))Λ(δx3)=Λ(δx1)(Λ(δx2)Λ(δx3)) .一般情況下方程(7)的解不是唯一的，但其唯一性可以通過(guò)程能映射來(lái)實(shí)現(xiàn).

2.3 程能映射

如果配光系統(tǒng)中只有一個(gè)待求光學(xué)曲面，則程能映射就可以由SQM 良好表達(dá)，當(dāng)然也不限于SQM 一種方法.SQM 是非成像光學(xué)中能實(shí)現(xiàn)任意目標(biāo)光分布的配光設(shè)計(jì)方法之一，而SEM 是一種適用于自由反射面設(shè)計(jì)的SQM.SEM 的工作原理是將目標(biāo)光分布離散化成像素陣列T處理，再利用橢球面的雙焦點(diǎn)特性建立像素與光源的映射關(guān)系，形成一個(gè)由橢球常數(shù)(光程常數(shù))陣列決定的支撐橢球面，然后通過(guò)調(diào)節(jié)光程陣列的分布實(shí)現(xiàn)各個(gè)像素上光通量的改變，最后由迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)特定的目標(biāo)光分布E，如圖1 所示.

圖1 SEM 方法示意圖Fig.1.Schematic of SEM.

由于這些橢球面具有光學(xué)反射作用，通過(guò)拓展流線概念而稱(chēng)之為‘橢流面’，以區(qū)別于純粹幾何學(xué)意義的橢球面.當(dāng)離散像素規(guī)模(也就是K的規(guī)模)趨于無(wú)窮時(shí)，目標(biāo)光斑就由離散光點(diǎn)變成了連續(xù)分布的光斑，鱗甲反射面也過(guò)渡到光滑表面.在SEM 中，如果設(shè)置光程陣列中某一個(gè)光程值固定不變，則對(duì)應(yīng)于一個(gè)特定目標(biāo)光分布的光程陣列是唯一的，這點(diǎn)已在數(shù)值仿真層面得到驗(yàn)證.

根據(jù)SEM 的工作原理，配光方程(6)可改寫(xiě)為

式中，Eij是T中第 (i，j) 個(gè)像素上的光通量，Ωij是第 (i，j) 個(gè)曲面片Mij對(duì)光源的立體角子域.另外，根據(jù)理想光效要求，(9)式還需滿足能量守恒

其中，考慮了在一般照明問(wèn)題中光源的最大立體角域?yàn)榘肟臻g 2π .這里的Mij均為橢球面片.任一橢流面Mij是由對(duì)應(yīng)的橢球常數(shù)和兩個(gè)焦點(diǎn)位置所確定，因此可表示為

式中，Kij為Mij的橢球常數(shù)，O是光源所在位置(一般為坐標(biāo)原點(diǎn))，Tij為第i行第j列個(gè)像素所在的位置.這樣求M的問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍驥了，所以SEM 就是在已知目標(biāo)照度E和光源光強(qiáng)分布I(θ，φ)并滿足條件方程(10)下根據(jù)方程(9)求M或K.由于(9)式和(10)式都是復(fù)雜的積分方程，直接求解存在很大難度，一般采用數(shù)值優(yōu)化算法來(lái)解決，如遺傳算法、牛頓最速法和區(qū)間收縮法等.

在SEM 中，(8)式就改寫(xiě)為

這里的K具有雙重含義，既表示構(gòu)造了光學(xué)表面的光程常數(shù)陣列，又表示實(shí)現(xiàn)光線反射的光學(xué)作用.

2.4 DNN-KE 方法

SEM 為每一個(gè)反射子面建立光源到目標(biāo)點(diǎn)的一一映射關(guān)系，通過(guò)相鄰K的迭代調(diào)整使目標(biāo)點(diǎn)能量滿足預(yù)設(shè)條件，但這種迭代效率不高，為此引入DNN 與SEM 結(jié)合的DNN-KE 設(shè)計(jì)方法.DNNKE 方法利用DNN 優(yōu)秀的非線性表達(dá)能力實(shí)現(xiàn)KE 映射關(guān)系的擬合，即從點(diǎn)陣T上的照度分布E直接預(yù)測(cè)出相應(yīng)的K，從而快速生成所需的自由曲面.DNN-KE 方法采用成熟的Python+TensorFlow 方案作為深度學(xué)習(xí)框架[19]，如圖2 所示.

圖2 DNN-KE 方法示意圖Fig.2.Schematic of DNN-KE method.

