基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的鋼橋檢測和維修優(yōu)化研究*

曾勇 史振偉 薛曉芳 譚紅梅

1.重慶交通大學省部共建山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點實驗室 400074

2.重慶交通大學山區(qū)橋梁結(jié)構(gòu)與材料教育部工程研究中心 400074

引言

鋼橋承受重復荷載，可能會導致疲勞病害或疲勞失效。因此，需要在設計使用壽命期間對疲勞的某些關鍵細節(jié)進行檢查，檢測潛在的疲勞損傷，并為適當?shù)木S修行為提供有用的證據(jù)（如疲勞關鍵細節(jié)的裂紋長度）。另一方面，檢測和與之相關的維修行為會產(chǎn)生費用，增加鋼橋運營階段的全壽命成本。由此可知，有效規(guī)劃疲勞關鍵細節(jié)的檢測和維修行為不僅對確保結(jié)構(gòu)功能和安全至關重要，而且對控制鋼橋運營階段的全壽命也很重要。

從20 世紀90 年代開始，針對疲勞結(jié)構(gòu)如何既保證結(jié)構(gòu)的安全性，又使得運營階段的全壽命成本最低，海內(nèi)外學者相繼提出了一些基于概率的結(jié)構(gòu)養(yǎng)護優(yōu)化方法。Kong［1］等通過使用計算機程序?qū)ν嘶Y(jié)構(gòu)進行生命周期分析（該程序考慮了各種作用對退化結(jié)構(gòu)一組剖面的可靠性指標的影響），并考慮結(jié)構(gòu)的全生命周期成本，建立了基于可靠性的框架模型，并給出了退化橋梁的數(shù)值算例，驗證了該方法的有效性。Stewart［2］等利用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)腐蝕開裂可能性和開裂程度的概率信息，發(fā)展了一種預測壽命周期成本的技術(shù)，該技術(shù)根據(jù)裂縫開裂的可能性和程度，建立維修費用函數(shù)，并作為判斷維修時機和維修費用的標準。Soliman［3］等提出了一種概率方法，通過整合檢測和監(jiān)測行動獲得的信息，找到疲勞敏感結(jié)構(gòu)的最佳管理計劃，該方法利用依賴于時間的概率損壞準則，結(jié)合檢查成本和失效成本來找到不確定情況下的最佳檢測時間，在結(jié)構(gòu)服役期間執(zhí)行檢測操作，所產(chǎn)生的新信息，將用于更新?lián)p傷傳播參數(shù)和對結(jié)構(gòu)的養(yǎng)護進行優(yōu)化。Faber［4］等采用貝葉斯概率網(wǎng)絡評估了某海上設施拆除的風險性，主要是利用貝葉斯概率網(wǎng)絡進行敏感度分析，用于改進風險評估模型。J. Zhu［5］等通過積分提出了一種概率模型，使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡進行現(xiàn)場檢查，同時考慮相關的不確定性，用于正交異性鋼橋面板的疲勞損傷的診斷和預測。

進入21 世紀以后，我國的一些學者也開始注意和研究此方向，并取得不錯的成果。楊偉軍［6］等基于橋梁運營階段的動態(tài)可靠性，結(jié)合維修加固成本與加固完成后的經(jīng)濟效益，提出了一種以動態(tài)可靠性為約束，維修加固成本和失效損失之和為目標函數(shù)的決策方法。曾勇［7］等結(jié)合LEMF、結(jié)構(gòu)可靠度理論和WLC 方法，提出了一種基于概率的鋼橋焊接構(gòu)件的疲勞養(yǎng)護策略優(yōu)化方法，該方法以滿足最小可靠度情況下總養(yǎng)護成本最低為準則，方法簡單實用，可操作性強。黃天立［8］等采用伽馬過程模擬鋼橋的疲勞裂紋增長過程和疲勞失效概率，并結(jié)合檢測概率和養(yǎng)護成本，以最大化構(gòu)件使用壽命和最小化運營階段養(yǎng)護成本為多目標函數(shù)，提出了基于伽馬過程和遺傳算法的鋼橋構(gòu)件疲勞裂紋檢測和維護策略優(yōu)化計算模型。

經(jīng)上述研究現(xiàn)狀發(fā)現(xiàn)，所采取的疲勞壽命評估方法的不足之處在于不能夠獲得疲勞裂紋的實際尺寸。當采用無損檢查技術(shù)對鋼橋進行檢測時，不僅可以檢測出結(jié)構(gòu)的損害程度，更重要的是還能夠獲得疲勞裂紋的實際尺寸，而實際裂紋長度與采用各種方法模擬的裂紋長度往往會存在偏差。因此，本文采用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡，將無損檢查獲得的實際裂紋長度更新到基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的疲勞裂紋評估模型中，以保證各種方法模擬的實際裂紋長度的準確性。

