考慮空隙影響的巖石統(tǒng)計(jì)損傷模型研究

李越梅，呂洪淼,，劉文博，晏祥智

(1.遼東學(xué)院 城市建設(shè)學(xué)院，遼寧 丹東 118003；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000；3.云南省房地產(chǎn)開發(fā)經(jīng)營(集團(tuán))有限公司，云南 昆明 650000)

0 引 言

為更好地描述材料的應(yīng)力-應(yīng)變特性，國外學(xué)者在20世紀(jì)初提出“損傷”理論，認(rèn)為相對(duì)于理想材料而言，現(xiàn)有的材料在未加載前自身就具有損傷，即力學(xué)性質(zhì)就已經(jīng)發(fā)生了劣化。因此，通過構(gòu)建一套完整的損傷力學(xué)理論，進(jìn)而建立了可以描述材料變形性能的方程。隨著損傷理論不斷發(fā)展和完善，巖石領(lǐng)域的專家將該理論引入到巖石力學(xué)中，結(jié)合現(xiàn)有經(jīng)典的力學(xué)理論逐漸形成了宏觀、細(xì)觀和準(zhǔn)宏觀的損傷力學(xué)[1]。上述理論發(fā)展至今，最核心的思想就是如何構(gòu)建一個(gè)滿足試驗(yàn)條件的損傷變量，并結(jié)合有效應(yīng)力原理將其引入到力學(xué)本構(gòu)模型中，進(jìn)而來通過參數(shù)反演得到最終的模型方程，使得該方程可以較好地描述巖石在荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。近些年，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了巖石在加載過程中產(chǎn)生的裂隙等缺陷都是隨機(jī)的，沒有規(guī)律可循[2-3]。因此，結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)理論和損傷力學(xué)理論，將概率分布函數(shù)引入到構(gòu)建的損傷變量中，通過建立統(tǒng)計(jì)損傷模型來研究巖石在荷載作用下的破壞機(jī)理和損傷演化規(guī)律。

根據(jù)上述對(duì)損傷理論的介紹，現(xiàn)通過國內(nèi)外學(xué)者的研究成果，來說明巖石統(tǒng)計(jì)損傷理論的發(fā)展現(xiàn)狀。其中，徐衛(wèi)亞等[4]將巖石的變形分為了塑性應(yīng)變和彈塑性應(yīng)變，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)和損傷理論建立了考慮彈塑性統(tǒng)計(jì)模型。LAI等[5]通過開展圍壓對(duì)巖石軟化特性影響的試驗(yàn)，建立考慮應(yīng)變軟化對(duì)損傷影響的統(tǒng)計(jì)模型。LI等[6]為了使得現(xiàn)有屈服函數(shù)可以描述三向受力作用凍土的屈服特性，采用統(tǒng)計(jì)損傷原理將傳統(tǒng)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則進(jìn)行了改進(jìn)，并構(gòu)建了統(tǒng)計(jì)凍土損傷模型。曹文貴等[7]認(rèn)為巖石只是有空隙缺陷和巖石顆粒骨架兩部分組成，在考慮空隙變形的基礎(chǔ)上，引入了反應(yīng)空隙壓縮變形的變量，進(jìn)而建立非線性統(tǒng)計(jì)損傷模型。

上述研究成果對(duì)巖石孔隙的關(guān)注較少，且構(gòu)建的本構(gòu)模型較為復(fù)雜、模型中的未知參數(shù)較多，使得模型不容易求解。因此，筆者通過引入空隙損傷影響系數(shù)，結(jié)合損傷力學(xué)來描述巖石在加載過程中真實(shí)損傷狀態(tài)。對(duì)圍巖進(jìn)行常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)，研究砂巖在不同條件下變形強(qiáng)度特性以及損傷演化規(guī)律，以此提出考慮巖石空隙損傷的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。

1 試驗(yàn)三軸力學(xué)試驗(yàn)

采用的砂巖均取自阜新恒大煤礦1號(hào)礦井。開展三軸力學(xué)特性試驗(yàn)的設(shè)備如圖1所示，巖石試驗(yàn)系統(tǒng)的型號(hào)為TAW-2000。該巖石試樣的外觀呈灰色，表面無明顯的裂隙和層理等缺陷，尺寸和大小嚴(yán)格按照巖石力學(xué)協(xié)會(huì)制定的規(guī)則制備。開展三軸力學(xué)特性試驗(yàn)步驟：① 采用位移控制方式，以0.002 mm/s的速率將圍壓加載到預(yù)定值，在此過程中需要一直保持圍壓值不變。② 以同等的速率加載軸壓至巖石發(fā)生破壞后，持續(xù)增加軸向應(yīng)變直至得到巖石的殘余應(yīng)變變形。③ 先卸載軸壓后卸載圍壓后，以時(shí)間間隔保存數(shù)據(jù)。④ 按照地應(yīng)力的圍壓分別選取0、10、20和30 MPa。

