一類非對稱圓錐曲線問題的解法研究

浙江省溫州市第五十八中學(xué)(325000) 金榮杰

在圓錐曲線問題中,形如mx1+nx2(mn)或my1+ny2()的式子,通常是無法根據(jù)韋達(dá)定理直接求解,我們把這類問題稱為非對稱圓錐曲線問題,本文以一道期中考試題為例,探究這類問題的解法.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)(0,4)斜率為k的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).求證:直線BM與AN的交點(diǎn)G在定直線上.

2 試題分析

解題至此,學(xué)生發(fā)現(xiàn)2x1+6x2,3x2?x1沒有辦法直接利用韋達(dá)定理就放棄了.筆者經(jīng)過一番探究,總結(jié)出解決此類非對稱圓錐曲線問題的七種解法,供讀者參考.

3 解法探究

3.1 關(guān)注特殊情形,先猜后證

分析特殊到一般是高中數(shù)學(xué)中的重要思想,對于圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、定線等問題,考慮直線的特殊位置,如直線過特殊點(diǎn),頂點(diǎn)或者斜率不存在、斜率為0等情況,可以啟發(fā)我們找到正確的結(jié)果,然后通過證明該結(jié)果對一般情形成立即可.這樣可以明確解題的方向,降低題目的難度.

3.2 回歸曲線方程,合理轉(zhuǎn)化

3.3 引入待定參數(shù),配湊常數(shù)

分析受方法一的啟發(fā),在②式兩邊配湊一個常數(shù)可以將非對稱問題轉(zhuǎn)化為對稱問題,不同于先猜后證,下面我們嘗試引入待定參數(shù),使得x1,x2前的系數(shù)相等,進(jìn)而確定參數(shù)的值.

解在②式兩邊加上參數(shù)m,則

3.4 配湊兩根之和,消元化簡

分析對于②式,最大的困難是如何處理式子2x1+6x2,3x2?x1,我們可以通過韋達(dá)定理配湊兩根之和消去一個未知量,如消去x1,則2x1+6x2=2(x1+x2)+4x2,3x2?x1=4x2?(x1+x2).

解

注本題也可以消去x2,同理可得y=1.

3.5 妙用韋達(dá)定理,積轉(zhuǎn)為和

分析解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們,齊次化往往可以簡化問題,在②式中x1x2是二次項,其它都是一次項,于是想要將二次項x1x2轉(zhuǎn)化為一次項,觀察x1x2與x1+x2的結(jié)構(gòu)可知,兩者可以相互轉(zhuǎn)化.

3.6 引入通法通解,暴力計算

下面提供兩道非對稱圓錐曲線問題,供讀者練習(xí).

1.已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(?c,0),F2(c,0),M,N分別為左、右頂點(diǎn),直線l:x=ty+1與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)t=?時,A是橢圓C的上頂點(diǎn),且ΔAF1F2的周長為6.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線AM,BN交于點(diǎn)T,求證:點(diǎn)T的橫坐標(biāo)xT為定值.

2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為右準(zhǔn)線的方程為x=4,F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),A,B分別為橢圓C的左右頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過T(t,0)(t＞a)作斜率為k(k＜0)的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè)),且F1M//F2N.設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,求k1·k2的值.

本文從多種角度優(yōu)化運(yùn)算,如從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)學(xué)生思考,尋找突破口;借助曲線方程、代數(shù)變形、和積關(guān)系的轉(zhuǎn)換等方法將非對稱圓錐曲線問題轉(zhuǎn)化為對稱問題進(jìn)行求解.最后再給出兩道同類型問題,讓學(xué)生獨(dú)立自主的體會一下處理非對稱圓錐曲線問題的方法,拓展學(xué)生的思維、提高學(xué)生的核心素養(yǎng).