配分函數(shù)的熱核展開(kāi)研究

覃寶丞

（天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院 天津 300382）

0 引言

熱核作為一種數(shù)學(xué)方法被引入物理學(xué)中并起到了至關(guān)重要的作用，有了熱核就能夠非常容易地得到有關(guān)于這個(gè)算子的一些額外的信息，于是就有可能用熱核方法來(lái)求出某些譜求和函數(shù)丟失的信息。并且可以對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的正則配分函數(shù)作熱核展開(kāi)以求得配分函數(shù)的近似展開(kāi)式，這樣有利于對(duì)正則系綜后續(xù)的研究。

1 熱核定義與方法

熱核原本為熱傳導(dǎo)方程中初值問(wèn)題的格林函數(shù)導(dǎo)出，經(jīng)過(guò)推廣后，熱核成為一個(gè)算子最重要的譜函數(shù)之一[1-2]。熱核方法是量子場(chǎng)論中一種十分重要的方法，并且在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中也有十分重要的應(yīng)用[3-5]。

對(duì)于一個(gè)算子D而言，它的熱核K（t;x,y）有：

與初始條件

熱核K（t;x,y）的譜求和函數(shù)表示為

對(duì)于算子D，其熱核算子可定義為

則整體熱核的譜表示為

由式（4）我們可知：（1）熱核中必然包含算子D所代表的物理系統(tǒng)全部的動(dòng)力學(xué)信息。（2）熱核中必然包含系統(tǒng)所處背景的全部信息。

因此熱核的核心是從熱核中提取算子本身或算子所處的背景信息。

對(duì)于一個(gè)拉普拉斯型的算子D，它的熱核可以展開(kāi)成如下形式

其中d為空間維數(shù)。且在文獻(xiàn)[6-8]中，作者給出了協(xié)變微擾理論的第三階熱核。

2 熱核的微擾展開(kāi)

熱核展開(kāi)是研究單圈發(fā)散、異常和有效作用的各中漸進(jìn)性的一個(gè)十分簡(jiǎn)便且有效的工具。在這里僅介紹關(guān)于拉普拉斯算子的熱核的計(jì)算。

2.1 零階平直拉普拉斯算子的熱核

此時(shí)算子D的形式為

該拉普拉斯算子的解為

其中d表示空間維度，表示空間中兩點(diǎn)間的距離。

2.2 對(duì)有邊彎曲空間整體熱核展開(kāi)

首先設(shè)無(wú)邊彎曲空間上的n維拉普拉斯型算子為

則算子D的整體熱核的短時(shí)漸近展開(kāi)式為

前四階熱核系數(shù)ai（i=1～2）可以求出[2]

則對(duì)與彎曲有邊空間，算子（16）的整體熱核展開(kāi)式為

其中bm與無(wú)邊情況的熱核系數(shù)相同，前三階的熱核系數(shù)可較易求得。對(duì)于狄利克雷邊值條件和諾伊曼邊值條件，有

3 經(jīng)典正則配分函數(shù)與熱核

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)配分函數(shù)是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的核心函數(shù)，正則配分函數(shù)是又正則系綜引入的一個(gè)譜求和函數(shù)，它的具體形式為

該配分函數(shù)的譜表示為

其中H為粒子的哈密頓量。

則配分函數(shù)可應(yīng)用由熱核與熱核展開(kāi)得出的大部分結(jié)論。

一個(gè)譜函數(shù)是包含了一個(gè)系統(tǒng)的絕大部分的信息，e-Hβ可寫(xiě)成矩陣的形式，即

因?yàn)檎齽t配分函數(shù)是對(duì)e-Hβ取跡得到的，所以在對(duì)矩陣的對(duì)角元求和的過(guò)程中會(huì)丟失一定的信息，也就是矩陣中的其他矩陣元。又因?yàn)闊岷藢?shí)際上是熱核算子在坐標(biāo)表象下的矩陣元，則可有式（15）求得上面矩陣中所丟失的關(guān)于坐標(biāo)的信息，即

并且由上式求得矩陣元后可方便地得出關(guān)于位置坐標(biāo)的定域配分函數(shù),通過(guò)此定域配分函數(shù)可以計(jì)算出與位置有關(guān)的壓強(qiáng)等物理量，并與通過(guò)非定域配分函數(shù)得到的壓強(qiáng)相比較。

4 配分函數(shù)的熱核展開(kāi)

由熱核展開(kāi)的結(jié)果（18）我們可得到配分函數(shù)的熱核展開(kāi)形式。

我們可直接得到n維空間內(nèi)，即算子D為三維平直有邊空間上有相互作用的N個(gè)粒子的哈密頓量算子為

5 配分函數(shù)的集團(tuán)展開(kāi)

我們討論單原子分子的經(jīng)典體系，設(shè)該體系含有N個(gè)分子，體系的總能量為

式中第1項(xiàng)表示分子的動(dòng)能，第2項(xiàng)表示分子間相互作用的勢(shì)能。在勢(shì)能求和中，i和j都由1到N，但保持i

則正則配分函數(shù)為

為了計(jì)算上式的展開(kāi)式，邁耶發(fā)展了集團(tuán)展開(kāi)的方法，得到了實(shí)際氣體物態(tài)方程的維利展開(kāi)，若我們僅限于計(jì)算至二階維利系數(shù)，則配分函數(shù)可展開(kāi)為[9]

6 配分函數(shù)熱核展開(kāi)與集團(tuán)展開(kāi)的比較

由式（26）與式（29）可以看出在不含相互作用的項(xiàng)中，即

其中熱核展開(kāi)的第一項(xiàng)中比集團(tuán)展開(kāi)多出了一部分修正項(xiàng)，即由狄利克雷邊值條件與諾伊曼邊值條件給出的關(guān)于邊界的修正，這正是由于集團(tuán)展開(kāi)中的配分函數(shù)是非定域的結(jié)果。

而在有相互作用的項(xiàng)中，即

可以看出，熱核展開(kāi)的相互作用項(xiàng)只是平凡項(xiàng)，而集團(tuán)展開(kāi)由于近似則可以較精確地得出相互作用項(xiàng)。

綜上所述，可知若計(jì)算無(wú)相互作用的體系時(shí)，應(yīng)用熱核展開(kāi)則較精確。當(dāng)計(jì)算有相互作用的體系時(shí)，應(yīng)用集團(tuán)展開(kāi)可以得到較好的結(jié)果。