基于正交試驗法的薄壁角接觸球軸承優(yōu)化設計*

李俊文,陳玉蓮

(廣州理工學院 智能制造與電氣工程學院,廣東 廣州 510540)

0 引 言

目前,機器人正在朝輕量化和精密化方向發(fā)展。

為了滿足輕量化的要求,機器人中使用的軸承大多采用薄壁軸承。雖然薄壁軸承質(zhì)量較輕,但溝道處壁厚較小,往往剛度偏低,疲勞壽命也較短,不能滿足機器人的整體性能要求,成為薄壁軸承需解決的主要問題之一[1]。

張陽陽等人[2]提出了薄壁角接觸球軸承的多目標優(yōu)化方法,綜合使用多目標函數(shù)的功效系數(shù)法、加權系數(shù)法以及正交試驗優(yōu)化設計方法,基于RomaxCLOUD對某薄壁角接觸球軸承進行了優(yōu)化設計,優(yōu)化后的軸承整體性能有較大提高。羅天宇等人[3]以高速精密角接觸球軸承剛度為優(yōu)化目標,建立了其目標函數(shù),采用局部網(wǎng)格法對角接觸球軸承進行了優(yōu)化設計,并得出結(jié)論,即對軸承進行優(yōu)化設計時應充分考慮剛度,在滿足軸承壽命的要求下,應適當增加球數(shù)和減小球徑。王廷劍等人[4]以某航空發(fā)動機主軸用三點接觸球軸承的6個結(jié)構(gòu)參數(shù)(球數(shù)、球徑、墊片角、內(nèi)圈溝曲率半徑系數(shù)、外圈溝曲率半徑系數(shù)、徑向游隙)為影響因素,建立了以軸承基本額定壽命為目標函數(shù)的優(yōu)化模型,并基于正交試驗法,對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了優(yōu)化設計及分析,得到了針對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)提高軸承壽命的方法。王盛業(yè)[5]采用正交試驗法,并基于止推軸承的6個結(jié)構(gòu)參數(shù),建立了25組動靜壓螺旋槽軸承結(jié)構(gòu)模型;以軸承承載性能作為優(yōu)化目標,利用FLUENT軟件建立了仿真模型,并對25組模型的承載特性進行了研究,將正交表對仿真結(jié)果進行了對比分析,得到了軸承承載能力的變化規(guī)律及正交試驗后最優(yōu)仿真計算模型。盛明杰等人[6]以某型號陀螺電機主軸承4個結(jié)構(gòu)參數(shù)(球數(shù)、徑向游隙、外圈溝道曲率半徑系數(shù)、內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù))為影響因素,基于正交試驗法,以軸承摩擦力矩、球磨損率、軸承疲勞壽命為優(yōu)化目標,對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了多目標優(yōu)化設計,確定了最佳設計方案。

以上文獻大部分是基于單目標的優(yōu)化設計,與軸承的實際工況相差甚遠;也有多目標的優(yōu)化設計,但沒有同時考慮以軸承的接觸剛度、接觸疲勞壽命和質(zhì)量進行多目標優(yōu)化,使軸承設計存在一定的局限性。

筆者以某機器人用薄壁角接觸球軸承為研究對象,基于正交試驗法,以內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù)等軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)為影響因素,建立5因素混合水平的正交試驗方案,以接觸剛度等3個性能指標為目標函數(shù),對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設計,通過極差分析和綜合平衡分析法確定最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 軸承性能指標計算模型

機器人采用薄壁角接觸球軸承時,在滿足其一定壽命的使用要求前提下,接觸剛度是其最重要的性能指標,其次還有輕量化指標。

1.1 接觸剛度計算模型

在角接觸球軸承擬靜力學模型的基礎上,根據(jù)鋼球與內(nèi)、外圈溝道的Hertz接觸情況,計算軸承的整體接觸剛度[7,8]:

(1)

其中,F、E的計算公式分別為:

(2)

(3)

式中:φ—滾珠的位置角。

k、E、F滿足以下曲率函數(shù)關系:

(4)

1.2 接觸疲勞壽命計算模型

由彈性滾動接觸的Hertz理論[9,10]，考慮滾珠影響時，角接觸球軸承的接觸疲勞壽命L(單位106r)計算公式[11]為

(5)

式中:Nb—滾珠數(shù)目,數(shù)值為z;Lcij，Lcoj——與第j個滾珠接觸的內(nèi)、外圈的疲勞壽命,j=1,2,…,Nb;ij—旋轉(zhuǎn)套圈的轉(zhuǎn)速與第j個滾珠的自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速之比值,通過軸承內(nèi)部的幾何運動關系確定;Lbij，Lboj—與內(nèi)、外圈接觸的第j個滾珠的疲勞壽命。

其中,Lcij、Lcoj可分別表示為：

(6)

