高中數(shù)學概念理解障礙的消除策略

王剛 陶煜瑾

摘 要：概念課是高中數(shù)學課程中的常見課型，如何幫助學生理解概念的本質(zhì)，運用概念來思考與解決問題是概念課的重要課題。本文通過研究學生在概念理解過程中產(chǎn)生的各種障礙，總結(jié)出一些消除這些障礙的教學策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學概念;理解障礙;消除策略

一、關(guān)于概念的理解障礙

數(shù)學概念的理解障礙是指：高中生在理解數(shù)學概念時，有時會因為各種原因不能順利地將數(shù)學概念的本質(zhì)抽取出來，不能形成正確的數(shù)學概念的心理表征，最終阻礙了學生對概念本質(zhì)的理解。其常見的表現(xiàn)形式有：學生對概念含義的抽象障礙;學生對概念形式的表達障礙;學生對概念本質(zhì)的理解障礙[1]。與概念的理解障礙產(chǎn)生有關(guān)的常見因素有：師生的教與學觀念與概念理解障礙;學生原有認識結(jié)構(gòu)與概念理解障礙;數(shù)學語言轉(zhuǎn)化能力與概念理解障礙;螺旋上升教學體系與概念理解障礙;教師教學方式方法與概念理解障礙等。

二、關(guān)于理解障礙的消除

由概念理解障產(chǎn)生的常見因素可知：教師的教學方法、教材知識的螺旋上升的知識體系、數(shù)學概念本身的抽象程度等都是概念理解障礙產(chǎn)生的重要原因。顯然，教師的教學行為是消除概念障礙的主導力量。為此，本文主要著眼于教師，主要從教學的角度來探討消除概念理解障礙的教學策略。為了能更好地具體說明，本文以七個維度來舉例說明如何消除概念的理解障礙。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，實現(xiàn)概念生成教學

麻省理工學院傳媒實驗室曾對學習者大腦活動做過一次實驗，數(shù)據(jù)表明：“在講授型概念課中學生的大腦處于非活動的狀態(tài)，活動水平甚至比睡覺時更低”。這一實驗表明：概念的教學模式，不能只靠“滿堂灌”的教學模式，應是能夠引導學生主動學習與積極參與的教學模式。因此，概念教學首先應提升學生的參與程度，能讓學生超越被動的卷入，走向積極主動的探究，提升學生學習概念的內(nèi)驅(qū)力。

例如：在引入任意角概念時，教材給出的情境：“圓周運動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象。如何來刻畫做圓周運動的點的位置？”這一情境的出現(xiàn)比較突兀，和要講授的目標概念聯(lián)系不夠緊密。筆者通過稍加修飾設(shè)計了如下情境：“鐘表的分針運動是一種常見的周期運動，請問分針運動半圈、一圈分針分別轉(zhuǎn)動多少度？”

再如：為了將角的范圍推廣，教材給出了情境：“由初中的知識可知，角可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形。在旋轉(zhuǎn)一周過程中可以得到0°～360°范圍內(nèi)的角。如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么得到的角就超出這個范圍了。所以需要先擴大角的范圍?！痹撉榫尺^于專業(yè)與籠統(tǒng)，學生回答起來十分吃力，主動參與性不強，學生的學習愿望不夠強烈。因此，在實際授課時，筆者將教材的情境分步設(shè)計，逐層推進：“1.小明的表走快了半小時，請問調(diào)整到正確時間分針需要旋轉(zhuǎn)多少度？2.小明的表走快了一個半小時，請問調(diào)整到正確時間分針需要旋轉(zhuǎn)多少度？3.原來初中理解的角的范圍是否適用了呢？”

創(chuàng)設(shè)情境教學是促進學生主動學習，引導學生積極參與課堂教學的載體[2]。由建構(gòu)主義的“最近發(fā)展區(qū)”和“從做中學”理論可知，教師可以搭建即將教授的概念與現(xiàn)實生活中的橋梁，通過設(shè)計在學生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的問題情境推動學生學習概念的內(nèi)驅(qū)力，讓學生在實際“做中”自然地進入概念的學習。

