把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

●崔永紅

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。”為此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，可以通過信息技術(shù)演示、適時問題引領(lǐng)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象過程，從而把握概念的本質(zhì)，提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

一、通過信息技術(shù)與邏輯推理，把握概念的本質(zhì)

不少數(shù)學(xué)概念有其發(fā)生、發(fā)展的歷程，教師要挖掘概念背后深邃的數(shù)學(xué)思想、方法與文化，揭示概念產(chǎn)生的合理性和必然性，讓學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性就越來越高，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到有效提升。

案例1 橢圓的概念

在進(jìn)行橢圓的概念教學(xué)時，讓學(xué)生用一根細(xì)繩和畫板動手操作，畫出橢圓，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察抽象得出橢圓的概念，但在教學(xué)中，學(xué)生總有這樣的疑問：為什么這樣畫出的圖形是橢圓？怎么想到的？怎么發(fā)現(xiàn)橢圓的特征呢？

為了解決學(xué)生的疑問，教師利用信息技術(shù)動態(tài)演示，問題引領(lǐng)，師生合作，取得了較好的效果。

信息技術(shù)演示：用一個平面（與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸不垂直）將圓錐切開，如圖1所示。

圖1

師：其截面，如圖2所示，這是什么圖形呢？

圖2

生：橢圓。

師：很好！確實是橢圓。

這一問，讓學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。這時教師乘勢而上，再利用信息技術(shù)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、交流與討論。

信息技術(shù)演示：在截面的兩側(cè)分別放置一個球，使它們都與截面相切，切點為F1、F2，且與圓錐面相切，兩球與圓錐面的公共點分別構(gòu)成圓O1和圓O2，如圖3和4所示。

圖3

圖4

設(shè)點M是平面與圓錐面的截線上任一點，過M作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2于P，Q兩點，如圖5。

圖5

圖6

師：在圖5中，你能得出哪些結(jié)論？

學(xué)生一時無從回答，在學(xué)生的探究無法深入的時候，教師提示。

師：圖5中有哪些線段相等？

這時有學(xué)生小聲討論，發(fā)現(xiàn)了相等的線段。

這個問題真是“雪中送炭”，起到導(dǎo)向、引領(lǐng)的作用，幫助學(xué)生找到研究“橢圓”的方向和突破口。

生 1：MP=MF1，MQ=MF2

師：為什么？

生2：因為 MP和 MF1，MQ和MF2分別是上下兩球的切線，因為過球外一點所作球的切線的長都相等，所以 MP=MF1，MQ=MF2

師：將上面兩式相加，得到

MF1+MF2=MQ+MP=PQ

師：線段PQ的長有何特點？

學(xué)生一邊觀察，不時交流與討論，教師與學(xué)生為伍，一邊指導(dǎo)，一邊點撥。

生 3：因為 PQ=VP－VQ,而 VP，VQ 分別是兩個圓錐的母線的長，是常數(shù)，所以線段PQ的長也是常數(shù)。

師：即截線上任意一點到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)。這就是橢圓的本質(zhì)特征。至此，你能給橢圓下一個定義嗎？（略）

為進(jìn)一步讓學(xué)生加深對定義的理解，教師又提出了下面兩個問題：

追問1：已知△ABC的周長為20，一條邊BC的長為6,則頂點A的軌跡是什么？

追問2：你能用一根長為20厘米的細(xì)線在平板上畫一個橢圓嗎？

教學(xué)感悟：在教學(xué)中運用信息技術(shù)演示用平面將圓錐切開的過程，得到橢圓面，學(xué)生自然產(chǎn)生認(rèn)知沖突：橢圓是怎么定義的？在學(xué)生無助時再用信息技術(shù)演示，迫使他們深入思考下去，迫使他們認(rèn)真思考“橢圓”的特征，迫使他們觀察、交流、討論與反思，橢圓概念的產(chǎn)生成為水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，這個概念不是“人造”而是“神造”的。在此基礎(chǔ)上，再通過追問1和2進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，在做中體悟橢圓的本質(zhì)，加深對橢圓的認(rèn)識。

二、通過問題引領(lǐng)與數(shù)學(xué)建模，把握概念的本質(zhì)

在概念教學(xué)中，可以通過設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考與交流，建立數(shù)學(xué)模型，從而把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

案例2 導(dǎo)數(shù)的概念

某市6月2日7時至14時氣溫變化如圖7所示，你會有什么感嘆？

圖7

生1：12時到14時會讓人感到有些悶熱。

師:從A時到B時氣溫變化為15.1，從B時到C時氣溫變化為14.8。氣溫變化差不多，使人感到悶熱是什么原因呢？

生2：天氣熱得太快了！前者變化得緩慢，而后者變化得太快。

師：比較氣溫變化的快與慢，只考慮yC-yB行不行？如不行，還必須考察什么量？

生3：還必須考察xC-xB。

師：那如何比較氣溫變化的快慢？

生4：可以用單位時間內(nèi)平均氣溫來比較。

師：對于上述問題，我們怎樣求x=12時的氣溫呢？

到此，我們就建立了一個數(shù)學(xué)模型，用瞬時變化率量化變量在某一點處的變化快慢。導(dǎo)數(shù)的概念水到渠成，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是瞬時變化率。

教學(xué)感悟：教學(xué)中通過實例由淺入深、由表及里，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，直觀認(rèn)識平均變化率與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，體會變化率的實際背景。通過問題引領(lǐng)，層層揭示建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過程和數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系。

三、通過類比歸納與直觀想象，把握概念的本質(zhì)

類比能啟迪人們的思維，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的主要源泉，但類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證。

案例3 異面直線所成角的概念

師：如圖8，蝸桿與蝸桿的軸線a和b是什么位置關(guān)系？

圖8

生1：軸線a和b始終是異面直線。

師：如圖9，a與b、a與l是異面直線，是否還有什么不同呢？

圖9

生2：好像b、l相對于a的“傾斜程度”不同。

師：如圖10，平面內(nèi)直線b、c與直線a相交，我們怎樣刻畫直線b、c相對于直線a的傾斜的程度呢？

圖10

生3：可以過A點作直線c，使c//a，可以用相交直線b與c所成角來表示直線b相對于直線a的傾斜程度。

師：這樣表示，所成的角是唯一確定的嗎？為什么？

生4：唯一確定，因為過A點作直線a的平行線是唯一的。

師：由于是唯一確定的，因此可以用相交直線b與c所成角來表示直線b相對于直線a的傾斜程度。

生5：過直線b上任一點作直線a的平行線都可以。

師：還有更一般的作法嗎？

生6：可以過空間任意一點分別作直線a，b的平行線c，d，用c和d所成角來表示a，b所成角。

師：我們采用的方法是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是平移，這種方法在今后的學(xué)習(xí)中還有很多應(yīng)用。

于是，學(xué)生在老師的指導(dǎo)下，通過類比、合作、探究、歸納發(fā)現(xiàn)了異面直線所成角的概念。

教學(xué)中始終將數(shù)學(xué)抽象貫穿于概念產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中，自然生成了異面直線所成角的概念，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成在生產(chǎn)生活中思考問題的習(xí)慣，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)[4]。

總之，在遵循認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于概念獲得的相關(guān)理論的前提下，要以概念形成方式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察與實驗、分析與綜合、歸納與概括，感悟概念的產(chǎn)生過程，讓數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)在潛移默化中得到提升。