利用TensorFlow 構(gòu)建1 個(gè)特定超參數(shù)的DNN，通過(guò)將不同樣本KE 映射關(guān)系中成對(duì)的 {E，K}作為DNN 的訓(xùn)練樣本.訓(xùn)練時(shí)，樣本中的E輸入到DNN 的輸入層，經(jīng)過(guò)逐層處理后在輸出層給出預(yù)測(cè)的K′.此時(shí)的K′與樣本中對(duì)應(yīng)的K之間會(huì)存在著偏差，可由損失(代價(jià))函數(shù)C(K，K′)

來(lái)表示:

式中，M和N是二維離散化規(guī)模.有了損失函數(shù)值，BP(back propagation)算法就可以反向更新DNN各層神經(jīng)元的權(quán)重和偏置等參數(shù)，通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練降低損失函數(shù)值至預(yù)定的收斂條件，使DNN 很好地?cái)M合了KE 映射關(guān)系，并得到構(gòu)建光學(xué)表面所需的K.

DNN-KE 算法原則上可以實(shí)現(xiàn)任意光分布的光學(xué)表面求解，但需要海量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和計(jì)算條件做支撐.以M=N=10 和8 級(jí)灰度為例，光分布的狀態(tài)總數(shù)為 2300，這是個(gè)天文數(shù)字的搜索空間，因此DNN-KE 算法實(shí)現(xiàn)任意光分布的配光設(shè)計(jì)尚存在較大的困難.如果將搜索空間縮小到固定圖案光斑的配光平移群，則DNN-KE 算法是可行的.

3 仿真與分析

3.1 光學(xué)場(chǎng)景

光斑平移的光學(xué)場(chǎng)景如圖3 所示，水平放置的目標(biāo)面平行于光源的發(fā)光面，朗伯型點(diǎn)光源位于目標(biāo)面上方400 mm 處，在目標(biāo)面上投射出尺寸為400 mm×400 mm 的均勻光斑，然后逐漸作向右平移，最大平移范圍為40 mm，整個(gè)平移過(guò)程中方斑的照度均勻度保持在0.9 以上.

圖3 方斑平移光學(xué)場(chǎng)景圖Fig.3.Optical diagram of square spot shift.

為了適當(dāng)降低計(jì)算量，點(diǎn)陣T的規(guī)模大小設(shè)為10×10 時(shí)，通過(guò)采用基于負(fù)反饋機(jī)制的區(qū)間收縮法迭代優(yōu)化出方斑對(duì)應(yīng)的光程常數(shù)陣列K，期間保持K5，5=420 mm 不變.圖4 為 δx=0 時(shí)的光分布情況:圖(a)是標(biāo)準(zhǔn)均勻光通量分布Es，所有格點(diǎn)光通量為Φ/100，Φ是光源發(fā)出的總光通量;圖(b)是由區(qū)間收縮法所得K生成光學(xué)表面后仿真得到的歸一化光通量分布E′，可以看到E′與Es具有非常好的一致性;圖(c)是對(duì)圖(b)中所得的鱗甲光學(xué)表面進(jìn)行光滑化處理后光學(xué)仿真所得的均勻光斑.目標(biāo)面在離散化處理下，由SEM 所得的鱗甲光學(xué)表面是不光滑的，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)光斑的連續(xù)分布有兩條途徑:1)不斷增大離散規(guī)模;2)求鱗甲光學(xué)面的包絡(luò)面.圖4(c)中采用的是后者.

圖4 中的(b)和(c)表明離散光通量分布和連續(xù)光通量分布在照度均勻性上具有良好的一致性，因此后面僅討論光斑的離散分布情況，這樣處理可以最大程度規(guī)避光學(xué)仿真軟件的調(diào)用，實(shí)現(xiàn)在K空間上討論配光平移群.

圖4 均勻方斑光分布 (a) 目標(biāo)分布;(b) 仿真分布;(c) 光滑化分布Fig.4.Flux distribution of uniform square spot:(a) Original target;(b) simulation;(c) smooth spot.

3.2 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

在上述光學(xué)場(chǎng)景下，通過(guò)SEM 算法可以得到相應(yīng)平移位置上的E和K數(shù)據(jù)樣本，并作為2.4 節(jié)中DNN 訓(xùn)練集樣本.為了提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂性能，TensorFlow 中的樣本數(shù)據(jù)需要進(jìn)行線性歸一化預(yù)處理:

這里，X代表E或者K，χ是E或K中的元素.

一個(gè)完整DNN 網(wǎng)絡(luò)模型由參數(shù)和超參數(shù)共同決定.參數(shù)是可以通過(guò)優(yōu)化算法進(jìn)行學(xué)習(xí)的，如:權(quán)重和偏置等;超參數(shù)是用來(lái)定義模型結(jié)構(gòu)或優(yōu)化策略的，如:網(wǎng)絡(luò)形狀、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、隱藏層規(guī)模、優(yōu)化器、激活函數(shù)、損失函數(shù)和學(xué)習(xí)率等.經(jīng)過(guò)反復(fù)探索，DNN-KE 算法中的DNN 超參設(shè)定如下:網(wǎng)絡(luò)形態(tài)為直筒型，網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為5，層規(guī)模為256，激活函數(shù)選用ReLU 和TanH，優(yōu)化器選用ADAM，學(xué)習(xí)率為0.005，損失函數(shù)由(13)式給定.