（二）借助信息技術(shù)，注重概念動態(tài)教學

數(shù)學家A.H.柯爾莫戈洛夫認為：數(shù)學家總是盡其可能地將所研究的數(shù)學問題從幾何上進行可視化。同樣，借助信息技術(shù)，教師可以將抽象的數(shù)學概念可視化，通過動態(tài)形式的呈現(xiàn)，激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生從感性的角度去認識概念，從現(xiàn)實的角度去理解概念，從而提高概念的教學效率。

例如：在高中數(shù)學必修第一冊任意角一節(jié)中有：“一條射線繞其端點逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫負角，如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角[3]”。對于這段文字的解釋，任何語言都顯得蒼白無力，此時可以利用幾何畫板做出動畫進行演示，從直觀運動來感受正角、負角、零角的概念。

抽象思維和理論思維是數(shù)學概念的主要組成部分，這決定了數(shù)學概念的難以理解的特點。從宏觀上來說，人類的思維都是從形象思維開始，慢慢過渡到理性思維，但無論是形象思維還是理性思維，都是數(shù)學研究與教學的重要組成部分。形象思維早于理性思維出現(xiàn)，在數(shù)學學習與研究中也是首先出現(xiàn)在學習者腦中的，通過形象思維我們可以來幫助理性思維的理解，從而達到消除概念理解障礙的效果。

（三）建立概念網(wǎng)絡，注重概念整體教學

英國數(shù)學家R·斯根普認為：某些概念只有處在其他概念的結(jié)構(gòu)中才會體現(xiàn)出作用。這是因為整體的概念體系結(jié)構(gòu)是個別概念的整體環(huán)境，可以為個別概念提供具體的實例，并且個別概念也是整體概念體系的重要組成部分，通過個體概念之間的比較聯(lián)系可以勾勒出整個概念體系的結(jié)構(gòu)，從而可以更有效地理解個體概念。

例如：在介紹函數(shù)的導數(shù)及導函數(shù)的概念時，如果能將所要教授的概念聯(lián)系學生已有的認知結(jié)構(gòu)“平均變化率”來進行整體解釋，學生會理解起來更加容易。

如：平均變化率

的過程，可以理解為由函數(shù)在一個區(qū)間上的平均變化的趨勢逐漸縮減為某一點處的變化趨勢，再由某一固定點處的變化趨勢，變?yōu)橐粋€運動著的點處的變化趨勢的過程。

從建構(gòu)主義的角度來看，數(shù)學概念本身是一種復雜的結(jié)構(gòu)形態(tài)，所以從建構(gòu)主義來看，任何一個概念都不能看成是一個孤立的存在，因為它是不可認知的。任何一個概念總是在它所處的整體結(jié)構(gòu)中才能表現(xiàn)出它的特點來，概念之間都或多或少存在一些關(guān)系，建構(gòu)主義把概念之間的這種關(guān)系認為是認識論的中心。所以從建構(gòu)主義角度來看數(shù)學概念的教學，我們應該將所教的概念從一個整體的角度來設(shè)計教學，在教學過程中凸顯整體性與聯(lián)系性，盡量使得概念教學呈現(xiàn)“塊”狀結(jié)構(gòu)，這樣的整體設(shè)計教學有助于概念的理解。

（四）進行對比辨析，注重概念遷移教學

數(shù)學家烏申斯基認為：數(shù)學中，比較學是數(shù)學理解和數(shù)學思維的基礎(chǔ)。由此，在概念課中，教師可以將新授概念與相近的已授概念進行類比教學，也可以將新授概念與容易混淆的概念進行對比教學，通過比較歸納它們之間的相同與不同點，可以更有效地幫助學生理解新授概念。

例如：平均變化率刻畫的是函數(shù)在某一區(qū)間上的大致變化趨勢。瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在經(jīng)過某一確定點處的變化趨勢。導函數(shù)刻畫的是函數(shù)在某一區(qū)間中的每一點處的變化趨勢和在該區(qū)間上的整體變化趨勢。故此，導數(shù)刻畫函數(shù)的變化趨勢更精確更全面。

