基于改進(jìn)粒子群算法的平面度誤差評(píng)定研究

夏亞濤

商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院

1 引言

平面是組成零件的參數(shù)指標(biāo)，其特性影響零件的使用壽命,機(jī)械設(shè)備的穩(wěn)定性，平面度是評(píng)定零件平面質(zhì)量的重要指標(biāo)[1]，可通過(guò)人工觀察千分表、水平儀、平尺等變化范圍評(píng)定平面度誤差，但這些工具在測(cè)量過(guò)程中受操作者熟練程度以及經(jīng)驗(yàn)影響，存在效率低等缺點(diǎn)[2]。

三點(diǎn)評(píng)定法是取平面內(nèi)距離相差最遠(yuǎn)的三點(diǎn)[3]組成基準(zhǔn)平面，兩個(gè)最小包容平面的距離即是平面度誤差。最大直線度評(píng)定法以被測(cè)平面內(nèi)最大直線度誤差值作為平面度誤差[4]，該方法的測(cè)量精度和時(shí)效性較差。目前廣泛應(yīng)用的是最小二乘法(LSM)，通過(guò)構(gòu)建基準(zhǔn)直線實(shí)行測(cè)量[5]，測(cè)量誤差大、精度低，結(jié)果不穩(wěn)定。粒子群優(yōu)化算法(PSO)和遺傳優(yōu)化算法(GA)精確性高[6，7]，但由于算法后期收斂性差，無(wú)法獲得穩(wěn)定的平面度誤差結(jié)果。浮點(diǎn)數(shù)編碼改進(jìn)遺傳算法(FPCIG)通過(guò)浮點(diǎn)數(shù)基因編碼，引入模擬退火思想，對(duì)各測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行基因優(yōu)化和交叉變異[8]，在一定的遺傳代數(shù)內(nèi)能有效提高平面度誤差的計(jì)算精度。改進(jìn)差分進(jìn)化算法(IDE)在粒子群算法基礎(chǔ)上融入差分進(jìn)化算法的框架[9]，調(diào)整粒子個(gè)體收斂，快速逼近最優(yōu)值。改進(jìn)粒子群算法與Fmincon函數(shù)(IPSOFF)混合算法對(duì)于基準(zhǔn)平面來(lái)說(shuō)，計(jì)算精度高[10]，誤差值較小。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NN)算法通過(guò)訓(xùn)練測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)[11]，由于需要大量測(cè)量數(shù)據(jù)作為支撐，導(dǎo)致無(wú)法在現(xiàn)實(shí)中廣泛應(yīng)用。分群粒子群算法(GPSO)能夠通過(guò)設(shè)置的子群進(jìn)行全局和局部搜索[12]，同時(shí)無(wú)需增加尋優(yōu)粒子的數(shù)量和維度，對(duì)平面度的評(píng)定精確度較高。

為了減小平面度評(píng)定的誤差，本文采用改進(jìn)粒子群算法(IPSO)構(gòu)建鏈球復(fù)合型粒子空間結(jié)構(gòu)，根據(jù)鏈球空間變化動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子搜索能力，并用實(shí)驗(yàn)案例驗(yàn)證了算法的有效性。

2 平面度誤差模型

隨著國(guó)家對(duì)智能制造的要求，制造業(yè)迫切需要通過(guò)算法快速、準(zhǔn)確地求解平面度值，最小二乘法和最小包容區(qū)域法對(duì)平面度評(píng)定的誤差較大，分別為實(shí)際誤差的1.14倍和1.1倍。依據(jù)國(guó)標(biāo)GB/T11337—2004，利用最小包容區(qū)域法獲得平面度誤差[13，14]。

已知三坐標(biāo)機(jī)測(cè)量平面上的點(diǎn)pi(xi，yi，zi)，計(jì)算測(cè)量點(diǎn)與基準(zhǔn)平面方程z=Ax+By+C的差值為

Di=zi-Axi-Byi-C

(1)

利用Di的極值max(Di)和min(Di)計(jì)算差值，有

(2)

