Invar鋼模具雙曲板材展開方法及軟件實(shí)現(xiàn)

李玉楊， 季 文， 張禮康， 郭琪琪， 胡 勇， 黃朝炎

（1.中航西安飛機(jī)工業(yè)集團(tuán)股份有限公司，西安 710089； 2.武漢理工大學(xué)，武漢 430063）

Invar鋼具有熱膨脹系數(shù)小、塑性和韌性高等特點(diǎn)，被大量應(yīng)用于飛機(jī)復(fù)合制件模具的制作中[1–2]。其中，模具型面是由Invar鋼中厚板通過壓力機(jī)等彎曲設(shè)備預(yù)成形后焊接，再用數(shù)控機(jī)床加工而成[3]。模具型面形狀一般較為復(fù)雜[4]，有較多不光順曲面和雙曲度曲面，且曲面邊界差別較大，從三邊形到六邊形不等，這給曲面的展開和準(zhǔn)確下料帶來了一定的困難。

曲面展開是將空間曲面映射到二維平面的過程，根據(jù)曲面能否被精確展開，可將曲面分為可展曲面和不可展曲面[5]。不可展曲面板材絕大部分由平面加工而成，其展開是必須解決的問題。展開是曲面加工的逆過程，與曲面加工工藝密切相關(guān)，由于加工工藝的不確定性及復(fù)雜曲面本身不可展，因此所有展開都是近似的，其準(zhǔn)確程度主要取決于展開方法和對加工工藝的考慮程度。曲面展開在諸多領(lǐng)域有大量應(yīng)用，故國內(nèi)外學(xué)者所開發(fā)的展開方法也數(shù)量眾多，依據(jù)其展開原理，大體可以分為以下3種。

（1）幾何法[6–7]。將曲面劃分成小曲面片，再基于一定的約束原則，如保形或保角等，將小曲面依次展開到平面上，由于展開中心、基準(zhǔn)及展開原則不同，同一曲面的展開圖并不唯一。

（2）力學(xué)法[8–10]。建立能量模型，確定彈力、變性能、位置及相關(guān)的精度控制的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上展開曲面的初始位置，釋放變性能，得到最終形狀。

（3）幾何–力學(xué)相結(jié)合的方法[11–12]。先用幾何方法將曲面展開，得到初始二維平面展開圖，由于初始展開平面中可能存在三角片的翻轉(zhuǎn)、重疊、間隙、外輪廓不封閉等情況，再用力學(xué)方法對初始展開面進(jìn)行修正。

以上方法在一定程度上提高了曲板展開的精度和效率，但由于未考慮板材加工工藝的差異性對展開結(jié)果的影響，故存在理論精度高卻實(shí)際很少被應(yīng)用的問題。如在幾何法中，實(shí)際板材的形變并不保形；在力學(xué)法中，變形非常均勻，故展開前后，面積的變化小，在數(shù)學(xué)上精度高，但實(shí)際成形過程中，并不需要也無法做到變形均勻分布到每一點(diǎn)，而是通過某些加工線來實(shí)現(xiàn)板材的成形。本文在實(shí)際生產(chǎn)的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)考慮Invar鋼模具型板成形加工工藝及變形分布特點(diǎn)，開發(fā)了一種基于小三角形的雙曲度板材展開方法及軟件，并用于實(shí)際生產(chǎn)，可將板材下料余量縮小至5～10mm。

1 外板展開方法

曲板展開是板材成形加工的逆過程，對于不同的成形方法應(yīng)有相應(yīng)的展開算法，因此在展開前必須分析曲板的加工工藝及其變形情況。本文的展開方法借鑒有限元思想，將曲面逐步分解為若干板條和小三角形，再對小三角形進(jìn)行展開，接著按一定規(guī)則對小三角形進(jìn)行拼接，形成板材展開后的整體形狀。該方法的關(guān)鍵在于拼接方法和重疊、間隙的處理。展開步驟如圖1所示。

圖1 曲面展開步驟Fig.1 Surface development steps

1.1 板材成形工藝

雙曲度金屬板材成形加工方法可分為熱加工、冷加工及冷熱加工結(jié)合等方法。其中，冷加工相較于熱加工對金屬材料的微觀結(jié)構(gòu)改變較少，可以適應(yīng)不同材質(zhì)的加工要求，被大量用于特殊材質(zhì)的金屬板材成形。為防止材料在沖壓過程中因局部失穩(wěn)產(chǎn)生皺褶，一般會增加或自然存在壓延邊，使得板材的變形基本以拉伸為主。對于厚度較大且縱橫向曲率差別明顯的板材，為提高沖壓質(zhì)量和效率，一般會分兩步加工，首先，用輥彎機(jī)加工曲率較大的方向，板材變形以兩端無約束的自由彎為主；再用整體模具、活絡(luò)模具或壓力機(jī)加工整體形狀，工件往往存在較強(qiáng)約束，通過拉伸、彎曲變形相結(jié)合的方式成形。絕大部分Invar鋼模具型板具有光順、縱橫曲率差較大等特點(diǎn)，故通常采用上述的成形加工方法時(shí)，工件中間層的變形具有兩個特點(diǎn)： （1）拉伸變形為主； （2）拉伸變形一般沿曲率較小的方向。以上特點(diǎn)將反映到展開方法上。