1 鋼橋檢測和維修優(yōu)化框架

雖然基于檢測結(jié)果的后驗分析能夠更新疲勞裂紋評估模型并指導維修決策，但它對于選擇檢測計劃（即無損檢測技術(shù)）沒有幫助。因此本文提出了一種綜合性的基于概率的優(yōu)化框架，用于選擇疲勞關鍵細節(jié)的最佳檢測和維修計劃，擬議的框架如圖1 所示。

圖1 檢測維修優(yōu)化框架示意Fig.1 Schematic diagram of inspection and maintenance optimization framework

擬議的框架主要包括以下三個方面：

1.檢測時間

在框架中用箭頭表示鋼橋的服役時間歷程。檢測時間可根據(jù)性能函數(shù)評估疲勞可靠性來確定，根據(jù)基于斷裂力學理論的疲勞壽命評估模型進行預測，結(jié)合性能函數(shù)確定鋼橋的第一次檢測時間，然后將檢測結(jié)果用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡更新鋼橋疲勞細節(jié)的裂紋擴展模型，依據(jù)此模型確定下一次鋼橋的檢測時間，使用壽命期間剩余的檢測也采用此方法。

2.檢測維修事件樹

確定檢測以后，首先要根據(jù)疲勞細節(jié)、檢測概率和基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的鋼橋疲勞裂紋擴展模型等因素，從列舉的檢測方法I1～Ii中，選擇出最佳的檢測方法，檢測完成后，根據(jù)獲得的檢測數(shù)據(jù)評估結(jié)構(gòu)的損壞狀態(tài)；最后再根據(jù)結(jié)構(gòu)的損壞狀態(tài)列舉對應的維修措施R1～Ri。

3.養(yǎng)護決策流程圖

首先要指定某一特定檢測方法，根據(jù)檢測獲得的數(shù)據(jù)，利用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的鋼橋疲勞裂紋擴展模型評估鋼橋的性能，列舉維修措施，評估該維修措施下的鋼橋性能，然后計算該措施的養(yǎng)護成本，循環(huán)計算不同維修措施下的養(yǎng)護成本，最終做出最佳的決策。

上述框架的關鍵之處在于如何將檢測到的裂縫尺寸更新到結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋中去，并更新結(jié)構(gòu)的性能。本文使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡，將檢測到的裂縫尺寸作為證據(jù)，用來達到上述目的。下面介紹一下動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型的構(gòu)建步驟，并建立基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的疲勞裂紋擴展模型。

2 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型的構(gòu)建步驟

概率方法是解決不確定問題的一種相對有效的方式，而貝葉斯網(wǎng)絡是將概率論統(tǒng)計應用于復雜領域、進行不確定性推理和數(shù)據(jù)分析的工具。目前動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡在醫(yī)療診斷、工程應用、金融分析等領域有廣泛的應用，是研究不確定性問題領域內(nèi)發(fā)展較快的時變不確定信息推理技術(shù)。本文將動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的構(gòu)建過程劃分為以下四個階段：

（1）獲取變量階段。貝葉斯網(wǎng)絡中的特征變量是構(gòu)建網(wǎng)絡的基礎，特征變量過多會導致計算量將呈量級增加，過少又會導致無法準確預測疲勞裂紋的擴展，構(gòu)建的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡將失去意義。因此需要對研究的問題進行分析，確保能夠得到與實際情況相符合的變量。在此階段需要完成的工作有：確定節(jié)點變量及其狀態(tài)分布，將其離散化處理，并確定變量的狀態(tài)空間。

（2）構(gòu)建靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡。初始模型設計階段即建立靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡階段，此階段需要確定變量節(jié)點的拓撲結(jié)構(gòu)和概率分布，然后使用Ge-

NIe軟件完成靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的建模。

（3）構(gòu)建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡。動態(tài)網(wǎng)絡模型設計階段的關鍵是確定隨時間更新變化的節(jié)點，定義出轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡。轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡的定義有用引入算法進行定義的，也有利用專家知識進行定義的，可以根據(jù)研究問題具備的基礎條件和需要進行選擇。