DNN 的網(wǎng)絡(luò)超參確定之后就可以輸入樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練.樣本數(shù)據(jù)由標(biāo)準(zhǔn)均勻方斑數(shù)據(jù)Es和偏移量 Δ 共同構(gòu)成，樣本集中5 個(gè)樣本的y偏移量δy ≡0，x偏移量分別為 δx=id，(i=0，2，4，6，8)，其中d=5 mm，并保證所有樣本光學(xué)仿真的離散光通量均勻度都高于0.9.網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的收斂條件為:.DNN 訓(xùn)練完成后就可進(jìn)行預(yù)測(cè)和檢驗(yàn).

3.3 平移仿真

為了檢驗(yàn)DNN 的學(xué)習(xí)能力，簡(jiǎn)單生成9 個(gè)檢驗(yàn)樣品，其x平移距 離分別 為 δx=id，(i=0，1，···，8)，d=5 mm，其中i為偶數(shù)的5 個(gè)檢驗(yàn)樣本屬于訓(xùn)練樣本集，剩余4 個(gè)則不在訓(xùn)練集之中.將9 個(gè)檢驗(yàn)樣品輸入訓(xùn)練好的DNN 中輸出9 個(gè)預(yù)測(cè)的Ki，再對(duì)Ki作逆歸一化處理，然后由這些Ki生成相應(yīng)的光學(xué)表面導(dǎo)入光學(xué)軟件中，仿真結(jié)果如圖5 所示，各個(gè)子圖的標(biāo)號(hào)就是序數(shù)(i).可以看到各個(gè)子圖中點(diǎn)陣清晰規(guī)整，大小一致，亮度均勻，且偏移準(zhǔn)確.初步表明DNN 實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)偏移范圍內(nèi)配光平移群的功能.

圖5 DNN 生成的平移光斑:Δ=[i d，0]，i 為子圖號(hào)Fig.5.The shift spot generated by DNN:Δ=[i d，0]，i is the number of subfigure.

3.4 誤差分析

為進(jìn)一步考察DNN 預(yù)測(cè)功能的準(zhǔn)確度，生成了21 個(gè)檢驗(yàn)樣品，其 δy ≡0，x平移距離分別為 δx=id，(i=0，1，···，20)，d=2 mm，其 中i被5 整除的檢驗(yàn)樣本屬于訓(xùn)練樣本集，剩余16 個(gè)則是插值樣本.方法同前，仿真結(jié)果如圖6 所示.這里的誤差計(jì)算采用(13)式定義的MSE 函數(shù):Err=MSE(Es，E′)，其中E′是仿真光分布，可以是DNN產(chǎn)生的EΔi，也可以是訓(xùn)練集中的E，兩者分別用ErrDNN和 E rrtrain表示.此二者之間的MSE 偏差計(jì)算則需要先對(duì) E rrtrain曲線插值處理以適配ErrDNN規(guī)模.

由圖6 可見(jiàn)，DNN 生成的光學(xué)表面產(chǎn)生離散光分布EΔi與標(biāo)準(zhǔn)光分布Es之間的誤差很小，均在10—3量級(jí)內(nèi).尤其在訓(xùn)練集樣本所在位置上ErrDNN和 E rrtrain幾乎重合，在其他插值位置上 ErrDNN和 E rrtrain之間的MSE 偏差也在10—5量級(jí)內(nèi)，這說(shuō)明DNN-KE 方法較好地表達(dá)了配光平移群.

圖6 平移光斑的誤差Fig.6.Error of the shift spots.

另外還可看到，隨著偏移量的增加，誤差逐漸增大，這是由光斑偏移導(dǎo)致K的搜索區(qū)間增大產(chǎn)生的，可以通過(guò)增加訓(xùn)練集樣本和提高訓(xùn)練過(guò)程中的收斂精度等方法加以抑制.

4 結(jié)論

由基礎(chǔ)配光方程出發(fā)推導(dǎo)了空氣中單一反射面的配光方程，又針對(duì)光斑平移情況導(dǎo)出了平移配光方程，引入配光平移群來(lái)描述所有配光平移算符，接著討論了平移配光方程解程能映射下的唯一性問(wèn)題，進(jìn)一步推導(dǎo)出K空間里的配光平移群.通過(guò)DNN 來(lái)擬合KE 映射和平移操作，完成平移配光方程的求解.然后以均勻方斑為例，利用SEM生成樣本數(shù)據(jù)，完成對(duì)DNN 進(jìn)行多維度調(diào)參和訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)平移均勻方斑的配光設(shè)計(jì).光學(xué)仿真結(jié)果表明DNN-KE 算法對(duì)配光平移群表達(dá)具有誤差小，速度快的優(yōu)勢(shì)，說(shuō)明DNN-KE 方法成功實(shí)現(xiàn)了配光平移群的構(gòu)建，對(duì)智能化非成像光學(xué)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義.