多層速度格子Boltzmann 方法進(jìn)展及展望

楊 鯤，單肖文

(1. 南方科技大學(xué) 前沿與交叉科學(xué)研究院，深圳 518055；2. 南方科技大學(xué) 工學(xué)院 力學(xué)與航空航天系，深圳 518055)

0 引 言

誕生于格子氣自動(dòng)機(jī)[1]的格子Boltzmann 方法（LBM），與傳統(tǒng)直接求解宏觀量的計(jì)算流體力學(xué)（CFD）方法相比，由于避開(kāi)了Navier-Stokes 方程非線性項(xiàng)的處理，且沒(méi)有求解壓力泊松方程這一繁重過(guò)程，使得LBM 具有程序編制簡(jiǎn)單、并行計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)[2]，在湍流、多相流、多孔介質(zhì)流動(dòng)及滲流、顆粒流、微流動(dòng)、氣動(dòng)聲學(xué)等領(lǐng)域的模擬中得到了廣泛應(yīng)用[3-6]。早期的LBM 離散模型都是基于半經(jīng)驗(yàn)理論推導(dǎo)，其約束條件往往局限于滿足質(zhì)量和動(dòng)量守恒方程，并以低馬赫數(shù)假設(shè)為基礎(chǔ)，能量方程無(wú)法正確還原，使得LBM 方法只適用于等溫低速弱可壓流動(dòng)成為了較普遍的觀點(diǎn)[2，7]。

隨著航空航天科技發(fā)展，高速流動(dòng)的數(shù)值模擬在飛行器設(shè)計(jì)驗(yàn)證中起到越來(lái)越重要的作用[8]，CFD 領(lǐng)域涌現(xiàn)了多種可壓縮流動(dòng)的處理格式與方法，例如黎曼問(wèn)題求解器和TVD 格式[9]、用于高精度激波捕捉的WENO 格式[10]，以及計(jì)算激波-湍流相互作用的Compact-WENO 混合格式[11]；這些數(shù)值方法在理論研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域都取得了可觀的成果[12-13]。不可否認(rèn)的是，盡管傳統(tǒng)CFD 方法已經(jīng)過(guò)了多年的發(fā)展和完善，在具體問(wèn)題中要同時(shí)準(zhǔn)確解析流動(dòng)小尺度結(jié)構(gòu)和激波間斷，實(shí)現(xiàn)模擬方法的精度、耗散、穩(wěn)定性和計(jì)算效率等因素的最佳平衡，仍然存在著諸多挑戰(zhàn)[14]。另一方面，工程傳熱流動(dòng)問(wèn)題中，高效換熱器普遍具有形狀復(fù)雜的管腔結(jié)構(gòu)，處理復(fù)雜幾何邊界、并兼顧精度和計(jì)算效率也對(duì)流動(dòng)模擬方法提出了更高的要求。

LBM 源自于氣體動(dòng)理學(xué)理論，對(duì)氣體運(yùn)動(dòng)描述的物理背景清晰，且在處理復(fù)雜幾何外形、特別是多孔結(jié)構(gòu)時(shí)具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，理論上LBM 在模擬可壓縮流動(dòng)和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的傳熱流動(dòng)問(wèn)題方面擁有巨大潛力。研究者們對(duì)傳統(tǒng)LBM 模型進(jìn)行了諸多改進(jìn)，以期突破LBM 在計(jì)算可壓縮流動(dòng)和熱力學(xué)流動(dòng)時(shí)的局限性，其基本思想是增加LBM 離散模型的自由度和約束條件以還原能量守恒方程。改進(jìn)方案大致分為兩類，一類是額外增加一個(gè)能量（內(nèi)能或總能）分布函數(shù)以滿足能量方程約束[15-20]，稱之為雙分布函數(shù)模型。然而，根據(jù)氣體動(dòng)理學(xué)理論，氣體的密度、動(dòng)量和能量都是氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其動(dòng)力學(xué)狀態(tài)也應(yīng)當(dāng)只需由單一的分布函數(shù)描述（對(duì)于單組分、單原子氣體而言），因此引入能量的分布函數(shù)必然需要與密度分布函數(shù)進(jìn)行耦合，該耦合關(guān)系帶有一定的經(jīng)驗(yàn)性，在增加復(fù)雜度的同時(shí)也對(duì)模型的廣泛適用性帶來(lái)了一定的限制。另一種方案是構(gòu)造更高階的單一平衡態(tài)分布函數(shù)，在平衡態(tài)分布函數(shù)中引入更多的待定系數(shù)，并使用更多的離散速度點(diǎn)，通過(guò)增加離散點(diǎn)數(shù)量（未知數(shù)個(gè)數(shù)）的方案來(lái)滿足額外的能量方程約束，典型做法是在每個(gè)離散速度方向上使用2 個(gè)以上的速度大小模態(tài)，稱之為多層速度模型。與雙分布函數(shù)模型類似，多層速度模型在能量方程約束條件、分布函數(shù)的形式和離散速度點(diǎn)選取上也具有一定的經(jīng)驗(yàn)性，自Qian[21]和Alexander 等[22]提出以來(lái)，出現(xiàn)了形式多樣的方案且各有優(yōu)缺點(diǎn)。