式中:Qci，Qco—內(nèi)、外圈的額定動負荷;Qij，Qoj—第j個滾珠與內(nèi)、外圈的接觸負荷。

Lbij、Lboj可分別表示為：

(7)

式中:Qbi,Qbo—滾珠與內(nèi)、外圈接觸的額定負荷。

1.3 質(zhì)量計算模型

薄壁角接觸球軸承由滾珠、保持架、內(nèi)圈和外圈4部分結(jié)構(gòu)組成,因此,軸承的總質(zhì)量等于這4部分結(jié)構(gòu)的質(zhì)量之和。

下面,筆者介紹各部分結(jié)構(gòu)的質(zhì)量計算公式,詳細計算過程可參考劉勝超等人[12]的文獻。

滾珠質(zhì)量的計算公式為:

(8)

式中:ρball—滾珠密度;Vball—滾珠體積;Dw—滾珠直徑;z—滾珠數(shù)。

保持架質(zhì)量的計算公式為:

mcage=ρcageVcage

(9)

式中:ρcage—保持架密度;Vcage—保持架體積。

內(nèi)圈質(zhì)量的計算公式為:

mi=ρiVi

(10)

式中:ρi—內(nèi)圈密度;Vi—內(nèi)圈體積。

外圈質(zhì)量的計算公式為:

mo=ρoVo

(11)

式中:ρo—外圈密度;Vo—外圈體積。

根據(jù)上面的計算過程,可得出軸承的總質(zhì)量計算公式為:

mb=mball+mcage+mi+mo

(12)

2 多指標正交試驗理論

2.1 多指標正交試驗優(yōu)化方法

正交試驗法是一種基于正交表來研究多因素多水平優(yōu)化問題的一種設計方法,具有均勻分散性和齊整可比性的特點,主要以數(shù)理統(tǒng)計學、概率論和實踐經(jīng)驗為基礎,在許多領域的研究中都得到了廣泛應用。

利用標準化正交表,它可以科學合理地設計試驗方案;根據(jù)正交性,從全部試驗中選出部分有代表性和典型性的點進行試驗,并對試驗結(jié)果進行分析計算,從而了解全面試驗的情況,最終快速找到優(yōu)化方案[13]。

采用正交試驗法進行設計時,由于都要依賴于正交表,于是,正交表的合理選用就成為進行正交試驗設計的最重要環(huán)節(jié)[14,15]。

2.2 正交試驗數(shù)值模擬仿真流程

根據(jù)以上分析,并結(jié)合多指標正交試驗理論,筆者建立了軸承優(yōu)化設計的正交試驗數(shù)值模擬仿真流程圖,如圖1所示。

圖1 正交試驗數(shù)值模擬仿真流程

2.3 試驗方案確定

2.3.1 軸承主參數(shù)和優(yōu)化參數(shù)

筆者以某機器人RV減速器中常用的主軸承—薄壁角接觸球軸承為例,研究軸承的多目標優(yōu)化設計。

該軸承具有占用空間小、精度高等優(yōu)點,其主參數(shù)為:內(nèi)徑d=82 mm,外徑D=102 mm,寬度B=13 mm,接觸角α=15°;

軸承工況參數(shù)為:轉(zhuǎn)速n=1 000 r/min,軸向載荷Fa=800 N,徑向載荷Fr=1 500 N。

需要優(yōu)化的5個參數(shù)分別為:內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù)fi、外圈溝道曲率半徑系數(shù)fo、滾珠直徑Dw、節(jié)圓直徑Dpw和滾珠數(shù)z。

根據(jù)角接觸球軸承的設計經(jīng)驗,軸承的內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù)fi一般小于外圈溝道曲率半徑系數(shù)fo,且滿足0.51≤fi

滾珠直徑Dw需滿足以下約束條件:

(13)

經(jīng)計算,筆者選取滾珠直徑Dw的值為常用的6 mm、6.35 mm、6.5 mm(3個水平值);節(jié)圓直徑Dpw就近選取92 mm、92.5 mm、93 mm、93.5 mm、94 mm(5個水平值)。

滾珠數(shù)z的約束條件為:

(14)

由公式(14)計算可得z≤36.5,故筆者選取28、30、32、34、36(5個水平值)。

2.3.2 試驗方案設計

此處試驗目的是在薄壁角接觸球軸承滿足一定壽命條件下,獲得其較大接觸剛度和較小質(zhì)量的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù),即性能指標為接觸剛度、接觸疲勞壽命和質(zhì)量。

根據(jù)此次試驗要求,筆者選擇對性能指標具有顯著影響的5個結(jié)構(gòu)參數(shù)進行正交試驗。結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為:fi(因素A,5個水平)、fo(因素B,5個水平)、Dw(因素C,3個水平)、Dpw(因素D,5個水平)和z(因素E,5個水平)。

