一維晶格中全同任意子的量子動力學(xué)與關(guān)聯(lián)*

王利 賈麗芳 張?jiān)撇?/p>

1) (山西大學(xué)，理論物理研究所，量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心，太原 030006)

2) (浙江理工大學(xué)理學(xué)院物理系，光場操控省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310018)

1 引言

量子行走[1，2，3]是經(jīng)典隨機(jī)行走的量子力學(xué)拓展，是當(dāng)前物理學(xué)前沿重要的研究課題.目前，物理學(xué)家已經(jīng)在許多重要的實(shí)驗(yàn)平臺中實(shí)現(xiàn)和觀測了量子行走[4]，如超冷原子系統(tǒng)[5、6]、單光子系統(tǒng)[7，8]、超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)[9-11]、耦合光波導(dǎo)系統(tǒng)[12]、核磁共振系統(tǒng)[13]、囚禁離子系統(tǒng)[14]等.量子行走以其系統(tǒng)的簡潔性與物理的深刻性，吸引了當(dāng)今物理學(xué)家廣泛的研究興趣，現(xiàn)在已經(jīng)逐漸成長為極為重要的研究和模擬少體量子動力學(xué)的理論框架和實(shí)驗(yàn)平臺.除了在量子搜索算法設(shè)計(jì)[15]、量子計(jì)算[16]、量子信息[17，18]等方面具有巨大的應(yīng)用潛力之外，它已經(jīng)在方方面面展示了自己的獨(dú)特物理價(jià)值，如可以用來探測拓?fù)鋺B(tài)[19，20]，可以用來實(shí)驗(yàn)觀測非布洛赫拓?fù)洳蛔兞縖21]，還可以用于精密測量[22，23]等.此外，國內(nèi)外研究人員還考察了無序[24，25]、缺陷[26]、量子統(tǒng)計(jì)[27、28]，相互作用[29-32]以及躍遷調(diào)制[33-35]等基本物理因素在量子行走動力學(xué)中的新奇效應(yīng).

目前，有關(guān)量子行走的研究工作大多專注于單粒子或兩粒子系統(tǒng).最近有工作基于量子行走框架分別研究了三個(gè)玻色子和三個(gè)費(fèi)米子的非平衡動力學(xué)[36].相比于兩體系統(tǒng)，三體系統(tǒng)有望展示出量子多體效應(yīng)，因此該工作將量子行走相關(guān)研究推進(jìn)到了真正的量子多體范疇.在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步基于三粒子量子行走來研究全同任意子的量子動力學(xué)性質(zhì).任意子是玻色子、費(fèi)米子的統(tǒng)計(jì)學(xué)推廣[37-39].眾所周知，當(dāng)交換兩個(gè)費(fèi)米子時(shí)，量子多體波函數(shù)會出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號，而交換兩個(gè)玻色子時(shí)，波函數(shù)則不變號.任意子則對應(yīng)更一般的情形，當(dāng)兩個(gè)任意子交換時(shí)，量子多體波函數(shù)會產(chǎn)生一個(gè)分?jǐn)?shù)相位因子 e xp(iχπ) .容易看出:當(dāng)χ=0 時(shí)，對應(yīng)玻色統(tǒng)計(jì);當(dāng)χ=1 時(shí)，對應(yīng)費(fèi)米統(tǒng)計(jì);當(dāng) 0＜χ ＜1時(shí)，則對應(yīng)奇特的任意子分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì).任意子不是憑空想象，它具有真實(shí)的物理對應(yīng)，如分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)表面激發(fā)的準(zhǔn)粒子就是一種任意子[40]，最近也有新的實(shí)驗(yàn)對任意子進(jìn)行了觀測[41，42].分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)還是拓?fù)淞孔佑?jì)算的決定性基礎(chǔ)[43].然而分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的深刻物理內(nèi)涵仍待廣泛和深入的挖掘研究.本文基于量子行走框架，研究了分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)對任意子少體量子動力學(xué)的影響，并進(jìn)一步研究了分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)與相互作用的競爭合作導(dǎo)致的綜合物理效應(yīng).最后，計(jì)算并分析了三任意子量子態(tài)演化過程中的密度密度關(guān)聯(lián)性質(zhì).

2 理論模型與研究方法

處于一維晶格中的全同任意子，在緊束縛近似下可由如下Anyon-Hubbard 模型哈密頓量描述:

其中J是最近鄰格點(diǎn)間躍遷振幅，在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)通常取為能量單位;U是同一格點(diǎn)上粒子間的相互作用強(qiáng)度;是任意子在l格點(diǎn)上的產(chǎn)生(湮滅)算符;是任意子的粒子數(shù)算符.