數(shù)學概念的教學不僅僅是概念本身的語句、符號的教學，而應是一系列連續(xù)理性思維組成的整體教學。為了讓學生獲得概念感知的整體性，就要反復地“回視、對比”。通過反復“回視”對比前后聯(lián)系的概念，讓學生迅速進入情境，快速掌握新概念。

（五）提純概念本質(zhì)，注重概念精準教學

數(shù)學概念的教學，不僅要教會學生記憶概念的含義，教授概念代表的數(shù)學符號，更重要的是要教會學生真正理解概念的本質(zhì)屬性。只有真正地理解了概念的本質(zhì)，才能真正理解概念，才能運用概念解決問題。

例如：函數(shù)在某點處的導數(shù)刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)，是這個函數(shù)在該點附近的變化率。從幾何意義來看，函數(shù)在某點處的導數(shù)就是該函數(shù)的圖像在該點處的切線斜率。導數(shù)的本質(zhì)是“以直代曲”，即從極限的角度，通過某一點附近用切線來局部代替曲線來描述曲線在該點處的性質(zhì)。從這個本質(zhì)來看，瞬時速度即是通過某一時刻附近的平均速度來代替物體在此刻的速度。所以，為了更加生動地說明用導數(shù)這一概念來研究函數(shù)的瞬時變化率，教師可以從理論上的數(shù)學模型和生活中的物理模型兩個方面的實例來幫助學生理解這一概念的本質(zhì)。

學生在初次接觸某一概念時往往會抽象不出概念的本質(zhì)，其理解往往摻雜著大量與概念本質(zhì)無關(guān)的東西，教師教學的作用就是幫助學生去偽存真，去除掉與概念本質(zhì)無關(guān)的東西，引導學生不斷地提純概念的本質(zhì)，強化概念本質(zhì)的應用，使得學生對新授概念的理解不斷接近公認的表達形式。

（六）運用概念解題，注重概念實用教學

波利亞認為：我們解決一個數(shù)學問題首先應該回到它的定義。由此可見，概念的理解是用數(shù)學方法來解決問題的第一步。首先，解決問題起始于概念的理解，因此，概念的正確理解是問題解決的前提。其次，數(shù)學的本質(zhì)是用數(shù)學的角度來思考問題，用數(shù)學的方法來解決問題。顯然，解決問題對概念的理解有促進作用，因此，運用概念解決問題是概念理解的途徑。在解決問題中，教師的作用是引導學生重回到“定義”的角度發(fā)現(xiàn)問題，通過引導學生運用概念解決問題，幫助學生對概念本質(zhì)進行理解。

例如：在解釋函數(shù)的極值點的概念時，課本上給出了一個實例，在處是否取得極值，請給出解釋。通過解決這個實例，學生對極值點與極值的概念有了更深的理解，同時也能理解極值點、拐點、極值這三個概念之間的不同之處。

數(shù)學概念是數(shù)學的思維基本單位，是形成判斷、推理的基礎(chǔ)。在解題中對已知概念的運用，可以提高推理的嚴謹性和規(guī)范性，提升抽象思維水準。概念作為形式化推理的對象，是中學數(shù)學研究的最高層次的問題。為了學會運用這種推理，學生會運用已知的抽象概念去構(gòu)造更高級的抽象概念，去操演周旋于抽象概念及其相互關(guān)系的圈子之中的形式化推理中去，這對學生理解概念起到了促進作用。

（七）培養(yǎng)核心素養(yǎng)，注重大概念教學

大概念教學是素養(yǎng)導向的課堂轉(zhuǎn)型的一個重要抓手[4]。高中數(shù)學概念具有高度的抽象性，這一抽象性也使得大概念教學成為了可能。一般來說，用于解釋一定范圍內(nèi)的現(xiàn)象的概念可以有不同的大小，它們可以聯(lián)系到一個適用于數(shù)量更多現(xiàn)象的較大概念，這種聯(lián)系可以是學科內(nèi)的，也可以是跨學科跨領(lǐng)域的。