各因素水平值如表1所示。

表1 各因素水平值

筆者結(jié)合前面建立的軸承性能指標計算模型,基于MATLAB平臺,分別對接觸剛度、接觸疲勞壽命和質(zhì)量進行數(shù)值計算,得出3組數(shù)值模擬數(shù)據(jù),即性能指標數(shù)據(jù)。

根據(jù)正交試驗原理,筆者設計五因素混合水平正交試驗方案L25(54×31),如表2所示。

表2 五因素混合水平正交試驗方案

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設計

3.1 極差分析理論

極差分析法(簡稱R法)又稱為直觀分析法,它包括計算和判斷兩個步驟的內(nèi)容[17]。

極差分析法示意圖如圖2所示。

圖2 極差分析法示意圖第j列因素m水平所對應的試驗指標的平均值;Rj—第j列因素的極差;折算后的極差

極差Rj的值可以用第j列因素各水平下平均指標值的最大值與最小值之差來表示,即:

(15)

極差Rj反映了第j列因素的水平值變化時,試驗指標的變化幅度。一般情況下,每個試驗指標下所對應因素的極差是不同的,極差Rj主要是反映了每個因素下所選取的水平對試驗指標影響權重的大小[18]。極差Rj越大,說明該因素下所選取的水平對試驗指標的影響權重越大,于是依據(jù)極差Rj的大小,可以判斷出因素的主次關系。

當因素的水平數(shù)相同時,因素的主次順序完全由極差Rj決定。但當因素的水平數(shù)不同時,直接比較極差Rj不理想,因為若兩個因素對試驗指標有影響,一般來說,水平數(shù)多的因素極差可能大一些。

(16)

式中:r—該因素每個水平試驗的重復數(shù);d—折算系數(shù),與因素水平數(shù)有關。

其中:

r=n/m

(17)

式中:n—試驗次數(shù);m—水平數(shù)。

折算系數(shù)如表3所示。

表3 折算系數(shù)

3.2 極差計算和因素主次順序確定

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),以及公式(15,16),再利用MATLAB進行數(shù)值計算,可以得出試驗的極差分析結(jié)果,如表4所示。

表4 試驗的極差分析

續(xù)表

由于因素的水平不同,筆者根據(jù)表4中折算后的極差R′的大小,來確定各因素對各性能指標影響的主次順序。

各因素對各性能指標影響的主次順序如表5所示。

表5 各因素對各性能指標影響的主次順序

由表5可以得出:對接觸剛度影響最大的因素是內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù);對接觸疲勞壽命影響最大的因素是滾珠直徑;對質(zhì)量影響最大的因素是節(jié)圓直徑。

評價角接觸球軸承的主要指標是:接觸剛度K(越大越好),接觸疲勞壽命L(越大越好),質(zhì)量mb(越小越好)。

表6 初選各因素最優(yōu)水平組合

在初選最優(yōu)水平組合條件下的3個性能指標值如表7所示。

表7 初選最優(yōu)水平組合的3個性能指標值

3.3 綜合平衡分析法

由表6可知:

(1)對于接觸剛度的各因素初選最優(yōu)水平是A5B1C3D5E5,即fi=0.535、fo=0.52、Dw=6.5 mm、Dpw=94 mm、z=36;

(2)對于接觸疲勞壽命的各因素初選最優(yōu)水平是A1B2C3D2E5,即fi=0.515、fo=0.525、Dw=6.5 mm、Dpw=92.5 mm、z=36;

(3)對于質(zhì)量的各因素初選最優(yōu)水平是A2B5C1D1E1,即fi=0.52、fo=0.54、Dw=6 mm、Dpw=92 mm、z=28。

在不考慮試驗因素間相互作用的一般情況下,分析所選取試驗因素對試驗指標的影響時,對于單試驗指標,則正交試驗所選取的各試驗因素即為最優(yōu)水平組合。

筆者選取了3個性能指標,屬于多指標正交試驗,且由上面分析得出3個性能指標的初選最優(yōu)水平組合各不相同,需要綜合考慮各因素水平對試驗評判指標的影響,得出同時滿足3個性能指標的最優(yōu)水平組合,且最優(yōu)的試驗方案未必出現(xiàn)在所設計的試驗組中。因此,筆者采用綜合平衡分析法得出最優(yōu)水平組合[19,20]。

對于因素A,3個性能指標的最優(yōu)水平組合都不同,可結(jié)合表7試驗結(jié)果進行比較分析,筆者從A1、A2、A5中選擇最優(yōu)水平。由于因素A對于接觸剛度和壽命指標均是主要影響因素,因此,筆者先比較A1和A5,從中選出較優(yōu)水平,將其再與A2比較,通過定量比較分析得出結(jié)果。

