“啟蒙”學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探索與啟示

摘 要：高中新課程改革對(duì)教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都提出了新的要求。但是，在高中普遍存在這樣的現(xiàn)象，很多學(xué)生在初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)較輕松自如，中考成績(jī)也較好，進(jìn)入高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)卻非常吃力，甚至在高考中數(shù)學(xué)成了拖分科目。高中新課改不僅要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，而且需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)新意識(shí)，形成數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)。雖然已經(jīng)進(jìn)行了九年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但是對(duì)高中生進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“啟蒙”，仍然是非常有必要的。陶行知說(shuō)“教育貴在引導(dǎo)”，引導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)很關(guān)鍵。本文通過(guò)對(duì)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，談幾點(diǎn)教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”的重要啟示。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)⒚蓪W(xué)習(xí);高中數(shù)學(xué);啟示

一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力

2019年6月第一版新教材的主編寄語(yǔ)中寫(xiě)道：“你想過(guò)為什么要學(xué)那么多數(shù)學(xué)嗎？因?yàn)閿?shù)學(xué)有用?！北热?，在如今日新月異發(fā)展的航天科技，我國(guó)從神舟一號(hào)載人宇宙飛船試飛成功，到中國(guó)自行研制的第三代載人飛船一飛沖天，再到2021年神舟十三號(hào)載人宇宙飛船試飛成功，并在太空建立了空間站和太空實(shí)驗(yàn)室。直接與人們生活息息相關(guān)的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，就離不開(kāi)航天科技，航天科技的發(fā)展是離不開(kāi)數(shù)學(xué)的[1]。

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“離子之微，生物之謎，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！比纾何覈?guó)自行研究開(kāi)發(fā)生產(chǎn)的0.25微米技術(shù)的CPU芯片“方舟一號(hào)”，到14nm芯片已經(jīng)量產(chǎn)，再到7nm芯片已獲得重大突破，以及破解人類(lèi)DNA基因圖譜等。數(shù)學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)家們的貢獻(xiàn)與對(duì)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)會(huì)讓人們的思維得到充分鍛煉，讓人終身受益。最直接的，高中學(xué)好了數(shù)學(xué)也為你跨入一流大學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

從上面有限的科技例證和學(xué)生自身發(fā)展表明：數(shù)學(xué)有用?！皵?shù)學(xué)有用”是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動(dòng)力。

二、教師要有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的興趣

陶行知先生提倡“興趣教育”，興趣會(huì)使學(xué)生積極追求所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，理解和掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，觸發(fā)想象力。興趣是最好的老師，興趣不是抽象存在的，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與學(xué)生的成績(jī)是成正相關(guān)的[2]。

曹才斡先生的一項(xiàng)調(diào)查表明，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)和內(nèi)容感興趣的學(xué)生，僅占被調(diào)查人數(shù)的18.3%;張一民教師對(duì)云南省千余名初中學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有興趣的學(xué)生僅占總?cè)藬?shù)的12%。數(shù)據(jù)表明，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)成績(jī)已是刻不容緩。那么，應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣呢？

（一）發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的美

學(xué)生在剛接觸高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，接觸的內(nèi)容是集合，新鮮感還是有的，就要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的符號(hào)美。如集合中：元素屬于集合，記作;元素不屬于集合，記作;集合是集合的子集，記作，或等，文字表達(dá)比較煩瑣，而符號(hào)很簡(jiǎn)短，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔美[3]。

如研究函數(shù)的圖像時(shí)：借助多媒體進(jìn)行教學(xué)，當(dāng)學(xué)生輸入的特殊值（>0， ≠1）時(shí)，發(fā)現(xiàn)曲線對(duì)稱(chēng)美的變化。同理可觀察、的變化，曲線發(fā)生的變化。從數(shù)字的改變產(chǎn)生圖像的變化，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的結(jié)合。讓學(xué)生充分體會(huì)高中數(shù)學(xué)中“有數(shù)就有美”，“有形就有美”[4]。