對一維系統(tǒng)，不同格點(diǎn)l，k上的任意子產(chǎn)生湮滅算符滿足如下廣義對易關(guān)系:

式中χ是表征全同粒子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)參數(shù);ε(x)表示符號函數(shù)，根據(jù)x是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零三種情況分別給出值1，—1，0.由(2)式的廣義對易關(guān)系可知，當(dāng)χ=0 時(shí)，產(chǎn)生湮滅算符就是玻色子算符，當(dāng)χ=1 時(shí)，產(chǎn)生湮滅算符就是費(fèi)米子算符.在這二者之間，當(dāng) 0＜χ ＜1 時(shí)，則對應(yīng)滿足分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的粒子.對于同一格點(diǎn)上的對易關(guān)系，存在兩種定義方式[44-46]，這里采用與文獻(xiàn)[44，45]一致的做法，即.這表明，當(dāng)粒子在同一個(gè)格點(diǎn)上時(shí)，粒子的行為等同于玻色子.在此定義下，當(dāng)χ減少到零時(shí)，任意子可以平順地回到玻色子極限.而當(dāng)χ增加至1 時(shí)，任意子過渡到贗費(fèi)米子極限[47，48]:不同格點(diǎn)間滿足反對易關(guān)系，但同一格點(diǎn)上為玻色對易關(guān)系.

進(jìn)一步，借助于fractional Jordan-Wigner 變換，Anyon-Hubbard 模型(1)式可以嚴(yán)格映射為一個(gè)玻色型的哈密頓量:

此外，研究了三任意子量子態(tài)在時(shí)間演化過程中的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，數(shù)值計(jì)算了任意子的兩體關(guān)聯(lián)函數(shù)，也即密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)，其具體表達(dá)式為

本文著重圍繞三粒子量子初態(tài)|ψ(t=0)〉=展開具體研究和分析.該量子初態(tài)中，三個(gè)任意子彼此緊挨，粒子間彼此影響最強(qiáng)[6，36]，因而上述密度依賴的躍遷過程的物理效應(yīng)最明顯，能夠更好地觀測全同粒子分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)因子在少體量子動力學(xué)過程中的物理效應(yīng).此外，本文針對一些不同的量子初態(tài)進(jìn)行了數(shù)值模擬.研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)值結(jié)果中展示的關(guān)鍵物理與上述初態(tài)一致，只是相應(yīng)物理效應(yīng)在局域密度分布演化圖中不如正文所示明顯.附錄A 展示了其他量子初態(tài)中的一個(gè)例子.

3 三任意子量子行走及其量子關(guān)聯(lián)

考慮長度L=101 的一維晶格系統(tǒng)，標(biāo)記其中心格點(diǎn)為0，則左右邊界格點(diǎn)分別為—50 和50.此外，在以下TEBD 計(jì)算過程中均采用開邊界條件.

首先，研究統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ取不同值和在不同的在位相互作用強(qiáng)度U下，三個(gè)全同任意子從上述量子初態(tài)出發(fā)在一維晶格中的時(shí)間演化過程.對應(yīng)此動力學(xué)過程，任意子局域密度分布的TEBD 計(jì)算結(jié)果如圖1 所示.從左到右各列，統(tǒng)計(jì)參數(shù)的取值分別為0，0.25，0.5，0.75，1.從上到下各行，相互作用強(qiáng)度取值為0，—1，—4，—80.第一列對應(yīng)玻色子極限，中間三列對應(yīng)具有分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的粒子，最后一列則對應(yīng)贗費(fèi)米子極限.對于無相互作用玻色系統(tǒng)，三個(gè)粒子的動力學(xué)過程具有大家熟知的量子行走行為.如圖1(a)所示，粒子作線性傳輸，波前的速度接近2.而當(dāng)統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ的取值逐漸增大時(shí)，在原有錐形結(jié)構(gòu)內(nèi)部會出現(xiàn)新的錐形結(jié)構(gòu).最外層的錐形結(jié)構(gòu)一直存在，速度不變，內(nèi)部的錐形結(jié)構(gòu)會隨χ值增加而逐漸收緊，這表明內(nèi)部錐形對應(yīng)的粒子傳輸速度越來越慢，如圖1(b)—(e)所示.可見，單純的量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)就可以明顯影響粒子的動力學(xué)行為，粒子統(tǒng)計(jì)具有明顯的量子動力學(xué)效應(yīng).粒子間的在位相互作用同樣可以使得最初的錐形結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)新的錐形結(jié)構(gòu)，如圖1(f)和圖1(k)所示.而當(dāng)在位相互作用強(qiáng)度非常大以至趨于硬核極限時(shí)，相互作用效應(yīng)會覆蓋掉統(tǒng)計(jì)參數(shù)的影響.