（4）驗證模型。可以通過輸入工程實例數(shù)據(jù)進行正向推理，比較預測結(jié)果和使用最原始公式計算出來的數(shù)據(jù)的差距，來驗證所構(gòu)建的模型是否有效，如果結(jié)果差異較大，就需要對前面的步驟進行檢查、修正。這一階段是一個反復的過程。

2.1 獲取動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型變量

由于本文采用基于斷裂力學的疲勞裂紋擴展模型對鋼橋疲勞細節(jié)進行壽命評估，因此在本研究中，疲勞裂紋擴展由Paris公式（1）來確定：

式中：C、m為材料的疲勞參數(shù)；ΔK為循環(huán)應力強度因子，由循環(huán)應力引起；N為加載循環(huán)次數(shù)；Δa為一個時間段的裂紋擴展速率；Sre為等效應力幅；a0為當前時間段中的初始裂紋的長度；G為幾何修正系數(shù)。

對于基于斷裂力學的疲勞裂紋擴展模型，可以根據(jù)裂紋的長度定義疲勞的極限狀態(tài)，當疲勞裂紋長度a達到預定閾值acr時，鋼橋的構(gòu)件達到其使用壽命。鋼橋的極限疲勞狀態(tài)可以通過式子（3）進行計算：

從式（3）可知，當E（t）＞0 時，構(gòu)件處于安全狀態(tài)；當E（t）＝0 時，構(gòu)件處于臨界狀態(tài)；當E（t）＜0 時，構(gòu)件處于危險狀態(tài)。在此定義當疲勞裂紋長度a超過預定閾值acr時，構(gòu)件處于危險狀態(tài)，并將此事發(fā)生的概率命名為超限概率，并以Pf（t）來表示鋼橋服役期t年時的超限概率。

從式（1）～（3）中可以得到貝葉斯網(wǎng)絡的網(wǎng)絡節(jié)點（節(jié)點變量）：材料常數(shù)C和m，循環(huán)應力強度因子ΔK，初始裂紋的長度a0，等效應力幅Sre，當前時間段的裂紋長度a，臨界裂紋長度acr，當前時間段的疲勞狀態(tài)E。

一般來說，貝葉斯網(wǎng)絡的節(jié)點主要通過兩種方式來獲得變量空間：參數(shù)學習和專家咨詢。由于監(jiān)測資料少，搜集資料困難等原因，通過大樣本數(shù)據(jù)進行參數(shù)學習的方法很難實現(xiàn)。另一方面，國內(nèi)外學者對基于斷裂力學的疲勞裂紋擴展擁有深入研究，對于本文涉及的變量，提出過針對不同材料和結(jié)構(gòu)的概率分布。

2.2 構(gòu)建靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型

靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡構(gòu)建一般需要進行結(jié)構(gòu)學習和參數(shù)學習，但是本文采用基于斷裂力學的疲勞裂紋擴展模型，對于疲勞裂紋的計算有確定的公式，節(jié)點變量之間存在明顯的邏輯關系，因此不需要進行結(jié)構(gòu)學習和參數(shù)學習，下面根據(jù)疲勞裂紋的兩種計算方式，提出兩種靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡。

1.方案一

根據(jù)公式（1）和（2）中的變量，建立了基于使用時間預測疲勞裂紋的增長模型，疲勞裂紋計算見公式（4）：

式中：t是服務年限；Navg是年平均負載周期數(shù)。

由于大多數(shù)檢查結(jié)果與裂縫長度有關，因此，公式（4）基于裂縫的模型經(jīng)常用于對裂縫壽命評估。

在該靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡中，需要輸入的節(jié)點參數(shù)包括Sre、G、C、m、N、t、a0，而at可以通過節(jié)點進行計算；裂紋的疲勞狀態(tài)E，根據(jù)at進行確定。為了方便定義后續(xù)的節(jié)點變量，提出了兩個中間變量，

2.方案二

根據(jù)公式（1）和（2）中變量及變量間的邏輯關系，使用GeNIe軟件建立靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡，如圖2 所示。

圖2 方案二構(gòu)建的靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡Fig．2 Static Bayesian network constructed in scheme 2

在該靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡中，GVW 表示汽車荷載，用于控制等效應力幅Sre；da／dN＝Δat表示一個時間段的裂紋擴展速率，并用于計算當前時間段的裂紋長度，at＝Δat＋a0；aobs表示通過無損檢測觀察到的實際裂紋長度，該值對于貝葉斯網(wǎng)絡的更新起到重要的作用。裂紋的疲勞狀態(tài)E，作用同方案一相同，用于獲取當前時間段的疲勞細節(jié)超限概率Pf（t）。在此模型中需要輸入Sre、G、C、m、GVW、a0，而aobs為觀測值，在動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡中才會起到作用。