（二）加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，特別是融入數(shù)學(xué)文化

1.加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)新教材改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容。如，每章開(kāi)頭都配有圖片和文字。文字都是從實(shí)際引入的問(wèn)題，理論聯(lián)系實(shí)際，有利于學(xué)生增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，分析、解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)新教材中的每一冊(cè)書(shū)都增加了與實(shí)際相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。如，每章的閱讀與思考材料、探究與發(fā)現(xiàn)等。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，有助于促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地探究學(xué)習(xí)內(nèi)容。數(shù)學(xué)文化是現(xiàn)在高考考題的重要題型之一，考查數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，在平常的課堂教學(xué)中，應(yīng)主動(dòng)滲透數(shù)學(xué)文化[5]。

九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)的次數(shù)決定解開(kāi)圓環(huán)的個(gè)數(shù)。除了數(shù)列簡(jiǎn)單遞推關(guān)系知識(shí)的運(yùn)用以外，還涉及益智游戲，感興趣的同學(xué)自然就會(huì)琢磨這一中國(guó)古代傳承下來(lái)的文化。數(shù)學(xué)文化可以從多角度、多層面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2.教師在教學(xué)中應(yīng)注意理論與實(shí)際相結(jié)合。如在講解絕對(duì)值不等式之前，請(qǐng)同學(xué)們提前觀察食品包裝袋上的各種產(chǎn)品說(shuō)明，會(huì)看到“>，≥，<，≤”等符號(hào)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性強(qiáng)了，興趣也自然就更濃厚了。

（三）采用靈活多樣的教學(xué)方法

教學(xué)方法多樣化，也可借助多媒體互相配合使用、取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。作為一名數(shù)學(xué)教師，需要更好地再現(xiàn)教材內(nèi)容，更好地表情達(dá)意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，活躍課堂的教學(xué)氣氛，揚(yáng)長(zhǎng)避短形成自己的特色。讓學(xué)生不是在課堂上一味“聽(tīng)數(shù)學(xué)”，而是在課堂上積極思考、手腦并用，在數(shù)學(xué)課堂上獲得成功的喜悅，逐漸提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣[6]。

（四）開(kāi)展數(shù)學(xué)課外活動(dòng)

1.數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)在課外活動(dòng)中占有重要地位，但次數(shù)不能過(guò)于頻繁。題目難易適度，才能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2.利用數(shù)學(xué)史料激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣。3.適當(dāng)開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。如，數(shù)學(xué)謎語(yǔ)、數(shù)學(xué)相聲、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)童話、數(shù)學(xué)魔術(shù)等。數(shù)學(xué)課外活動(dòng)的開(kāi)展，學(xué)生可多角度地接觸數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣便油然而生。

總之，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，高中數(shù)學(xué)中的美以及教學(xué)方法的靈活性和多樣性，通過(guò)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)開(kāi)展等方式，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。數(shù)學(xué)興趣主要是從心理層面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，感受數(shù)學(xué)的美感，像數(shù)學(xué)的圖形美、符號(hào)美及生活中展示的數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美等，不斷讓古今中外數(shù)學(xué)文化之美滲透到數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，通過(guò)這些活動(dòng)使學(xué)生的學(xué)習(xí)可以從課堂走到課外，從而多角度、多層面地接觸和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，自主探究數(shù)學(xué)奧秘[7]。

三、學(xué)生要學(xué)會(huì)閱讀數(shù)學(xué)教科書(shū)

（一）認(rèn)識(shí)閱讀數(shù)學(xué)教科書(shū)的重要性

教科書(shū)是教師的教與學(xué)生的學(xué)的依據(jù)，是抓好基礎(chǔ)知識(shí)的關(guān)鍵。養(yǎng)成良好的閱讀教科書(shū)的習(xí)慣，能夠主動(dòng)地獲取知識(shí)和方法，而不是一味地被動(dòng)接受教師“喂”。

（二）怎樣學(xué)會(huì)閱讀數(shù)學(xué)教科書(shū)