式中，f值僅與參數(shù)A，B有關(guān)，屬于二維空間問(wèn)題，可通過(guò)尋優(yōu)組合求解A，B的值并獲得最優(yōu)解，記作f(A，B)。把平面度誤差轉(zhuǎn)變?yōu)樗亚蠼?A，B)組合值，隨著計(jì)算精度的提高，可接近平面度誤差的真實(shí)值，這樣平面度誤差檢測(cè)計(jì)算可轉(zhuǎn)化為離散型優(yōu)化問(wèn)題。

利用最小求解法則，非線性優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)fit(A，B)為

(3)

fit(A，B)優(yōu)化需要滿足如下準(zhǔn)則：測(cè)量平面與包容平面平行且相距最短。根據(jù)二維函數(shù)特性，fit(A，B)為凸函數(shù)，全局一定存在唯一極小值。

3 改進(jìn)粒子群算法

3.1 粒子群算法

粒子群算法是模擬鳥(niǎo)群尋食行為的優(yōu)化算法，算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，易于編程。假設(shè)在M維空間存在N個(gè)粒子，粒子都會(huì)搜索空間中的最佳位置，全部粒子群也會(huì)往全局最優(yōu)位置移動(dòng)，粒子l在迭代t+1次的第d維空間速度和位置更新公式為

(4)

本文平面度誤差模型需要尋優(yōu)的參數(shù)A，B共有2個(gè)，因此粒子的搜索空間維數(shù)M=2。但粒子群算法在優(yōu)化后期由于群體多樣性消失，只能獲得局部最優(yōu)值，導(dǎo)致算法收斂性差。

3.2 改進(jìn)過(guò)程

本文算法在改進(jìn)過(guò)程中需構(gòu)建粒子分布空間結(jié)構(gòu)后再進(jìn)行粒子搜索能力調(diào)整，這樣可以提高算法速度，同時(shí)也提升了尋找全局最優(yōu)解的精度。

3.2.1 基于鏈球復(fù)合型的粒子空間結(jié)構(gòu)模型

把粒子群劃分若干個(gè)鏈球復(fù)合型結(jié)構(gòu)，鏈為粒子信息傳輸和共享的通道，粒子初始分布空間結(jié)構(gòu)為類似圓球形，同時(shí)鏈球形大小可以根據(jù)進(jìn)化迭代次數(shù)進(jìn)行擴(kuò)張和收縮，以跳出局部解的限制，避免搜索行為逐漸趨于同一性和收斂到局部極值。

復(fù)合型粒子空間結(jié)構(gòu)分內(nèi)、外部鏈球，內(nèi)、外部鏈球上各分布若干粒子，各個(gè)粒子通過(guò)鏈通道互聯(lián)互通。復(fù)合型鏈球的內(nèi)部鏈球上分布的粒子由于空間小，更易收斂，主要進(jìn)行小范圍搜索；復(fù)合型鏈球的外部鏈球上分布的粒子，主要進(jìn)行大范圍搜索，以快速獲得解的范圍。復(fù)合型鏈球內(nèi)、外部鏈球粒子協(xié)同優(yōu)化，提高了收斂精度及速度。

鏈球復(fù)合型粒子空間結(jié)構(gòu)如圖1所示。鏈球復(fù)合型的內(nèi)、外部鏈球上分布有若干粒子，內(nèi)部鏈球上的粒子通過(guò)內(nèi)部自身鏈球的鏈連接，外部鏈球上的粒子通過(guò)外部自身鏈球的鏈連接，用實(shí)線表示實(shí)現(xiàn)連接。通過(guò)自身鏈球的鏈實(shí)現(xiàn)了粒子尋優(yōu)解的信息傳輸，有助于粒子快速獲得其他粒子的尋優(yōu)信息。內(nèi)、外部鏈球上的粒子通過(guò)自身鏈球以外的若干鏈連接時(shí)，用虛線表示實(shí)現(xiàn)連接。

圖1 鏈球復(fù)合型粒子空間結(jié)構(gòu)