多層速度模型按平衡態(tài)分布函數(shù)展開(kāi)式的構(gòu)造方法主要分為三類：第一類遵循傳統(tǒng)LBM 模型的思路，將Maxwell-Boltzmann 分布函數(shù)泰勒展開(kāi)至更高階數(shù)[23-26]。第二類由Shan 等[27]提出，他們發(fā)展了Grad[28-29]的早期工作思路，認(rèn)為平衡態(tài)分布函數(shù)可由Hermite 多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)，只需要將展開(kāi)級(jí)數(shù)保留足夠的截?cái)嚯A數(shù)，即可分別還原到Navier-Stokes 方程的質(zhì)量、動(dòng)量和能量方程，而密度、動(dòng)量、能量等宏觀統(tǒng)計(jì)量均可由Hermite 展開(kāi)式的各階系數(shù)組合表達(dá)，并在進(jìn)一步的工作中闡明傳統(tǒng)等溫弱可壓LBM是Hermite 多項(xiàng)式模型的低階形態(tài)，且離散速度是五階精度Gauss-Hermite 積分公式的積分點(diǎn)的事實(shí)[30]。第三類由Xu 等[31]提出，其基本思想是不預(yù)設(shè)平衡態(tài)分布函數(shù)的展開(kāi)形式，而是將離散模型還原質(zhì)量、動(dòng)量和能量方程的約束條件視為平衡態(tài)分布函數(shù)離散點(diǎn)的線性代數(shù)方程組，直接求解方程組得出離散分布函數(shù)。

由于Maxwell-Boltzmann 分布函數(shù)的各階Hermite多項(xiàng)式展開(kāi)是確定的，Gauss-Hermite 積分公式的積分點(diǎn)也具有確定性，使得上述第二類基于Hermite 多項(xiàng)式構(gòu)造的多層速度模型不依賴于經(jīng)驗(yàn)而具有普適性。然而，由于該模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論較為晦澀，各部分細(xì)節(jié)的闡述散落于跨度接近20 年的多篇文獻(xiàn)中，使得科研工作者對(duì)該模型進(jìn)行深入理解存在一定的困難。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺點(diǎn)，使讀者連貫、系統(tǒng)地理解Hermite 多項(xiàng)式模型的構(gòu)造原理和方法，同時(shí)也在與其他LBM 模型的對(duì)比中全面認(rèn)識(shí)各類方案的優(yōu)劣，我們對(duì)Hermite 多項(xiàng)式模型重新梳理歸納的同時(shí)，也一并列出了其他多層速度模型的構(gòu)造思想，作為L(zhǎng)BM 多層速度模型的一個(gè)簡(jiǎn)要總結(jié)性工作。

本文的各部分內(nèi)容為：第1 節(jié)為Boltzmann 方程和LBM 的基礎(chǔ)理論。由于多層速度模型起源于經(jīng)典的等溫弱可壓LBM，且經(jīng)典LBM 模型的很多思想在多層速度模型中仍然適用，故第2 節(jié)對(duì)等溫弱可壓LBM 進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。第3 節(jié)介紹各類多層速度LBM模型（除Hermite 多項(xiàng)式模型以外）的基本思想。第4 節(jié)詳細(xì)描述Hermite 多項(xiàng)式模型的理論和平衡態(tài)分布函數(shù)的具體形式，以及基于Gauss-Hermite 積分公式的離散速度模型及其構(gòu)造方法。第5 節(jié)對(duì)LBM 和傳統(tǒng)CFD 方法的結(jié)合進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，例如LBM 有限差分、LBM 有限體積和LBM 有限元方法。第6 節(jié)對(duì)現(xiàn)有的多層速度模型存在的問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，并提出未來(lái)需要完善和發(fā)展的方向。