粒子的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)除了可以對三任意子的量子動力學(xué)施加上述細(xì)節(jié)的漸進(jìn)的影響外，觀察圖1 中的各圖，仔細(xì)對照可以看到一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象.在分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)區(qū)域，即 0＜χ ＜1 的參數(shù)區(qū)間，當(dāng)存在有限大小的在位相互作用時(shí)，可以看到任意子的局域密度分布在隨時(shí)間演化過程中出現(xiàn)了一種明顯的不對稱性，這是任意子分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的一種量子動力學(xué)效應(yīng)，見圖1(g)—(i)和圖1(l)—(n).而在無相互作用時(shí)(圖1 第一行)、在玻色極限(圖1 第一列)以及贗費(fèi)米子極限(圖1 最后一列)下，則沒有上述動力學(xué)不對稱性，粒子的局域密度分布在動力學(xué)過程中始終保持對稱.進(jìn)一步可以看到，強(qiáng)的在位相互作用也會抑制這種分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，使粒子的局域密度分布動力學(xué)演化過程恢復(fù)對稱，如圖1(p)—(t)所示.

圖1 三任意子在一維晶格中局域粒子密度分布的時(shí)間演化過程.晶格尺寸為 L=101 .從左至右各列對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ 的取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應(yīng)的相互作用強(qiáng)度U 的取值為0，—1，—4，—80Fig.1.Dynamical evolution of the local density distribution of three identical anyons among one-dimensional lattices of L=101 .From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes value 0，—1，—4，—80，respectively.

為了更清晰地揭示這種有趣的不對稱性，圖2給出了系統(tǒng)動力學(xué)演化過程中在時(shí)刻tc=22 的任意子的局域密度分布曲線.觀察圖1 各圖可以看到，在tc=22 時(shí)刻，任意子量子態(tài)的波前距離晶格邊界仍然有足夠距離，故而可以不計(jì)邊界的影響，主要關(guān)注晶格體內(nèi)的部分.同時(shí)，在此時(shí)刻，三任意子的量子初態(tài)的動力學(xué)演化也已經(jīng)足夠充分，其在一維晶格中的分布范圍已經(jīng)比較大.圖2第一行對應(yīng)無相互作用的自由粒子系統(tǒng)，可以看到，隨著統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ的增加，任意子局域密度分布中兩側(cè)的峰值會壓低，內(nèi)部區(qū)域的粒子局域密度逐漸抬高.不過，在統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ的整個(gè)變化過程中，任意子的局域密度分布一直保持對稱.圖2 中第二行，對應(yīng)的任意子系統(tǒng)中存有在位相互作用，相互作用的強(qiáng)度U為—1.圖2(g)—(i)對應(yīng)粒子具有分?jǐn)?shù)量子統(tǒng)計(jì)的情形，容易看出，任意子的局域密度分布呈現(xiàn)出清晰的不對稱性;吸引相互作用時(shí)，粒子局域密度分布總體偏向左側(cè)一方.而圖2(f)和圖2(j)分別對應(yīng)玻色子極限以及贗費(fèi)米子極限，它們的局域密度分布仍然與初態(tài)一樣保持對稱.進(jìn)一步計(jì)算了排斥相互作用的情形，見圖2(k)—(o)，圖中給出了在位相互作用強(qiáng)度為1 的TEBD 計(jì)算結(jié)果.可以看到，排斥相互作用下，具有分?jǐn)?shù)量子統(tǒng)計(jì)的粒子在動力學(xué)演化過程中其局域密度分布也是不對稱的.更為有意思的是，任意子在一維晶格中的局域密度分布的這種不對稱性對在位相互作用的性質(zhì)是敏感的.在排斥相互作用和吸引相互作用這兩種情形下，任意子在晶格中的局域密度分布在總體上的偏向是相反的.與其他研究工作[47，48，50]給出的動量空間中的不對稱性不同，這里展示的是任意子在動力學(xué)過程中表現(xiàn)出的實(shí)空間的不對稱性，而且這種實(shí)空間中分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)導(dǎo)致的動力學(xué)不對稱效應(yīng)敏感地依賴于相互作用性質(zhì)，排斥相互作用下與吸引相互作用下的結(jié)果不同.對比觀察圖2(f)—(j)與圖2(k)—(o)可見，如果將排斥相互作用下的任意子局域密度分布空間反演一下，可以得到吸引相互作用下的任意子局域密度分布.鑒于此特點(diǎn)，在圖1 和圖3 中只給出了吸引相互作用，即U≤0 下的結(jié)果.