1.2 曲面展開前處理

由于曲面一般是根據(jù)型表面或結(jié)構(gòu)面給出，但是由于彎曲效應(yīng)，板材的上下表面的拉伸壓縮情況存在較明顯差別，故在不考慮中性層偏移的情況下，用幾何中間層進(jìn)行展開較為準(zhǔn)確。板材展開的數(shù)據(jù)是根據(jù)一定插值密度的空間點(diǎn)（型值點(diǎn)）給出，得到型值點(diǎn)后，將對各點(diǎn)進(jìn)行偏移。假設(shè)Pij為各型值點(diǎn)坐標(biāo)，則偏移后

其中，t為板材厚度。

對偏移后的型值點(diǎn)進(jìn)行重新擬合，則得到展開曲面。常見的Invar鋼型板外輪廓為四邊形，但也存在一定的三邊形、五邊形及少量的六邊形。由于外板展開過程中，基線的選取、板條的分割與板材邊緣輪廓密切相關(guān)，故不同外輪廓的板材形狀需要統(tǒng)一起來。如圖2所示，四邊形、三邊形、五邊形分別被定義為ABCD、ABC、ABCDE。對于三角形板材，將在最短邊相對的頂點(diǎn)處添加一頂點(diǎn)D，增加一條長度為0的邊，因此，三角形就可以看作四邊形ABCD。對于五邊形板材，將最大內(nèi)角相鄰的兩邊合并成一邊，如存在多個相等的最大內(nèi)角，則優(yōu)先選擇較長邊對應(yīng)的最大內(nèi)角，四邊分別為AB、BCD、DE、EA。在作板條分割時(shí)，C點(diǎn)將必須作為板條的頂點(diǎn)，五邊以上的形狀用相似的方法處理。

圖2 三邊形和五邊形板的邊緣處理Fig.2 Edge treatment of trilateral and pentagonal plates

將所有形狀的板材都轉(zhuǎn)化為四邊形，假設(shè)四邊形的4個頂點(diǎn)為V1、V2、V3、V4，定義曲面法向?yàn)?/p>

基線是板材展開和成形檢驗(yàn)的基準(zhǔn)，其選取的優(yōu)劣直接影響到后續(xù)工作，下文以四邊形板來說明基線的選取。假設(shè)S1、S2、S3、S4為四邊形的邊（含0邊和合并邊）。若

Max（|S1+S3|, |S2+S4|）≥2Min（|S1+S3|, |S2+S4|），則以兩短邊中點(diǎn)和曲面法向來確定基線；若

Max（|S1+S3|, |S2+S4|）< 2Min（|S1+S3|, |S2+S4|），則以曲率較大的相對邊的中點(diǎn)和曲面法向來確定基線。假設(shè)兩短對邊（或曲率大對邊）的兩中點(diǎn)為P、Q，則基線截平面法向?yàn)?/p>

截平面方程為

基線為截平面與曲面的交線。

以上方法適用于絕大多數(shù)雙曲度板材，該方法的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算方便，可以根據(jù)設(shè)定的誤差限自動地選擇展開的三角形單元的大小，提高計(jì)算效率。如圖3所示，對于形狀較為規(guī)則的板材，基線大致將板材分為上下相等的兩部分，板條將盡可能垂直于基線主軸，這樣對展開精度較為有利。這對于形狀較為規(guī)則的板是易于實(shí)現(xiàn)的，將大型面劃分為多塊板材曲面時(shí)應(yīng)考慮到這一點(diǎn)。但對于形狀較為特別的板，上述基線選取方法會導(dǎo)致基線上下兩部分面積差別較大，從而產(chǎn)生較大的展開誤差。這通常出現(xiàn)在曲板某條邊具有明顯內(nèi)凹的情況下，如圖4所示。

圖3 基線的選取Fig.3 Selection of baseline

圖4 特殊形狀板Fig.4 Special shape plate

對于該類形狀的曲面，直接在數(shù)據(jù)提取時(shí)，設(shè)定好提取點(diǎn)的數(shù)量，以中間行作基線。如假設(shè)提取點(diǎn)數(shù)量為65×65，那么以第33行數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn)線展開。該方式可適應(yīng)任意形狀的曲板，但計(jì)算量較大，且對插值取點(diǎn)有一定要求。