最終得到各因素的最優(yōu)水平組合如表8所示。

表8 最終各因素的最優(yōu)水平組合

續(xù)表

從表8可以看出:

選A1時,相比選擇A5接觸剛度下降8.955 3%,屬于不利;接觸疲勞壽命提高46.669 5%,屬于有利;質(zhì)量增加0.112 6%,屬于不利。經(jīng)綜合考慮,A1有利的總比例大于A5,因此,筆者初選A1,再將其與A2進行二次比較;A2有利的總比例大于A1;最終,筆者得到A2是最優(yōu)水平;

對于因素B,筆者采用同樣的分析方法,即先比較B1和B5,從中選出較優(yōu)水平,再將其與B2進行比較。由于選B1比B5不利比重較小,因此,在兩者之中筆者選擇B1,再通過與B2進行二次比較,最終得到B2是最優(yōu)水平;

對于因素C,在接觸剛度和壽命的最優(yōu)組合中,均是C3為最優(yōu)水平;在質(zhì)量最優(yōu)組合中,C1為最優(yōu)水平;筆者通過對兩者進行定量比較分析,得出C3為最優(yōu)水平;

對于因素D,從D1、D2、D5中選擇最優(yōu)水平,由于因素D對于質(zhì)量指標是主要影響因素,對于接觸剛度和壽命指標均是次要影響因素,因此,筆者先比較D1和D2,從中選出較優(yōu)水平,再將其與D5進行比較,經(jīng)比較分析得出D5為最優(yōu)水平;

對于因素E,在接觸剛度和壽命最優(yōu)組合中,均是E5為最優(yōu)水平;質(zhì)量最優(yōu)組合中,E1為最優(yōu)水平;筆者通過兩者的定量比較分析,得出E5為最優(yōu)水平。

4 最優(yōu)設計方案確定

綜上所述,在極差分析的基礎上,筆者采用綜合平衡分析法得出的最優(yōu)水平組合為A2B2C3D5E5,即fi=0.520、fo=0.525、Dw=6.5 mm、Dpw=94 mm和z=36;

在該最優(yōu)水平組合條件下,通過數(shù)值計算,可以得到3個性能指標模擬數(shù)值分別為接觸剛度K=4.324 0×105N·mm-1,接觸疲勞壽命L=2.121 8×104h,質(zhì)量mb=247.036 6 g。

筆者將結(jié)果與表7初選最優(yōu)水平組合的各性能指標值結(jié)果進行對比,得出以下結(jié)論:

(1)各性能指標的最優(yōu)水平組合均偏重于對應性能指標的最優(yōu)值,卻忽略其他性能指標;

(2)采用綜合平衡分析法綜合考慮各性能指標的最優(yōu)狀態(tài),得出平衡狀態(tài)下的最優(yōu)水平組合,既滿足一定的壽命條件,且保證較高的剛度,同時兼顧軸承的輕量化,與機器人薄壁軸承的使用性能要求完全對標。

5 結(jié)束語

對于機器人用薄壁角接觸球軸承而言,在滿足其一定壽命的基礎上,接觸剛度是軸承第一性能指標,輕量化是其另外一個重要指標,為此,筆者以某機器人用薄壁角接觸球軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)為對象,建立了以接觸剛度、接觸疲勞壽命和質(zhì)量為目標函數(shù)的優(yōu)化數(shù)學模型,基于正交試驗法,對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了多目標優(yōu)化設計。

研究結(jié)論如下:

(1)該優(yōu)化方法效率高,設定的目標更接近角接觸球軸承的實際工況要求,可行性高;

(2)通過極差分析和綜合平衡分析法可知,在工況參數(shù)為轉(zhuǎn)速1 000 r/min、軸向載荷800 N、徑向載荷1 500 N條件下,對軸承接觸剛度影響最大的因素是內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù),對接觸疲勞壽命影響最大的因素是滾珠直徑,對質(zhì)量影響最大的因素是節(jié)圓直徑。

筆者根據(jù)各因素的影響主次順序再對各因素水平下的性能指標結(jié)果進行了對比分析,最終得到了軸承的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù)0.520、外圈溝道曲率半徑系數(shù)0.525、滾珠直徑6.5 mm、節(jié)圓直徑94 mm和滾珠數(shù)36。該結(jié)構(gòu)參數(shù)組合在接觸剛度、接觸疲勞壽命和質(zhì)量3個性能指標中,找到了最優(yōu)平衡點。

上述基于正交試驗法的軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)多目標優(yōu)化設計方法是高效可行的。但是,為了進一步提高該方法的分析精度,筆者在下一階段將對該薄壁軸承進行正交試驗方差分析,研究每個因素對軸承多個目標影響的顯著程度,以便得到精度更高的結(jié)構(gòu)參數(shù)。