圖2 不同量子統(tǒng)計(jì)及不同在位相互作用下，任意子于時(shí)刻 t=tc=22 在一維晶格中的局域密度分布.從左到右，統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ 取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應(yīng)的相互作用強(qiáng)度U 的取值為0，—1，1Fig.2.Local density profiles of anyons among the whole lattice at time t=tc=22 .From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes values 0，—1，1，respectively.

現(xiàn)在分析三任意子量子行走過程中量子關(guān)聯(lián)性質(zhì).基于(6)式利用TEBD 方法計(jì)算任意子的兩體關(guān)聯(lián)函數(shù)，即密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù).密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)是刻畫粒子間關(guān)聯(lián)性質(zhì)的重要物理量，它可以非常直觀地反映多個(gè)粒子在晶格中運(yùn)動時(shí)的聚束(bunching)或反聚束(anti-bunching)的統(tǒng)計(jì)行為.粒子共同行走(co-walking)與獨(dú)自行走(individual walking)對應(yīng)的密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)具有顯著不同的特征，因而可以方便地分析粒子的共同性(togetherness).

圖3 給出了tc=22 時(shí)刻，在不同的量子統(tǒng)計(jì)以及不同的在位相互作用強(qiáng)度下任意子的密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)計(jì)算結(jié)果，圖3 中每個(gè)子圖都用各子圖相應(yīng)的最大值進(jìn)行了重新標(biāo)度.圖3 中各子圖的物理參數(shù)與圖1 各子圖對應(yīng)相同.圖3(a)對應(yīng)熟悉的無相互作用玻色子系統(tǒng)，可以看到，關(guān)聯(lián)函數(shù)的峰值(色值最大區(qū)域)出現(xiàn)在對角線上，兩個(gè)最大峰值分處中心格點(diǎn)0 的兩側(cè).這是玻色統(tǒng)計(jì)的典型特征，玻色子間存在等效的統(tǒng)計(jì)吸引，粒子傾向于聚集在一塊，共同運(yùn)動，表現(xiàn)為聚束效應(yīng).圖3(b)對應(yīng)統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ=0.25，對比圖3(a)可以看出，粒子的統(tǒng)計(jì)性明顯改變了粒子的關(guān)聯(lián)函數(shù)的結(jié)構(gòu).全同粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)的峰值仍然出現(xiàn)在對角線上，但是峰值位置與中心格點(diǎn)0 的距離明顯變小.關(guān)聯(lián)函數(shù)的值主要分布在對角線及對角線兩側(cè)的次對角線以及次次對角線上，這是粒子共同行走的標(biāo)志.以圖3(b)和圖3(d)為例，各自的內(nèi)插圖展示了密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)在對角線及對角線兩側(cè)次對角線上的分布.通過時(shí)間點(diǎn)的對照，可知圖3(b)關(guān)聯(lián)函數(shù)對角線的部分對應(yīng)圖1(b)中的內(nèi)部錐形結(jié)構(gòu)，這說明圖1(b)中內(nèi)錐形結(jié)構(gòu)是量子行走中共同行走的成份.由此可知，統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ增大主要影響的是量子行走中共同行走的那部分粒子，使之速度變慢.依據(jù)密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)結(jié)構(gòu)可知圖1(c)—(e)中外層錐形結(jié)構(gòu)對應(yīng)的是單粒子量子行走，它們的運(yùn)動過程不受統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ的影響，速度保持不變.圖3(c)—(e)與圖3(b)的行為類似，隨著統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ增加，共同行走的部分速度越來越慢，體現(xiàn)在密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)上就是 對角線上的峰值越來越向中心格點(diǎn)0 靠攏.當(dāng)在系統(tǒng)中引入相互作用時(shí)，由圖3(g)—(i)和圖3(l)—(n)可以看到具有分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的任意子在實(shí)空間中的密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出了奇特的不對稱性.當(dāng)U＞0，粒子間為排斥相互作用時(shí)，關(guān)聯(lián)函數(shù)同樣會出現(xiàn)這種不對稱性，且不對稱性的偏向與吸引相互作用相反，進(jìn)一步印證了圖2 中給出的任意子動力學(xué)不對稱性.當(dāng)在位相互作用強(qiáng)度非常大時(shí)，系統(tǒng)接近硬核極限，玻色系統(tǒng)成為硬核玻色系統(tǒng)，此時(shí)密度密度關(guān)聯(lián)函數(shù)呈現(xiàn)出反聚束效應(yīng)，見圖3(p).進(jìn)一步，極強(qiáng)的相互作用會抑制掉分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的效應(yīng)，此時(shí)不同統(tǒng)計(jì)參數(shù)下的密度密度關(guān)聯(lián)都展示出與硬核玻色子類似的反聚束現(xiàn)象且關(guān)聯(lián)函數(shù)結(jié)構(gòu)恢復(fù)了對稱性，如圖3(q)—(t)所示.