1 Boltzmann-BGK 方程

由于無(wú)量綱化的Boltzmann-BGK 方程和平衡態(tài)分布函數(shù)分別與式（10）和式（11）形式上完全一致。因此

2 等溫弱可壓LBM 模型

等溫弱可壓LBM 模型是最早提出的LBM 模型，并在不可壓流動(dòng)計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用。嚴(yán)格意義上，包括氣體、液體在內(nèi)的所有流體都具有可壓縮性，例如液體的壓縮性可用Tait 方程描述[34]。傳統(tǒng)求解壓力泊松方程的不可壓流計(jì)算方法將導(dǎo)致無(wú)限大聲速，也就是壓力擾動(dòng)的無(wú)限速度傳播，這與物理事實(shí)是相悖的。采用弱可壓方法計(jì)算“不可壓流動(dòng)”理論上更加接近物理本質(zhì)。本節(jié)對(duì)等溫弱可壓LBM 模型進(jìn)行簡(jiǎn)要陳述，這也將成為多層速度LBM 模型修正和拓展的基礎(chǔ)。

2.1 速度空間離散模型

圖1 等溫弱可壓流動(dòng)LBM 的一維和二維離散速度模型Fig. 1 One- and two-dimensional discrete velocity models for isothermal weakly compressible flows

2.2 時(shí)間和空間離散

3 多層速度LBM 模型

從第2 節(jié)可以看到，等溫弱可壓流動(dòng)LBM 模型，其離散速度在每個(gè)方向都只有一個(gè)值（分布函數(shù)信息只傳播到相鄰的網(wǎng)格點(diǎn)），因此稱之為單層速度模型。推導(dǎo)該模型時(shí)，只約束了離散模型的質(zhì)量、動(dòng)量和動(dòng)量輸運(yùn)量，故無(wú)法準(zhǔn)確還原能量方程。受此啟發(fā)，業(yè)內(nèi)學(xué)者開(kāi)始對(duì)離散模型施加能量相關(guān)（f(0)的ξ三階以上矩）的約束條件，伴隨而來(lái)的是更高階的f(0)展開(kāi)式和更多的離散速度點(diǎn)，其中普遍做法是在各離散速度方向上采用2 個(gè)以上的速度值（模態(tài)），因此這些模型稱之為多層速度模型。本節(jié)對(duì)幾類較為典型的多層速度模型進(jìn)行簡(jiǎn)要陳述。

3.1 早期多層速度模型

圖2 Qian 的二維離散速度模型[21]Fig. 2 Two-dimensional discrete velocity model of Qian[21]

圖3 Alexander 等[22]的二維離散速度模型Fig. 3 Two-dimensional discrete velocity model of Alexander et al[22]

3.2 Watari-Tsutahara 模型

3.3 比熱可變模型

圖4 Chen 等的二維多層速度模型[23]Fig. 4 Two-dimensional discrete velocity model of Chen et al.[23]

圖5 Watari-Tsutahara 二維多層速度模型[24-25]Fig. 5 Two-dimensional discrete velocity model of Watari-Tsutahara[24-25]

圖6 Kataoka-Tsutahara[26]二維多層速度模型，圖中的坐標(biāo)代表離散速度點(diǎn)ξ a/cs在第一象限的坐標(biāo)Fig. 6 Two-dimensional discrete velocity model of Kataoka-Tsutahara[26]. Coordinates represent the discrete velocities in the first quadrant

圖7 離散Boltzmann 方法的幾種二維離散速度模型[39]Fig. 7 Several two-dimensional discrete velocity models in DBM[39]

4 Hermite 多項(xiàng)式模型

4.1 速度空間展開(kāi)