1.對(duì)學(xué)生而言，閱讀數(shù)學(xué)教科書(shū)必須做到態(tài)度的端正，同時(shí)弄清數(shù)學(xué)教科書(shū)的結(jié)構(gòu)和編寫(xiě)特點(diǎn)，這樣再閱讀會(huì)較順利。數(shù)學(xué)教科書(shū)對(duì)每一節(jié)新的內(nèi)容，一般是先有導(dǎo)入，產(chǎn)生概念，引出性質(zhì)、公式，再配上例題，同時(shí)對(duì)應(yīng)有練習(xí)。分三個(gè)層次的復(fù)習(xí)題：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索，每一章末還有知識(shí)小結(jié)和復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)也是分為三個(gè)層次。對(duì)教科書(shū)的編寫(xiě)結(jié)構(gòu)了解之后，在閱讀時(shí)就可以根據(jù)自己的實(shí)際情況有的放矢地抓好基礎(chǔ)，落實(shí)好數(shù)學(xué)思想方法。還要學(xué)會(huì)邊閱讀邊思考。在閱讀時(shí)，對(duì)一些重要的概念，應(yīng)該用筆進(jìn)行圈點(diǎn)勾畫(huà)，把概念分成幾個(gè)層次，理解其實(shí)質(zhì)含義，這樣運(yùn)用起來(lái)也就會(huì)很方便。對(duì)書(shū)上給的例題要仔細(xì)地思考并理解，自己也可以思考是否有其他的解法，以提高自己思維的靈活性，所以對(duì)數(shù)學(xué)教科書(shū)一定要用心閱讀。

2.教師要不斷給學(xué)生創(chuàng)造讀教科書(shū)的機(jī)會(huì)。如，布置學(xué)生做課前預(yù)習(xí)，課后復(fù)習(xí)。在課堂上預(yù)留時(shí)間，讓學(xué)生讀教科書(shū)或者提問(wèn)等。例如，選擇必修第二冊(cè)中4.3.2節(jié)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的教學(xué)，學(xué)生應(yīng)先熟讀教科書(shū)，然后教師再以問(wèn)題的方式推進(jìn)教學(xué)內(nèi)容。教科書(shū)[第34頁(yè)]國(guó)際象棋棋盤(pán)上有8行8列，構(gòu)成64個(gè)格子。關(guān)于國(guó)際象棋有這樣一個(gè)傳說(shuō)，發(fā)明者對(duì)國(guó)王說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，此后，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子。能給我足夠的麥粒數(shù)嗎？”你認(rèn)為國(guó)王有能力滿(mǎn)足發(fā)明者上述要求嗎？

問(wèn)題1：如何計(jì)算國(guó)際象棋棋盤(pán)上所有麥?？倲?shù)呢？

學(xué)生會(huì)分析得出：各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是1，2，22，23，…，263，于是發(fā)明者要求的麥粒總數(shù)：1+2+22+…+263，個(gè)別學(xué)生開(kāi)始認(rèn)為是具體的數(shù)字，所以就直接計(jì)算，結(jié)果數(shù)字越來(lái)越大，最后無(wú)法繼續(xù)。

問(wèn)題2：怎么知道在等式兩邊同時(shí)乘以呢？

這個(gè)問(wèn)題在教科書(shū)中隱去了，如果學(xué)生能思考或者發(fā)問(wèn)，說(shuō)明他讀教科書(shū)是用心在讀。這個(gè)問(wèn)題的回答，跟前一節(jié)課等比的定義密切相聯(lián)系，等比數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)乘以公比q，所以等式兩邊乘以q以后，除了開(kāi)頭和結(jié)尾項(xiàng)外，其余中間項(xiàng)都是相同的，所以做差便可消去很多項(xiàng)，得出公式，這也是數(shù)列求和里邊非常重要的方法之一——“錯(cuò)位相減法”。

如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)之積，求這個(gè)數(shù)列的和，就可以用本節(jié)課隱藏的“錯(cuò)位相減法”求解。

概言之，數(shù)學(xué)教科書(shū)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的根本，但是編者在編寫(xiě)的時(shí)候往往隱去了重要的數(shù)學(xué)思維，這就要在課堂教學(xué)中靠教師引導(dǎo)。本節(jié)課的推導(dǎo)方法，是很重要的“錯(cuò)位相減法”，隱藏在教材里邊，學(xué)生讀書(shū)時(shí)要認(rèn)真地體會(huì)并學(xué)會(huì)運(yùn)用，通過(guò)教學(xué)之后還實(shí)現(xiàn)學(xué)生從課堂走到課后，主動(dòng)開(kāi)展進(jìn)一步探究。