為了模擬汽車荷載GVW 對疲勞構(gòu)件應力幅的影響，通過建立ANSYS 有限元模型，輸入汽車荷載，輸出瞬態(tài)分析而獲得的裂紋（即關鍵構(gòu)件）處的應力時間歷程。隨后，基于Miner 的線性疲勞損傷累積理論，將計算的裂紋處的應力響應值，用于計算等效應力幅Sre。由于概率預測和貝葉斯推斷都需要大量的ANSYS 模型，因此，該過程通常會略過，直接使用專家咨詢方法對等效應力幅Sre進行定義。

3.對比分析

方案一和方案二都是基于斷裂力學的疲勞裂紋擴展模型，兩個方案都存在優(yōu)缺點。方案一的優(yōu)點是可以輸入時間，計算任意時間的構(gòu)件疲勞裂紋長度，有利于構(gòu)建動態(tài)貝葉斯模型，缺點是輸入的節(jié)點變量較多，計算較為復雜；方案二的優(yōu)點是輸入節(jié)點變量少，計算簡單，缺點是模型中未存在關于時間的變量，構(gòu)建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡時處理會較為復雜。因此，為方便構(gòu)建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型和準確獲取時間t的裂紋長度，本文使用方案一處理疲勞裂紋問題，并構(gòu)建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型。

2.3 構(gòu)建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型

當構(gòu)建靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型之后，下一步的工作就是構(gòu)建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡。一般而言，從靜態(tài)到動態(tài)需要定義出轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡和轉(zhuǎn)移概率。轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡表示兩個相鄰靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的轉(zhuǎn)移過程，包括結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移和參數(shù)轉(zhuǎn)移過程；轉(zhuǎn)移概率表示節(jié)點狀態(tài)在轉(zhuǎn)移過程發(fā)生的概率變化。本文使用GeNIe軟件直接通過公式（4）定義兩個時間段之間的關系，以t－1 時間段的裂紋作為t時間段初始裂紋，t時間段的裂紋就可以通過公式進行計算，兩個時間段之間的轉(zhuǎn)移如圖3 所示。當定義a3時間段的裂紋長度時，以a2作為a3時間段的初始裂紋長度，之后的時間段以此類推。由此可見，本文采用的方法是直接通過公式定義出轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡。

圖3 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡節(jié)點之間的關系轉(zhuǎn)換Fig.3 Relationship transformation diagram between nodes of dynamic Bayesian network

在使用GeNIe建立動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡時，首先要調(diào)出時間板，時間板調(diào)出之后，整個空間劃分為四部分：時間板之外的部分表示節(jié)點處于同一時間，是靜態(tài)的；時間板左側(cè)的部分表示動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的初始狀態(tài)，里面的節(jié)點類似于時間板外的靜態(tài)節(jié)點，它們只能夠連接到動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡中的第一個時間段；時間板中間的部位是動態(tài)模型的主要表現(xiàn)部分，此處是唯一允許有時間弧的部位，同時還可以顯示將要對其執(zhí)行推斷的時間段數(shù)；時間板右側(cè)的部位是動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的最終狀態(tài)，一般連接到網(wǎng)絡最后一個時間段。本文在建立動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡時，首先將靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的a0節(jié)點拖入時間板的左側(cè)部分，a0節(jié)點作為初始狀態(tài)定義完成后，將at節(jié)點和E節(jié)點拖入時間板的中間部分，并定義表示指向自身的時間弧。在本次操作中并未定義動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的最終狀態(tài)，同時還可以從圖中發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡表示9 個時間段的內(nèi)容。

GeNIe建立的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡一般存在兩種形式。一種是未展開式，該形式網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)簡單，與靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡類似，但是查詢數(shù)據(jù)較為復雜，不方便使用。另一種是展開式，該形式網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)稍微復雜，但是可以明顯觀察到各個時間段的節(jié)點情況，方便查詢各個節(jié)點的數(shù)據(jù)。因展開式方便查詢和修改數(shù)據(jù)，后續(xù)多采用此種方式的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡。值得注意的是，此處采用的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡僅對初始裂紋和年平均應力循環(huán)次數(shù)這兩個參數(shù)進行更新，而實際情況往往并非如此，如交通量會發(fā)生變動。