過(guò)多的鏈連接對(duì)粒子交流無(wú)促進(jìn)作用，過(guò)少的鏈連接制約粒子交流，因此鏈連接的總數(shù)不超過(guò)內(nèi)、外部鏈球上最少粒子總數(shù)的1/3，這樣內(nèi)、外部鏈球上的粒子實(shí)現(xiàn)了尋優(yōu)解的信息共享，避免了內(nèi)、外鏈球上的粒子因自身鏈球搜素局限性導(dǎo)致迭代后期出現(xiàn)數(shù)據(jù)坍塌現(xiàn)象。

3.2.2 粒子運(yùn)動(dòng)更新模型

(1)粒子鏈球形空間動(dòng)態(tài)調(diào)整

為體現(xiàn)粒子尋優(yōu)空間范圍的變化，根據(jù)迭代次數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子組成的鏈球形，內(nèi)鏈球、外鏈球空間變化通過(guò)兩個(gè)sigmoid型函數(shù)相乘實(shí)現(xiàn)

(5)

式中，R為調(diào)整前粒子內(nèi)、外鏈球形對(duì)應(yīng)的半徑；R′為調(diào)整后粒子內(nèi)、外鏈球形對(duì)應(yīng)的半徑，粒子內(nèi)、外鏈球半徑初始值為自身粒子相隔間距和；t′為迭代次數(shù)歸一化值，t為迭代次數(shù)，tmax為最大迭代次數(shù)。

由于內(nèi)鏈球上粒子相隔較近，則內(nèi)鏈球半徑初始值較小，而外鏈球上粒子相隔較遠(yuǎn)，則外鏈球半徑初始值較大。R′隨t′的變化見(jiàn)圖2。

由圖2可以看出，粒子組成的鏈球形空間R′隨著迭代次數(shù)歸一化值t′增大而逐漸擴(kuò)張，此時(shí)內(nèi)鏈球、外鏈球空間范圍同時(shí)變大，具有雙重優(yōu)勢(shì)效果，粒子能夠在較大空間搜索，增加獲取全局最優(yōu)值的概率，同時(shí)加快算法收斂。當(dāng)粒子迭代若干次數(shù)后，鏈球形半徑R′增大后保持不變，同樣可以長(zhǎng)時(shí)間保持大范圍空間搜索，有利于搜索的穩(wěn)定性；到了迭代后期，由于群體跟隨最優(yōu)粒子分布在全局最優(yōu)解附近，此時(shí)需要逐漸收縮搜索空間，內(nèi)鏈球、外鏈球空間范圍同時(shí)變小，以便獲得更精確的全局最優(yōu)解。因此，調(diào)整后的空間對(duì)迭代初期全局搜索和迭代后期局部搜索起平衡作用。

圖2 R′隨t′變化曲線

(2)搜索能力調(diào)整

在粒子組成的鏈球形空間中，當(dāng)鏈球形空間變化時(shí)，w，c1，c2應(yīng)隨著粒子的鏈球形空間的變化而改變，開(kāi)始時(shí)刻進(jìn)行全局搜索時(shí)，需要較大w值，較小c1，c2值，以便加強(qiáng)搜索能力，能夠在其他粒子組成的鏈球形空間中搜索；迭代后期，需要減小粒子的w值及增大c1，c2值，以便在原鏈球形空間區(qū)域內(nèi)進(jìn)行精細(xì)搜索。假設(shè)粒子搜索空間的體積V由若干鏈球形空間V1，V2，…，Vn組成[15，16]，空間Vl的半徑為RVl，則所有粒子空間半徑的均值為μV1，μV2，…，μVn，方差為σV1，σV2，…，σVn，則V正態(tài)分布概率密度函數(shù)為

(6)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為

(7)

則w，c1，c2簡(jiǎn)化為

(8)

(3)鏈球粒子刪除

在算法迭代到后期，大量相似的粒子圍繞在全局最優(yōu)解的周圍[17]，因此一些鏈球上的粒子對(duì)算法的影響已經(jīng)十分微小，易浪費(fèi)計(jì)算效率。為解決這一問(wèn)題，需刪除一些鏈球上的粒子。