圖1 TAW-2000巖石三軸試驗(yàn)機(jī)Fig.1 TAW-2000 rock three triaxial test machine

圖2 砂巖巖樣Fig.2 Sandstone rock sample

根據(jù)上述步驟開展試驗(yàn)，繪制出試驗(yàn)曲線如圖3所示。由圖3可知，在同一圍壓作用下，應(yīng)力-應(yīng)變曲線都是隨著應(yīng)變增大，應(yīng)力的變化規(guī)律呈現(xiàn)出先增大再減小趨于穩(wěn)定，而峰值強(qiáng)度隨著圍壓增大而增大，也說明了圍壓對(duì)于提升巖石的力學(xué)特性有顯著的幫助。

圖3 試驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Test results

2 統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型建立

經(jīng)過幾十年的發(fā)展，巖石損傷理論已經(jīng)有了完善的體系，學(xué)者們一直認(rèn)為巖石在荷載作用下產(chǎn)生的損傷實(shí)質(zhì)上是巖石自身損傷以及變形過程中的彈性損傷和黏塑性損傷疊加而成的。尤其是巖石內(nèi)部微裂紋的隨機(jī)分布特性和后期巖石損傷演化規(guī)律，都與巖石自身初始損傷有關(guān)聯(lián)[8]。因此，可以假設(shè)巖石的應(yīng)變滿足以下關(guān)系[9]為

(1)

式中：m、F為分布常數(shù)；ε為應(yīng)變；P(ε)為概率密度函數(shù)。

假設(shè)在某一級(jí)荷載作用下，在某一時(shí)間巖石內(nèi)部已破壞的微元體數(shù)目為Nt，巖石內(nèi)部總微元的數(shù)目N，兩者之比可以定義為損傷變量D[10]，即：

D=Nt/N

(2)

式中：Nt為在某一級(jí)荷載作用下，在某一時(shí)間巖石內(nèi)部已破壞的微元體數(shù)目；N為巖石內(nèi)部總微元的數(shù)目；D為損傷變量。

巖石內(nèi)部已破壞的微元體數(shù)目Nt為

(3)

得到

(4)

(5)

式中，σi為應(yīng)力；σi*為有效應(yīng)力。

三軸壓縮狀態(tài)下巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足[11]：

σ1=Eε1(1-δD)+μ(σ2+σ3)δD

(6)

其中，δ為變化系數(shù)；μ為泊松比；E為彈性模量。為進(jìn)一步描述巖石內(nèi)部空隙對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，現(xiàn)用空隙損傷影響系數(shù)f代替變化系數(shù)δ，可得

σ1=Eε1(1-fD)+μ(σ2+σ3)fD

(7)

式中，f為空隙損傷影響系數(shù)。

通過聯(lián)立式(2)—式(7)得出：

(8)

對(duì)于分布常數(shù)m，F(xiàn)0一般通過建立關(guān)于分布常數(shù)表達(dá)式來確定[12-13]。由圖4可知，存在以下幾何關(guān)系：①ε1=ε1c時(shí)，有σ1=σ1c；②ε1=ε1c時(shí)，有?σ/?ε=0。其中，ε1c為峰值點(diǎn)應(yīng)變；σ1c為峰值點(diǎn)應(yīng)力。

圖4 巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 Rock stress and strain curve

由條件②可知，

(9)

由條件①可知，

(10)

將式(9)進(jìn)行展開得到

(11)

將式(10)和(11)聯(lián)立得：

(12)

(13)

式(12)和式(13)中確定出分布常數(shù)m和F，但是表達(dá)式中還含有未知參數(shù)f需要確定。

當(dāng)變形進(jìn)入殘余變形階段后，巖石屬于完全變形破壞狀態(tài)，此時(shí)巖石產(chǎn)生的變形為巖石塑性不可逆變形，即假設(shè)在殘余應(yīng)變階段，巖石損傷變量為D=1[14]，且應(yīng)力-應(yīng)變曲線上殘余點(diǎn)的殘余應(yīng)力表示為σr，殘余應(yīng)變表示為εr，得出

(14)

式中：σr為殘余應(yīng)力；εr為殘余應(yīng)變。

彈性模量E計(jì)算[15-17]如下

(15)

式中，B為徑向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值。

由文獻(xiàn)[18-19]可知，峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變之間存在以下關(guān)系：

(16)

ε1c=aσ3+b

(17)

式中：a、b均為常數(shù)；c為黏聚力；φ為內(nèi)摩擦角。

將式(16)和式(17)代入?yún)?shù)確定方程中即可得到任意圍壓作用下參數(shù)值。將該參數(shù)值代入式(7)中，得到滿足任意條件的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。

3 統(tǒng)計(jì)損傷模型驗(yàn)證

將式(7)改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)損傷模型方程代入到軟件Origin中[20]，繪制出不同圍壓的模型曲線。根據(jù)上述參數(shù)確定方法確定出模型參數(shù)見表1。