2.4 模型驗證

從前面介紹可知，本文中的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡是基于公式（4）構(gòu)建的，而基于斷裂力學的疲勞裂紋擴展最典型的公式是Paris 公式，使用Paris公式計算的數(shù)值具有一定的可信度。因此，本文使用Paris公式來驗證動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型計算的正確性。

當考慮節(jié)點變量的取值問題時，如果選取的節(jié)點變量含有概率的情況，如正態(tài)分布、指數(shù)正態(tài)分布等，那么使用Paris 公式計算的裂紋長度也會包含不確定性，這會使得模型的驗證變得較為復雜，驗證的效果也會不理想。所以，本文驗證時不考慮概率的因素，選取的節(jié)點變量均為定值。

以某鋼橋橋面板縱向加勁肋為例，初始裂紋長度a0取為0.1mm，等效應力幅Sre取32MPa，假設疲勞發(fā)生位置函數(shù)G為1.0，其余動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡中的節(jié)點變量取值如表1 所示。

表1 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡中的節(jié)點變量取值Tab.1 Node variable values in dynamic Bayesian Networks

采用表1 中的數(shù)據(jù)，根據(jù)Paris 公式，使用MATLAB軟件，得到疲勞裂紋長度與疲勞細節(jié)服役期之間的關系曲線；另外，在動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型中輸入對應的時間t，得到疲勞裂紋長度與疲勞細節(jié)服役期之間的關系曲線，具體曲線圖如圖4 所示。

圖4 疲勞裂紋發(fā)展曲線對比Fig.4 Comparison of fatigue crack growth curves

從圖4 中可以看出，當不考慮疲勞細節(jié)使用過程中不確定性因素的影響時，基于Paris 公式繪制的圖形是一條光滑的曲線，使用基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型繪制的也是一條曲線，兩曲線的增長趨勢趨于一致。另外還可以從圖4 中發(fā)現(xiàn)，疲勞細節(jié)自正常使用開始至服役期30 年，疲勞裂紋的擴展速度較為緩慢，兩條曲線的值也較為接近；自服役期30 年后，疲勞裂紋的擴展速度迅速增長，兩條曲線的值開始出現(xiàn)偏差，隨著時間的增大，兩條曲線的差值也慢慢變大；當裂紋擴展速度較為緩慢時，使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型計算的值較為準確；當裂紋擴展速度較為迅速時，使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型計算的值與Paris 公式計算的值會存在偏差，但偏差并不會太大，在可接受的范圍內(nèi)。

2.5 精確節(jié)點變量概率分布問題

在2.4 節(jié)中已經(jīng)驗證了節(jié)點變量取確定值時動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型與Paris 公式計算的值較為接近，但在通常情況下，本文所涉及的節(jié)點變量不取確定值，而是以概率的形式來表示，如正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等。如何使用GeNIe軟件較為準確的模擬節(jié)點變量的概率分布以及如何將節(jié)點變量的概率分布更準確的應用到動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡是一個問題，接下來通過采樣數(shù)和離散化兩個方面來進行說明。

1.采樣數(shù)

采樣數(shù)是采樣算法每次執(zhí)行時設置使用的采樣數(shù)目，所有的采樣算法都是近似的。一般來說，樣本的數(shù)量決定了結(jié)果的精度，采樣時選取更多的樣本，會有更精確的結(jié)果。另一方面，樣本的數(shù)量與運算時間幾乎是線性相關的，樣本的數(shù)量越多，計算的時間越久。雖然采樣數(shù)越多可以獲得較為準確的精度，但當達到一定的采樣數(shù)以后，獲得的結(jié)果已經(jīng)較為滿意，繼續(xù)增加樣本數(shù)只會增加計算量，并不會提高結(jié)果的精度。因此，應該選擇出一種合理的采樣數(shù)，既能保證計算的精度又可以減小計算量。

在對概率問題進行研究時發(fā)現(xiàn)，當事件X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）時，P（μ －σ ＜X≤μ ＋σ）＝0.6826，P（μ －2σ ＜X≤μ ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ ＜X≤μ ＋3σ）＝0.9974?？梢钥闯鍪录服從正態(tài)分布時，特定范圍的概率值為確定值，剛好可以用來驗證采樣數(shù)對精度的影響。在此假設某節(jié)點S服從正態(tài)分布N（30，22），分別觀察5000 采樣數(shù)、10000 采樣數(shù)、100000 采樣數(shù)、500000 采樣數(shù)時處于μ ±σ、μ ±2σ 和μ ±3σ范圍內(nèi)的樣本數(shù)，不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的樣本數(shù)和概率如表2 所示。不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值如圖5 所示。

