Delta算子框架下混沌系統(tǒng)的魯棒滑模同步控制

李 惠， 鄭柏超,2， 吳躍文

(1.南京信息工程大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210000； 2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210000)

0 引言

混沌系統(tǒng)可以看作是拓撲混合、周期軌道密集、對初始條件敏感的非線性動力系統(tǒng)。當一個混沌系統(tǒng)驅(qū)動另一個混沌系統(tǒng)或兩個以上的混沌系統(tǒng)耦合時，混沌系統(tǒng)會存在同步現(xiàn)象。目前，混沌系統(tǒng)中的同步現(xiàn)象因其廣泛的應(yīng)用而受到研究者的關(guān)注，如在物理學(xué)、生物科學(xué)、保密通信等多個重要發(fā)展領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-2]。在實際應(yīng)用中，各種不確定因素都會對系統(tǒng)產(chǎn)生干擾，在非線性耦合、時滯、不確定性和干擾的情況下，人們做了大量的工作來實現(xiàn)同步[3-4]。大部分文獻是基于連續(xù)或離散模型描述混沌系統(tǒng)，少有研究成果將兩者統(tǒng)一起來進行研究[5-8]。文獻[5]提出了連續(xù)時間線性穩(wěn)定系統(tǒng)跟蹤任意混沌系統(tǒng)實現(xiàn)混沌化的一般方法；文獻[6]基于一種連續(xù)混沌系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)同步控制規(guī)則；文獻[7]針對一類帶有執(zhí)行器故障、非線性時滯及外部干擾的主從混沌系統(tǒng)之間的同步控制問題進行研究；文獻[8]針對一類離散時間混沌系統(tǒng)提出了一種基于有限時間觀測器的同步方法。

Delta算子是連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的統(tǒng)一描述形式，它可以有效地將離散時間和連續(xù)時間系統(tǒng)的描述統(tǒng)一起來[9]。近年來，Delta算子系統(tǒng)的理論發(fā)展迅速，在高速信號處理、寬帶通信和數(shù)字采樣控制等領(lǐng)域取得了許多成果[10-11]。文獻[12]研究了Delta算子系統(tǒng)下的網(wǎng)絡(luò)控制故障檢測問題；文獻[13]利用Delta算子系統(tǒng)來描述一類非線性系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上研究故障診斷的方法。

滑?？刂剖且环N先進的非線性控制策略，具有響應(yīng)速度快、對系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動和外部干擾具有強魯棒性的特點[14-15]。因此，利用滑模控制研究Delta算子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著一定的優(yōu)勢，如文獻[16-17]都是針對Delta算子系統(tǒng)與滑模控制相結(jié)合的問題研究。

與文獻[5-8]中僅單一考慮連續(xù)模型或者離散模型的混沌系統(tǒng)設(shè)計相比較，針對由N個子系統(tǒng)耦合而成的非線性混沌系統(tǒng)，建立能同時考慮連續(xù)模型與離散模型情況的Delta算子框架下的統(tǒng)一模型。此外，針對上述模型提出同步誤差系統(tǒng)的滑?？刂圃O(shè)計方法，保證同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)不受子系統(tǒng)間傳輸故障、網(wǎng)絡(luò)惡化等的不利影響，能在有限時間內(nèi)到達滑模面，最終實現(xiàn)魯棒滑模同步控制。經(jīng)過理論推導(dǎo)和仿真驗證，本文建立的模型以及提出的控制方法能有效實現(xiàn)在含有DoS攻擊和網(wǎng)絡(luò)故障因素影響下非線性耦合混沌系統(tǒng)的同步，表明了該方法的可行性和有效性，具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。

1 Delta算子框架下非線性耦合混沌系統(tǒng)描述

建立Delta算子框架下非線性耦合混沌系統(tǒng)模型為

(1)

式中：xi(t)∈Rn，表示第i個子系統(tǒng)的狀態(tài)向量；B∈Rn×m，表示系統(tǒng)的輸入矩陣；φi j>0，表示常數(shù)拓撲加權(quán)參數(shù)，是第i個子系統(tǒng)和第j個子系統(tǒng)之間的耦合強度；網(wǎng)絡(luò)連接是否正常是DoS攻擊下對網(wǎng)絡(luò)性能的基本評估，用ρi j來表示，ρi j=1，表示第i個子系統(tǒng)和第j個子系統(tǒng)之間有正常的網(wǎng)絡(luò)連接，ρi j=0，表示無網(wǎng)絡(luò)連接，ρi j=-1，表示第i個子系統(tǒng)和第j個子系統(tǒng)之間的連接是惡化的；h(xj(t)),h(xi(t))表示所發(fā)生的網(wǎng)絡(luò)故障；ui(t)∈Rm，表示控制輸入。δx(t)為Delta算子，它是一種新的離散化方法，其定義為