1.3 曲面劃分

板條劃分以基線為基準(zhǔn)，用二分法對基線進(jìn)行劃分，假設(shè)將基線分為N段后，基線的端點(diǎn)和劃分點(diǎn)依次為P0,P1, …，Pn–1,Pn，設(shè)誤差限為ε，若|Pi–1Pi|+|PiPi+1|–|Pi–1Pi+1| <ε，則Pi–1至Pi+1之間的基線段不需要再分，若超過誤差限，則需要進(jìn)一步劃分。最終的板條劃分可能如圖5所示。另外，為保證展開精度和加工實(shí)際，基線的允許相對誤差要小于曲板展開的允許相對誤差，且考慮到加工光順性的要求，板條的寬度需要設(shè)定上限，數(shù)量需要設(shè)定下限。

圖5 板條劃分Fig.5 Division into strips

曲面由NURBS參數(shù)曲面表示，一般而言，基線與u向近似平行。確定基線上的分割點(diǎn)后，反算出u0,u1, …,un–1,un，則以f=S（ui,v）（i=0, 1, …,N）作為板條的分割線。

板條分割完成后，需進(jìn)一步對板條進(jìn)行剖分，板條以基線為界分為上下兩部分，之后左右兩側(cè)都用二分法進(jìn)行劃分，左右兩邊的分割點(diǎn)必須保持對應(yīng)且滿足精度要求。這樣，板條被分割成一系列矩形，再用每個矩形的左上角到右下角的對角線將矩形分成2個三角形，如圖6所示。

圖6 三角剖分Fig.6 Triangulation

1.4 曲面展開與拼接

網(wǎng)格劃分完成后，計(jì)算頂點(diǎn)間的距離，即計(jì)算小三角形每條邊的弦長，用三邊弦長組成的三角形代替原來的三角形即實(shí)現(xiàn)小三角形的展開，進(jìn)而得到所有三角形的邊長。如圖7所示，將第i板條左、右邊上的分割點(diǎn)從下到上依次編號為Qij、Rij（j=1，2，…，M），將Qi0置于原點(diǎn)，Ri0置于X軸，則可從下至上依次展開，即

圖7 板條展開Fig.7 Strips development

從下到上，依次可確定各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到板條的外輪廓。

板條展開完成后，計(jì)算板條基線上下的4個夾角，即αi、βi、γi、δi，如圖8所示。相鄰板條拼接時(shí)，第i個板條基線右端點(diǎn)和第i+1板條基線左端點(diǎn)重合。旋轉(zhuǎn)右端板條，旋轉(zhuǎn)角度為εi+1=（δi+βi+1–γi–αi+1）/2。

圖8 板條拼接Fig.8 Strips splicing

板材按上述方法由雙曲度曲面展開得到平面，高斯曲率為正的曲面或區(qū)域（如帆形），板材之間必定存在縫隙，高斯曲率為負(fù)（如馬鞍形），則存在重疊。這些縫隙或重疊區(qū)域即需要成形加工的部分。如采用收縮加工，則允許存在間隙而不能重疊；若采用拉伸加工，則反之。本文的加工方法以拉伸加工為主，故只允許板材存在重疊。上述的旋轉(zhuǎn)方法可以使相鄰板條上下部分的重疊和間隙均勻，旋轉(zhuǎn)完成后，若不存在間隙，則板條間的拼接完成；若存在間隙，則右側(cè)板條將沿Rn+1Qn向量方向移動最大間隙距離。拼接后，板材上下邊相鄰的板條未展開時(shí)的分割點(diǎn)在展開后成為不重疊的兩點(diǎn)，取兩點(diǎn)的中點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，擬合得到板材的邊緣形狀，完成曲板展開，如圖9所示。

圖9 間隙及邊緣處理Fig.9 Gaps and edges treatment

本文展開及拼接方法的另一優(yōu)勢是，不同板條之間的展開精度沒有影響，即板條K的展開精度提高或者降低，并不影響板條K之外的區(qū)域的展開精度。而在其他展開方法中，通常會導(dǎo)致累積差。

2 軟件實(shí)現(xiàn)

在展開理論研究的基礎(chǔ)上，對CATIA軟件進(jìn)行了二次開發(fā)，采用適合于Invar鋼模具材料特性和生產(chǎn)方式的展開算法和內(nèi)部結(jié)構(gòu)映射算法，可提高展開的精度和材料的利用率，降低生產(chǎn)成本。本軟件原則上可根據(jù)控制精度展開任意曲面，但展開光順曲面的精度和效率更高。展開時(shí)，可選擇板材成形方式（熱加工或冷加工），以適應(yīng)不同的加工方法。