四、學(xué)生要學(xué)會(huì)做總結(jié)，特別是單元小結(jié)

俗話說(shuō)：“千金難買(mǎi)回頭看。”學(xué)習(xí)過(guò)程中，若不經(jīng)?；仡櫩偨Y(jié)，則心中無(wú)數(shù)。要想做到知識(shí)運(yùn)用自如，一個(gè)重要環(huán)節(jié)——做好單元小結(jié)是十分必要的。雖然教科書(shū)的每一章節(jié)都有小結(jié)和復(fù)習(xí)參考題，但能根據(jù)自己的實(shí)際情況有意識(shí)地做小結(jié)，知識(shí)和方法便能融會(huì)貫通。那么，如何做小結(jié)呢？

（一）弄清知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握重點(diǎn)、難點(diǎn)

通過(guò)將知識(shí)成串、分類(lèi)列表等方式把書(shū)由厚變薄，重點(diǎn)、難點(diǎn)突出，使相互關(guān)系一目了然。如“集合”中第1到第3小結(jié)，集合的知識(shí)點(diǎn)包括：第一是集合的基本概念，第二是集合間的基本關(guān)系，第三是集合的運(yùn)算。其中集合的基本概念有集合的元素及其性質(zhì)、集合的分類(lèi)、集合的表示法、常見(jiàn)數(shù)集構(gòu)成;集合間的基本關(guān)系分為子集和真子集，以及相等這兩種關(guān)系;集合的運(yùn)算分類(lèi)就比較詳細(xì)了：全集、補(bǔ)集、交集、并集。這些是集合的重要知識(shí)點(diǎn)，以及基本概念，做題時(shí)一定要清晰地把握習(xí)題的重點(diǎn)，難點(diǎn)[8]。

（二）注意知識(shí)點(diǎn)的前后呼應(yīng)，挖掘內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)課程的各個(gè)章節(jié)，新知識(shí)往往是舊知識(shí)的延伸或擴(kuò)展，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中找出新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。在小結(jié)時(shí)，要挖掘出這種關(guān)系，使之成為較完整的系統(tǒng)，便于綜合運(yùn)用。挖掘這種關(guān)系，也會(huì)給研究二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、解一元二次不等式帶來(lái)極大方便。

（三）歸納習(xí)題類(lèi)型，探求解題規(guī)律

在做小結(jié)時(shí)，除了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的小結(jié)，還要學(xué)會(huì)把各式各樣的習(xí)題按題型或題性歸類(lèi)，盡量找出解題規(guī)律，達(dá)到多題歸一，也提倡一題多解，提升數(shù)學(xué)思維的靈活性。我們還需要把自己平時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)的題目進(jìn)行整理歸類(lèi)，整理時(shí)題目要全、解答完整且正確、錯(cuò)因分析以警示以后不要再犯類(lèi)似的錯(cuò)誤，以備今后復(fù)習(xí)之用。

結(jié)束語(yǔ)

若能做到以上種種，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以算作是：已養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，有一定的讀書(shū)習(xí)慣、自學(xué)能力和學(xué)習(xí)方法。如是便能較順利地實(shí)現(xiàn)從初中到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)渡。正如陶行知先生提倡的“學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)從容學(xué)習(xí)，做事情有計(jì)劃、有決心，才會(huì)持之以恒地做下去”一樣，學(xué)生會(huì)聽(tīng)課、會(huì)讀書(shū)、會(huì)提問(wèn)、會(huì)總結(jié)，再通過(guò)數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題和數(shù)學(xué)課外的一系列活動(dòng)，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更多的了解，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，自然就會(huì)主動(dòng)學(xué)習(xí)。學(xué)生如果真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的，又對(duì)它感興趣，那么就一定會(huì)主動(dòng)地讀教科書(shū)，主動(dòng)地學(xué)習(xí)，主動(dòng)地做題并進(jìn)行總結(jié)，而且樂(lè)此不疲。若學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提升了，那順利完成高考也就水到渠成了。

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作者簡(jiǎn)介：盧碧如（1970—），女，漢族，四川鄰水人，云南省昆明市第一中學(xué)，中學(xué)高級(jí)，本科。研究方向：基礎(chǔ)教育。