(2)

式中，Δ為采樣周期常數(shù)，Δ=0，表示連續(xù)系統(tǒng)，Δ≠0，表示離散系統(tǒng)，這兩類系統(tǒng)在Delta算子中被聯(lián)系并統(tǒng)一起來。

當Δ=0時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為

(3)

文獻[18]提出的系統(tǒng)模型就是由N個耦合子系統(tǒng)組成的非線性耦合混沌系統(tǒng)，如式(3)所示。

當Δ=1時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散形式的混沌系統(tǒng)，即

(4)

(5)

(6)

(7)

所以式(1)可以寫成

(8)

考慮f(xi(t))=Axi(t)+Bgi，其中，A∈Rn×n，gi∈Rm×1，都是已知的常值矩陣，將其代入式(8)得

δxi(t)=Axi(t)+Bgi+Bui(t)+

(9)

假設(shè)存在一個孤立的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，記為w(t),滿足

δw(t)=f(w(t),t)=Aw(t)+Bgw

(10)

式中：w(t)可以表示相空間中的混沌軌道、平衡點或周期軌道；gw∈Rm×1,為常值矩陣。記混沌系統(tǒng)的同步誤差ei(t)=xi(t)-w(t),可得Delta算子框架下的同步誤差方程為

δei(t)=δxi(t)-δw(t)

(11)

整理得

(12)

得到式(12)同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(13)

式中：δei1(t)∈Rn-m；δei2(t)∈Rm；A11(t)∈R(n-m)×(n-m)；A12(t)∈R(n-m)×m；A21(t)∈Rm×(n-m)；A22(t)∈Rm×m;B2∈Rm×m。

假設(shè)1 (A,B)可控，Rank(B)=m

假設(shè)2 外部干擾di(t)有界，即存在D>0，使得||di(t)||

引理1[17]對于一個Delta算子系統(tǒng)來說，其狀態(tài)量為x(t)。如果存在正定函數(shù)V(t)，對于任意x(t)不等式滿足

(14)

那么，系統(tǒng)的平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

引理2[19]對于任何時間函數(shù)x(t)和y(t)，Delta算子滿足

δ(x(t)y(t))=δ(x(t))y(t)+x(t)δ(y(t))+
Δδ(x(t))δ(y(t))

(15)

考慮在DoS攻擊、網(wǎng)絡(luò)故障以及非線性耦合的影響下，對Delta算子框架下非線性耦合混沌系統(tǒng)進行研究。設(shè)計合適控制器，實現(xiàn)非線性耦合混沌系統(tǒng)的漸近同步，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖見圖1。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of system structure

2 滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計

針對Delta算子框架下非線性耦合混沌系統(tǒng)，考慮其在DoS攻擊、網(wǎng)絡(luò)故障以及非線性耦合等因素影響下的滑?？刂圃O(shè)計。首先設(shè)計切換函數(shù)，保證同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上能夠漸近穩(wěn)定，然后設(shè)計滑模控制律，使得同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)到達滑模面并收斂到原點附近，最終實現(xiàn)魯棒滑模同步的控制目標。

2.1 線性滑模面設(shè)計

針對式(12)同步誤差系統(tǒng)，取線性滑模切換函數(shù)為

(16)

式中：C=(C1C2)，C1∈Rm×(n-m)，C2∈Rm×m，且可逆；ei(t)=(ei1(t)ei2(t))T，ei1(t)∈R(n-m)×(n-m)，ei2(t)∈Rm×(n-m)，得

C1ei1(t)+C2ei2(t)=0

(17)

(18)

定理1對于給定的采樣周期常數(shù)Δ>0，存在正定矩陣X∈R(n-m)×(n-m)與W∈R(n-m)×(n-m)，一般矩陣Y∈Rm×(n-m)，使線性矩陣不等式

(19)

成立，則式(18)同步誤差降階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中：He(X)=X+XT；符號*表示對稱塊矩陣中的對稱項，選擇合適的C2，求得σi(t)=(C2YX-1C2)ei(t)。

證明過程如下。

(20)

式中,P為正定矩陣。

由引理1知，系統(tǒng)同步的條件是

(21)

將式(20)代入式(21)，化簡得到

(22)

另外

(23)

(24)

(25)

(26)