表1 改進(jìn)統(tǒng)計(jì)損傷模型的參數(shù)Table 1 Parameters of the improved statistical damage model

表1中的參數(shù)具有局限性，它們都是在圍壓為0、10、20、30 MPa的特定條件下確定的，無法將其推廣至其他圍壓條件下進(jìn)行應(yīng)用，故需要尋找參數(shù)值與圍壓之間的關(guān)系。采用指數(shù)函數(shù)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合如圖5所示。

圖5 分布參數(shù)與圍壓關(guān)系Fig.5 Distribution parameters and confining pressure relationship

由圖5可知，參數(shù)值與圍壓之間具有較好的吻合度，且R2均大于0.95。

m=-2.192exp(-σ3/20.786)+6.562

(18)

F=0.357+0.011σ3

(19)

f=0.969+5.900×10-4σ3

(20)

根據(jù)所建立的損傷統(tǒng)計(jì)模型方程，把不同圍壓三軸壓縮試驗(yàn)曲線反演所獲得的參數(shù)，代入損傷方程中，繪制試驗(yàn)和擬合對(duì)比曲線如圖6所示。

由圖6可知，建立的模型所繪制出的曲線和試驗(yàn)曲線變化規(guī)律較為一致，這說明了引入空隙損傷影響系數(shù)，構(gòu)建出新型損傷模型可以較好地描述損傷演化。相對(duì)文獻(xiàn)[7]而言，該統(tǒng)計(jì)損傷模型更加簡單，模型中的參數(shù)較少、參數(shù)的計(jì)算公式相對(duì)簡單，且也達(dá)到了描述變形特性的效果較好。再將上述參數(shù)值代入式(7)中，得到損傷演化規(guī)律如圖7所示。

圖6 擬合曲線與試驗(yàn)曲線Fig.6 Fitting and experimental curve

由圖7可知，巖石在同一圍壓作用下的損傷變量的變化規(guī)律都是呈現(xiàn)出先增大后趨于穩(wěn)定的趨勢，這是由于巖石在荷載作用下內(nèi)部原生裂隙會(huì)進(jìn)一步發(fā)展、擴(kuò)散，直至貫通為宏觀裂縫，導(dǎo)致巖石發(fā)生變形破壞，后續(xù)試驗(yàn)巖石試樣沿著破裂面滑移，最終使得巖石的損傷程度逐漸加劇。但是在損傷變量變化初期曲線重合度較高，這是因?yàn)閹r石內(nèi)部空隙處于壓縮變形狀態(tài)，此時(shí)新生的裂隙等缺陷較少；加載中期損傷變量變化曲線逐漸分離，這是由于空隙壓密后巖石內(nèi)部裂隙開始大量的新生和發(fā)育，使得巖石損傷加??；在加載后期，巖石內(nèi)部貫通裂縫基本形成，損傷變量的變化規(guī)律趨于穩(wěn)定，微裂紋在較為軟弱的區(qū)域匯聚，使得損傷速率進(jìn)一步提高且趨近于1。此過程與實(shí)際巖石的破壞損傷演化基本一致，說明了建立損傷演化模型的合理性與正確性。

圖7 損傷演化規(guī)律Fig.7 Damage evolution

綜上所述，建立的統(tǒng)計(jì)損傷模型可較好地反應(yīng)巖石的變形特性，也可較為真實(shí)反映巷道圍巖的變形情況，對(duì)實(shí)際工程中巷道圍巖-支護(hù)體的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義，但是實(shí)際工程中圍巖所受的三向應(yīng)力大小各不相同，鑒于試驗(yàn)條件約束無法實(shí)現(xiàn)，故需要在以后研究中對(duì)巖石做真三軸試驗(yàn)，才能更好地反映實(shí)際地層開挖后圍巖的受力、變形情況。

4 結(jié) 論

1)該模型對(duì)傳統(tǒng)破壞模型引入空隙損傷影響系數(shù)可以較好地描述損傷演化，并能反映出三軸壓縮試驗(yàn)曲線的軟化特性。

2)損傷演化規(guī)律曲線表明巖石在外荷載作用下，產(chǎn)生的損傷是伴隨著巖石整個(gè)變形破壞過程，巖石的損傷演化過程是一個(gè)不斷積累、不可逆、單向發(fā)展的過程，最終在荷載作用下導(dǎo)致微裂紋巖石內(nèi)部的軟弱區(qū)域匯聚，使得巖石呈現(xiàn)出明顯的宏觀破壞面。

3)巖石在同一圍壓作用下的損傷變量的變化規(guī)律都是呈現(xiàn)出先增大后趨于穩(wěn)定的趨勢，這是由于巖石在荷載作用下內(nèi)部原生裂隙會(huì)進(jìn)一步發(fā)展、擴(kuò)散，直至貫通為宏觀裂縫，導(dǎo)致巖石發(fā)生變形破壞，后續(xù)試驗(yàn)巖石試樣沿著破裂面滑移，最終使得巖石的損傷程度逐漸加劇。