鏈球在搜索過(guò)程的貢獻(xiàn)度設(shè)為λ，λ較大時(shí)，表示全局最優(yōu)解的改進(jìn)性能較大；λ較小時(shí)，全局最優(yōu)解的改進(jìn)性能較小。種群中出現(xiàn)了大量相似粒子，需要?jiǎng)h除鏈球上這些相似的粒子，減少迭代過(guò)程中對(duì)粒子的評(píng)價(jià)次數(shù)，提高效率。假設(shè)在算法迭代初始階段λ0=1，迭代周期間隔一次計(jì)算λh為

(9)

式中，F(xiàn)h-1為第h個(gè)迭代周期中最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度值。

在種群進(jìn)化過(guò)程中，當(dāng)某個(gè)鏈球上兩個(gè)相鄰的貢獻(xiàn)度λh-1與λh同時(shí)小于閾值ε時(shí)，則隨機(jī)刪除一半該鏈球內(nèi)、外部鏈上的粒子，本文設(shè)置ε=0.15。

3.3 尋優(yōu)終止條件

當(dāng)粒子搜索到全局最優(yōu)值附近[18]，參數(shù)A，B對(duì)誤差判定的貢獻(xiàn)值為(x-x0)uA，(y-y0)uB。當(dāng)A，B對(duì)誤差分析的影響最小時(shí)，根據(jù)最小誤差判決A，B的忽略條件為

(10)

式中，uA，uB為實(shí)際測(cè)量誤差；uf為理論計(jì)算誤差。

可得

(11)

式中，L為測(cè)量步長(zhǎng)，本文選取0.2mm。

算法流程：①初始化粒子的速度和位置；②計(jì)算各鏈球上的粒子適應(yīng)值fit(A，B)，獲得初始解；③根據(jù)式(5)對(duì)粒子鏈球形空間動(dòng)態(tài)調(diào)整；④根據(jù)式(8)對(duì)w，c1，c2進(jìn)行優(yōu)化；⑤根據(jù)式(4)對(duì)粒子進(jìn)行調(diào)整；⑥若達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)或滿足尋優(yōu)最小搜索范圍，進(jìn)行步驟⑦，否則重復(fù)步驟③～⑥；⑦輸出算法最優(yōu)解。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

初始化種群粒子總數(shù)400個(gè)，鏈球共計(jì)20個(gè)，每個(gè)鏈球最多20個(gè)粒子，最少10個(gè)粒子，每個(gè)內(nèi)部鏈球上最少3個(gè)粒子，外部鏈球上最少4個(gè)粒子。采用DAISY 564型三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，測(cè)量范圍500mm×600mm×400mm，最大允許誤差為2.2μm。

4.1 粒子、鏈球數(shù)量對(duì)算法收斂分析

(1)內(nèi)、外部鏈球上粒子數(shù)

內(nèi)、外部鏈球上粒子數(shù)影響算法執(zhí)行，設(shè)內(nèi)、外部鏈球上粒子數(shù)分別為W=3，Q=7；W=4，Q=8；W=6，Q=6；W=10，Q=8；W=12，Q=8；W=10，Q=10，對(duì)算法收斂影響的實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果見(jiàn)圖3。

圖3 內(nèi)、外部鏈球上粒子數(shù)對(duì)算法收斂影響仿真

由圖可以看出，內(nèi)、外部鏈球上粒子數(shù)越多，越容易在較少的迭代次數(shù)下獲得最優(yōu)適應(yīng)度。在內(nèi)、外部鏈球上粒子總數(shù)一定情況下，當(dāng)內(nèi)部鏈球上粒子與外部鏈球上粒子相等時(shí)，可以較快地獲得最優(yōu)適應(yīng)度，這是因?yàn)閮?nèi)、外部鏈球上粒子數(shù)量相等量更有利于算法協(xié)同和快速尋優(yōu)，通過(guò)內(nèi)、外部鏈球上粒子優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，從而提高整個(gè)粒子群收斂速度。