表2 不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的樣本數(shù)和概率Tab.2 Sample number and probability of different sample numbers in a specific range

從圖5 宏觀角度來看，選取的的四組采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值與標準值相差幾乎不大，這表明GeNIe軟件在進行隨機采樣時具有較高的準確度；另一方面，從表2 微觀角度來看，當采樣數(shù)為5000 樣本和10000 樣本時，采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值與標準值還是存在一定的偏差。當采樣數(shù)為10000 樣本和500000 樣本時，采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率值與標準值較為接近。而從數(shù)據(jù)上來看，當采樣數(shù)為100000 時，取值與標準值相差很小，完全能夠滿足計算要求。因此，本文在使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型進行計算時，為了避免不必要的計算和保證計算結(jié)果的精度，選取的采樣數(shù)為100000。

圖5 不同采樣數(shù)在特定范圍內(nèi)的概率Fig.5 Probability values of different sampling numbers in a specific range

2.離散化

在前面提到，本文所涉及的節(jié)點變量較多的是以概率的形式來表示，如正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等，而這些概率分布都是連續(xù)性分布。當節(jié)點為連續(xù)性分布時，沒有普遍可靠的隨機抽樣算法。在這種情況下，GeNIe 軟件提出了一種自動離散化的算法。該算法將原始的基于方程的連續(xù)網(wǎng)絡轉(zhuǎn)化為離散貝葉斯網(wǎng)絡，而原始的網(wǎng)絡定義沒有改變，但是在使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡推理時是在一個臨時的離散貝葉斯網(wǎng)絡中進行的，這個網(wǎng)絡專門為推理而創(chuàng)建。為了使用該算法，需要用離散化的規(guī)范來增強網(wǎng)絡中節(jié)點的定義，如果不這樣做，GeNIe 軟件會本著保持每個模型語法正確性的精神，將每個變量離散成兩種狀態(tài)，在大多數(shù)情況下，兩種狀態(tài)不足以滿足要求，應該重新訪問有問題的節(jié)點，將它們離散成更多的間隔。

當進行離散化操作之前，首先需要定義節(jié)點變量取值的上下限。對于正態(tài)分布，由于3σ 原則，在（μ －3σ，μ ＋3σ）以外的取值概率不到0.3%，幾乎不可能發(fā)生。所以，上限可取μ －3σ，下限可取μ ＋3σ。對于對數(shù)正態(tài)分布或其概率分布，可先不定義上下限，離散化查看結(jié)果取值之后，再結(jié)合實際情況重新定義節(jié)點變量的上下限。在此以某節(jié)點S服從正態(tài)分布N（30，22）為例，上限取24，下限取36，離散狀態(tài)取10個，使用GeNIe 軟件自動離散化后的結(jié)果如圖6所示。

圖6 自動離散化后的結(jié)果Fig.6 Results of automatic discretization

在進行離散化時需要考慮將節(jié)點變量離散為多少狀態(tài)。以疲勞裂紋為例，如果離散的狀態(tài)數(shù)目較少，會使得裂紋在擴展過程中一直處于某個狀態(tài)不變，顯然這不利于我們的分析，而如果離散的狀態(tài)數(shù)目較多，會出現(xiàn)40 ～60 個狀態(tài)，這雖然會使得結(jié)果更加精確，但會大大的增加統(tǒng)計數(shù)據(jù)工作的難度。所以，要根據(jù)實際情況來確定離散的狀態(tài)數(shù)目。

3 結(jié)論

本文提出一種鋼橋檢測和維修優(yōu)化框架，構(gòu)建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的過程，使用Paris 公式來驗證動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型計算的正確性。并對采樣數(shù)和離散化兩個影響動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡精度的因素進行了探討。得出如下結(jié)論：

1.當不考慮疲勞細節(jié)使用過程中不確定性因素的影響時，基于Paris 公式繪制的圖形是一條光滑的曲線，使用基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型繪制的也是一條曲線，兩曲線的增長趨勢趨于一致。

2.當裂紋擴展速度較為緩慢時，使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型計算的值較為準確；當裂紋擴展速度較為迅速時，使用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型計算的值與Paris公式計算的值會存在偏差，但偏差并不會太大，在可接受的范圍內(nèi)。

3.當節(jié)點變量不取確定值，而是以概率的形式來表示時，通過采樣數(shù)和離散化兩個方面節(jié)點變量的概率分布更準確的應用到動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡中。本文選取的采樣數(shù)為100000。