軟件主要包括三維數(shù)據(jù)點(diǎn)讀取、曲面和結(jié)構(gòu)線展開及展開數(shù)據(jù)表達(dá)顯示等3個模塊，如圖10所示。

圖10 曲面展開軟件及其功能Fig.10 Surface deployment software and its functions

2.1 三維數(shù)據(jù)點(diǎn)讀取模塊

通過VBA編程，開發(fā)交互式的模型處理及數(shù)據(jù)讀取模塊 （圖11），通過該模塊，可以實(shí)現(xiàn)曲面的分割與合并，選取將要展開的板及其相關(guān)加工線、檢驗(yàn)線等，并可進(jìn)行批量處理。提取時(shí)，可以設(shè)定數(shù)據(jù)點(diǎn)的密度，并可根據(jù)板厚完成中心層偏移。

圖11 數(shù)據(jù)提取模塊對話框Fig.11 Data extraction module dialog box

2.2 曲面展開模塊

該模塊為展開軟件的主體，主要包括板輪廓展開，加工線如輥扎線、定位線展開，檢驗(yàn)線如框架線、定位剖線展開等，展開后輸出為xml和txt兩種格式的數(shù)據(jù)文件。

2.3 曲面展開數(shù)據(jù)顯示模塊

曲面展開后輸出的xml數(shù)據(jù)可以實(shí)現(xiàn)與CATIA軟件的交互，作為下料、套料和檢測的依據(jù)；txt文件可實(shí)現(xiàn)與CAD的交互，方便使用者出相關(guān)的加工圖紙，如圖12所示。

圖12 曲面展開及加工檢驗(yàn)線圖（mm）Fig.12 Development and processing inspection line drawing (mm)

3 展開結(jié)果分析

采用給定解析式的三角球面、帆形面和馬鞍形面、圓筒面來檢驗(yàn)展開結(jié)果的準(zhǔn)確性，曲面方程如下。

展開結(jié)果如表1所示。在本算法中，左右邊線展開前后等長，故不考慮。表1中所示伸縮量即該曲線上的間隙或重疊的絕對值和，是伸縮量的理論值。實(shí)際加工過程中由于影響因素眾多，伸縮量存在偏差，故需加放一定的余量，根據(jù)加工經(jīng)驗(yàn)，上邊線、下邊線、極限最大伸縮量不大于50mm時(shí)，加5mm余量；伸縮量大于50mm時(shí)，加10mm余量。展開結(jié)果對型面的分塊也有參考價(jià)值，當(dāng)總收縮量與上下邊線或基線的比大于5%時(shí)，成形比較困難，該型板需要進(jìn)一步分塊。

表1 解析曲面展開結(jié)果Table 1 Analytic surface expansion results mm

表1中的誤差是曲面上曲線的誤差，是衡量曲面展開準(zhǔn)確性的指標(biāo)之一，可通過進(jìn)一步的細(xì)化三角單元來提高?？紤]到加工過程中，需要根據(jù)對樣情況確定加工線，故曲面展開時(shí)，間隙或重疊均勻且排列有序?qū)庸ぽ^為有利，因此間隙或重疊的分布情況更為重要。本展開方法的重疊和間隙沿板條兩側(cè)分布（圖13），與水火彎板或冷壓的加工線是一致的。

圖13 曲面展開伸縮量分布情況Fig.13 Expansion and contraction distribution results

使用該展開方法及編制的軟件，對32套Invar鋼模具的121塊型板進(jìn)行展開，展開型板形狀有比較規(guī)則的四邊形板，也有形狀比較特殊的異形板，相關(guān)工件通過數(shù)控彎板機(jī)和油壓機(jī)成形加工，裝配檢驗(yàn)結(jié)果表明，該展開方法只需要留5～10mm余量，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)展開方法所需要的20～40mm的加工余量，可顯著地減少材料浪費(fèi)和后續(xù)機(jī)加工工作量。

4 結(jié)論

本文基于Invar鋼冷加工成形的加工工藝特點(diǎn)，提出了一種基于小三角形的曲板展開方法，并進(jìn)行了軟件實(shí)現(xiàn)。指出雙曲度板材展開不可避免地存在重疊和間隙，并非由展開誤差導(dǎo)致，而是板材加工中應(yīng)有的伸縮量，其分布應(yīng)有加工線一致。通過對32套模具的121塊型板進(jìn)行展開加工檢驗(yàn)，證明該方法可以適應(yīng)不同形狀的光順型板的展開，并有較好的展開精度。