例如：在引入角的符號時，我們可以聯(lián)系物理學中的矢量來解釋。當位移帶有負號時，表示的是往正方向相反的方向運動。同樣的，當角帶有負號時表明角的終邊是向逆時針方向的旋轉(zhuǎn)運動。因此，角的符號表明的是角的旋轉(zhuǎn)方向。

進一步，由物理學中的位移的加減運算意義可知，當物體由點運動到點，再由點運動到點，再由點運動到點，不管點、點的位置，此時物體運動的位移始終為。同時數(shù)學中向量也有類似的運算性質(zhì)：

。由此我們發(fā)現(xiàn)：當幾何量帶上符號后的加減運算可以不需要依照圖形來進行區(qū)分，可以由一個簡單的代數(shù)式進行歸納總結(jié)。這種基于用符號表示方向的加減法其依據(jù)就是數(shù)學的基本定理：“沙爾定理[5]”。

大概念理論認為對不同的概念進行組織與管理，建立概念之間的聯(lián)系，圍繞一個或多個大概念形成一個概念的網(wǎng)絡有助于概念的理解。大概念理論認為對已有概念的與新授概念的整合構(gòu)建的過程與對學生高階思維發(fā)展的需求相契合。在大概念理論中，研究概念背后更核心的部分，對理解概念的本質(zhì)，應用概念的正遷移，超越小概念的本身，都有著積極的意義。大概念教學可以使學生走向理解概念知識的邏輯形式和意義層面的更深層次。因此，大概念教學能引導學習者實現(xiàn)深度思考，觸及概念的本質(zhì)，實現(xiàn)概念理解層次的飛躍。

三、概念的心理表征

心理表征是認知心理學的核心概念之一，這里所說的概念心理表征是指概念在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式。

對于數(shù)學概念的正確理解，首先在于幫助學生在已有的知識基礎(chǔ)上建立起新學概念的正確的心理表征。由于不同學生的知識基礎(chǔ)不同，理解方式不同，導致對新授概念理解時建立的心理表征也不同。這說明，對于同一個概念在不同學生心理建立起的心理表征是個性化的。相對應地，教師的概念教學也同樣需要個性化的對待。此時，教師的作用是幫助學生個體主動地依靠個體已有的知識在理解過程中建立相對應的個性化的心理表征，通過教師的引導不斷地修正，逐漸接近數(shù)學概念公認的心理表征。

結(jié)束語

概念的心理表征在學習者不斷學習與理解過程中也會發(fā)生變化，這是一個長期且變化的過程。如：對于函數(shù)的概念，初中學生主要是基于物理學的認知，此時學生對函數(shù)概念的認知還處于變量說。隨著學習的深入，學生對函數(shù)的概念理解又處于基于集合論的對應說。隨著學習的再深入，學生會認為數(shù)列也是一種函數(shù)，此時函數(shù)的概念趨于穩(wěn)定。所以，對數(shù)學概念的正確理解，學生需要經(jīng)歷多次必要的反思與整合，才能形成相對穩(wěn)定的、整體性的認識。所以，對數(shù)學概念理解障礙的消除也是一個長期的、反復的工程。

參考文獻

[1]王剛.數(shù)學概念理解障礙的表現(xiàn)形式[J] .數(shù)學教學通訊，2014（1）.

[2]章建躍，李增滬.普通高中教科書數(shù)學必修第一冊[M].人民教育出版社，2019.

[3]郭元祥.知識的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)與深度教學[J].課程·教材·教法，2009（11）.

[4]大概念視角下的單元整體教學構(gòu)型[J].教育研究，2020（6）.

[5] 章建躍，李增滬.普通高中教科書數(shù)學必修第一冊教師教學用書[M].人民教育出版社，2019.

作者簡介：王剛（1982— ），男，漢族，江蘇江陰人，江蘇省梅村高級中學，中學高級教師，碩士。研究方向：課堂教學。

陶煜瑾（1982— ），女，漢族，江蘇無錫人，江蘇省梅村高級中學，中學一級教師，碩士。研究方向：課堂教學。