圖3 三任意子量子行走過程中的密度密度關(guān)聯(lián)Fig.3.The density-density correlations ，圖中對應(yīng)時(shí)刻為 t=tc=22 .從左至右各列對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ 的取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應(yīng)的相互作用強(qiáng)度U 的取值為0，—1，—4，—80 of the three identical anyons at time t=tc=22 .From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes value 0，—1，—4，—80，respectively.

4 結(jié)論

本文基于三粒子量子行走的理論框架研究了全同任意子在一維晶格中的少體量子動力學(xué)行為和量子關(guān)聯(lián)性質(zhì)，著重分析了任意子的分?jǐn)?shù)量子統(tǒng)計(jì)與粒子間在位相互作用在實(shí)空間中的動力學(xué)效應(yīng).借助于嚴(yán)格數(shù)值計(jì)算TEBD 方法，計(jì)算了任意子系統(tǒng)從三粒子量子初態(tài)出發(fā)隨時(shí)間演化過程中的局域密度分布特點(diǎn).研究發(fā)現(xiàn)，對于無相互作用的自由粒子情形，粒子的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以顯著地影響粒子的動力學(xué)行為，任意子共同行走的部分會隨統(tǒng)計(jì)參數(shù)變大而變慢，而非共同行走部分速度不受統(tǒng)計(jì)參數(shù)影響.特別地，當(dāng)存在有限大小的相互作用時(shí)，粒子分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)會導(dǎo)致粒子的局域密度分布在隨時(shí)間演化過程中出現(xiàn)明顯的動力學(xué)不對稱性，而且這種有趣的不對稱性對相互作用是敏感的.排斥相互作用與吸引相互作用下，粒子密度分布的演化過程都會出現(xiàn)不對稱性，但具有相反的偏向.最后，計(jì)算了三任意子在動力學(xué)演化過程中密度密度關(guān)聯(lián)，分析了分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)對粒子關(guān)聯(lián)性質(zhì)的影響.量子關(guān)聯(lián)函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析進(jìn)一步證實(shí)了上述不對稱性及其對相互作用性質(zhì)的敏感性.

附錄A

正文中研究了任意子的少體量子動力學(xué)，著重分析了任意子的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)對三體任意子量子初態(tài)的動力學(xué)演化結(jié)構(gòu)的影響.主要基于三體量子初態(tài)|ψ(t=0)〉=對物理效應(yīng)進(jìn)行展示和分析.上述量子初態(tài)中，三個(gè)任意子相互鄰近.此種情形下，依賴于鄰近格點(diǎn)上粒子占據(jù)數(shù)的躍遷過程具有明顯的物理效應(yīng).此外，在研究過程中，對其他的一些量子初態(tài)也進(jìn)行了相應(yīng)的TEBD 數(shù)值模擬.如研究了一系列粒子間具有不同間隔的三任意子量子初態(tài)的動力學(xué)演化過程，分析了分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)與相互作用的競爭合作關(guān)系.在本附錄中，給出其中一個(gè)例子，見圖A1.圖中相應(yīng)的量子初態(tài)為，即任意子之間存在一個(gè)格點(diǎn)的間隔.

圖 A1 三任意子態(tài)在一維晶格中動力學(xué)演化過程.晶格尺寸為 L=101 .從左至右各列對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ 的取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應(yīng)的相互作用強(qiáng)度U 的取值為0，—1，—4，—80Fig.A1.(Color online) Dynamical evolution of the three-anyon state among one-dimensional lattices of L=101.From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes value 0，—1，—4，—80，respectively.

圖 A2 不同量子統(tǒng)計(jì)及不同在位相互作用下，任意子于時(shí)刻 t=tc=9 在一維晶格中的局域密度分布.任意子的量子初態(tài)為.從左到右統(tǒng)計(jì)參數(shù)χ 取值為0 0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應(yīng)的相互作用強(qiáng)度U 的取值為0，—1，1Fig.A2.Local density profiles of anyons among the whole lattice at time t=tc=9.The initial state is chosen as.From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes values 0，—1，1，respectively.