2.2 控制律設(shè)計

為使同步誤差系統(tǒng)到達滑模面，設(shè)計如下控制律

ui(t)=-(CB)-1(CAei(t)+
(||

CB||

D+εi)sgnσi(t))

(27)

式中：矩陣CB是可逆的；D是已知的正常數(shù)，且||

di(t)||

≤D；εi為給定的正常數(shù)。

定理2對于滿足假設(shè)1和假設(shè)2條件的Delta算子同步誤差系統(tǒng)式(12)，采用式(27)表示的控制律，能夠保證同步誤差系統(tǒng)在有限時間內(nèi)到達滑模面并收斂到原點附近，最終實現(xiàn)同步。

證明過程如下。

(28)

由引理1可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定條件為

(29)

對滑模面函數(shù)σi(t)求Delta運算可得

δ(σi(t))=Cδ(ei(t))=C(Aei(t)+Bui(t)+Bdi(t))。

(30)

將式(27)代入式(30)，可得

δ(σi(t))=CBdi(t)-(||

CB||

D+εi)sgnσi(t)。

(31)

結(jié)合式(28)和式(31)，可得

(32)

其中，||di(t)||≤D，可得

(33)

3 實例仿真

考慮常見的混沌系統(tǒng)描述[18]，其在連續(xù)時間框架下描述為

(34)

式(34)可以表示為緊湊形式的狀態(tài)空間模型，即

(35)

根據(jù)文獻[19]可以得到相應(yīng)的Delta算子系統(tǒng)，進一步系統(tǒng)可表示為

δx(t)=Aδx(t)+Bδg+Bδu+

(36)

圖2 3個子系統(tǒng)和單個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的混沌吸引子映射Fig.2 Chaotic attractor mapping of three subsystems and a single network system

針對Delta算子框架下的非線性耦合混沌系統(tǒng)，結(jié)合式(10)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，可得同步誤差系統(tǒng)為

(37)

當控制設(shè)計忽略了子系統(tǒng)間的非線性耦合、網(wǎng)絡(luò)故障以及DoS攻擊現(xiàn)象時，選取D=5，εi=1,i=1,2,3時，利用Matlab-Simulink進行仿真，結(jié)果如圖3～5所示。

圖3 混沌系統(tǒng)同步誤差曲線(D=5)Fig.3 Synchronization error curves of chaotic system(D=5)

圖4 切換函數(shù)響應(yīng)曲線(D=5)Fig.4 Response curves of switching function(D=5)

圖5 控制律響應(yīng)曲線(D=5)Fig.5 Response curves of control law(D=5)

當考慮子系統(tǒng)間的非線性耦合、網(wǎng)絡(luò)故障以及DoS攻擊時，選取D=20，εi=1,i=1,2,3時，利用Matlab-Simulink進行仿真，結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 混沌系統(tǒng)同步誤差曲線(D=20)Fig.6 Synchronization error curves of chaotic system(D=20)

圖7 切換函數(shù)響應(yīng)曲線(D=20)Fig.7 Response curves of switching function(D=20)

圖8 控制律響應(yīng)曲線(D=20)Fig.8 Response curves of control law(D=20)

在D=20的情況下，混沌同步誤差曲線、切換函數(shù)曲線以及控制律曲線運動軌跡漸近收斂至原點，保持穩(wěn)定。將圖3～5和圖6～8進行對比，后者收斂到原點的速度明顯快于前者，趨近時間較短，到達原點穩(wěn)定性更好。

上面兩組數(shù)據(jù)情況的仿真效果對比表明，在Delta算子框架下設(shè)計的控制算法能夠有效克服DoS攻擊和網(wǎng)絡(luò)故障等的影響，實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步，充分驗證了利用Delta算子方法來實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步的有效性和優(yōu)越性。

4 結(jié)論

基于Delta算子理論，針對一類含DoS攻擊和網(wǎng)絡(luò)故障的非線性混沌系統(tǒng)，研究了魯棒滑模同步控制問題。首先,針對由N個耦合子系統(tǒng)組成的非線性耦合混沌系統(tǒng)，建立Delta算子框架下的統(tǒng)一模型；其次,結(jié)合李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式技術(shù)，給出Delta算子框架下非線性混沌系統(tǒng)的滑模面及到達控制律的設(shè)計方法；最后，以包含3個子系統(tǒng)的Delta算子框架下非線性混沌同步誤差系統(tǒng)為例，成功地實現(xiàn)了非線性混沌同步誤差系統(tǒng)的漸近同步。仿真結(jié)果表明了所提方法的可行性和有效性。