(2)鏈球數(shù)量

分析鏈球數(shù)量U對(duì)算法收斂影響，固定內(nèi)、外部鏈球粒子數(shù)W=10，Q=10，分別設(shè)U=5，U=10，U=15，U=20，U=25，U=30，實(shí)驗(yàn)仿真見(jiàn)圖4。

圖4 鏈球數(shù)量對(duì)算法收斂影響仿真

由圖可以看出，鏈球數(shù)量越多，越能增加種群的多樣性，有助于獲得最優(yōu)解，有利于算法的執(zhí)行。當(dāng)鏈球數(shù)超過(guò)一定數(shù)量后，對(duì)算法性能提升不再明顯。這是因?yàn)殒溓驍?shù)量多在算法初始期具有優(yōu)勢(shì)，后期由于粒子出現(xiàn)相似性，導(dǎo)致粒子多樣性下降，過(guò)多的鏈球數(shù)量會(huì)使算法出現(xiàn)坍塌現(xiàn)象。

4.2 平面度誤差評(píng)定實(shí)例

測(cè)量某400mm×300mm(長(zhǎng)×寬)的長(zhǎng)方形平面工件。被測(cè)工件放置于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量平臺(tái)上，要求工件長(zhǎng)邊平行于X軸，依據(jù)一級(jí)平板要求最大公差為0.009mm，在被測(cè)工件上確定檢測(cè)點(diǎn)的x，y坐標(biāo)，同時(shí)在X軸方向取40個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)間隔1mm，提取的數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 采樣點(diǎn)測(cè)試數(shù)據(jù) (mm)

采用MATLAB7.0軟件對(duì)比分析平面度測(cè)量誤差，涉及算法有PSO，GA，F(xiàn)PCIG，IDE，IPSOFF，NN，GPSO，IPSO，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 不同算法的平面度測(cè)量誤差對(duì)比

由圖可以看出，在40次實(shí)驗(yàn)中，PSO測(cè)量平均值為8.407μm，GA測(cè)量平均值為8.051μm，F(xiàn)PCIG測(cè)量平均值為7.898μm，IDE測(cè)量平均值為7.661μm，IPSOFF測(cè)量平均值為7.486μm，NN測(cè)量平均值為7.281μm，GPSO測(cè)量平均值為6.756μm。

相比其他算法，本文算法IPSO數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，測(cè)量較穩(wěn)定，測(cè)量平均值為6.256μm，誤差最小，比PSO，GA，F(xiàn)PCIG，IDE，IPSOFF，NN，GPSO算法測(cè)量誤差分別減少了25.59%，22.30%，20.79%，18.34%，16.43%，14.08%，7.40%，較其他算法測(cè)量精度更高。

各算法完成平面度誤差計(jì)算所需時(shí)間對(duì)比見(jiàn)圖6。由圖可得，在40次實(shí)驗(yàn)中，PSO所需時(shí)間平均值為5.48s，GA所需時(shí)間平均值為5.12s，F(xiàn)PCIG所需時(shí)間平均值為4.69s，IDE所需時(shí)間平均值為4.52s，IPSOFF所需時(shí)間平均值為4.35s，NN所需時(shí)間平均值為3.98s，GPSO所需時(shí)間平均值為3.51s。

圖6 各種算法實(shí)驗(yàn)耗時(shí)對(duì)比

本文算法IPSO完成平面度誤差計(jì)算所需時(shí)間平均值為2.62s，耗時(shí)最小，相比PSO，GA，F(xiàn)PCIG，IDE，IPSOFF，NN，GPSO算法，完成平面度誤差計(jì)算所需時(shí)間分別減少了52.19%，48.83%，44.14%，42.04%，39.77%，34.17%，25.36%，處理速度明顯優(yōu)于其他算法。

5 結(jié)語(yǔ)

為了提高平面度誤差評(píng)定的精度，對(duì)粒子群算法搜索空間優(yōu)化設(shè)計(jì)，利用鏈球空間擴(kuò)張、收縮變化動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子搜索能力。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證結(jié)果表明，本文算法平面度測(cè)量誤差最小，所需耗時(shí)最少，因此為平面度測(cè)量提供了一種新的參考方法。