從第3 節(jié)的介紹可以看出，大部分多層速度模型還是沿襲了單層速度模型“預(yù)設(shè)平衡態(tài)分布函數(shù)離散形式—預(yù)設(shè)離散速度模型—待定系數(shù)法求解”的思路。這種思路可以針對(duì)每一類特定問(wèn)題都構(gòu)造相對(duì)優(yōu)化的多層速度模型，但經(jīng)驗(yàn)性較強(qiáng)，對(duì)于開(kāi)始接觸多層速度模型的學(xué)者而言，面對(duì)種類繁多的離散模型、平衡態(tài)分布函數(shù)形式和約束條件，如何選擇最優(yōu)方案往往無(wú)所適從；即便獲得了對(duì)某一問(wèn)題的優(yōu)化組合，當(dāng)流動(dòng)參數(shù)改變后，計(jì)算結(jié)果不一定同樣令人滿意，無(wú)法保證模型的普適性。

Shan 等[27,30]在Grad[28-29]工作的基礎(chǔ)上，發(fā)展了Hermite 多項(xiàng)式模型，該模型基于Hermite 多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，使平衡態(tài)分布函數(shù)的展開(kāi)形式和離散速度模型都不再依賴于經(jīng)驗(yàn)而具有確定性，且可以證明單層速度模型事實(shí)上是多層速度模型的低階形態(tài)。這正是本節(jié)將詳述的內(nèi)容。

參照Grad 的定義，D維空間的n階Hermite 多項(xiàng)式定義為n階張量：

表1 不同流動(dòng)分布函數(shù)的Hermite 截?cái)嗍阶畹碗A數(shù)Table 1 Lowest order of truncated Hermite distribution function for different types of flows

4.2 時(shí)間和空間離散

4.3 離散速度模型

圖8 2 種D2V17 離散速度模型Fig. 8 Two types of D2V17 discrete velocity models

在之前的討論中，有一個(gè)重要的問(wèn)題沒(méi)有展開(kāi)——如何獲得具有K階精度的數(shù)值積分公式（式點(diǎn)序列要保留表2 中列出的至少2 個(gè)8 積分點(diǎn)組，其總積分點(diǎn)數(shù)最少為 1+4×5+8×2=37。若保留表2中的前8 組積分點(diǎn)組與權(quán)重，則得出與Pillippi[51]相同的D2V37 模型，如圖9 所示。

表2 二維積分公式的積分點(diǎn)與權(quán)重Table 2 Quadrature abscissas and weights of the 2D integral formula

圖9 D2V37 離散速度模型Fig. 9 D2V37 discrete velocity models

對(duì)于三維情況下的積分公式，也可以遵循同樣的思路求解。相關(guān)的細(xì)節(jié)過(guò)程可參考文獻(xiàn)[47]。

4.4 等溫弱可壓模型的推導(dǎo)

5 與傳統(tǒng)CFD 方法的結(jié)合

經(jīng)典的LBM 中時(shí)間和空間離散均為沿特征線積分（參考2.2 節(jié)和4.2 節(jié)），并設(shè)置歸一化的 Δt=1，這極大簡(jiǎn)化了LBM 的計(jì)算程序。然而這種時(shí)空離散方法也帶來(lái)了幾個(gè)弊端：

1）由于 Δx為固定值，只能采用均勻正方形（體）網(wǎng)格。對(duì)于邊界層流動(dòng)計(jì)算而言，為了解析邊界層內(nèi)的流動(dòng)而加密全計(jì)算域網(wǎng)格會(huì)極大增加計(jì)算量。在計(jì)算量和解析度之間取平衡的辦法是使用局部加密網(wǎng)格，但是粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格之間的插值會(huì)帶來(lái)新誤差[52]。

2）無(wú)法使用貼體網(wǎng)格。在傾斜方向邊界，或者曲面邊界上，需要同時(shí)使用笛卡爾網(wǎng)格和浸沒(méi)邊界法[53]，以鋸齒形邊界近似斜邊界或者曲面邊界。這種非貼體網(wǎng)格由于精度較低，且在對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題中易造成收斂性困難[54]和穩(wěn)定性問(wèn)題，往往需要與局部加密網(wǎng)格和多松弛時(shí)間模型（MRT）結(jié)合[55]。

3）計(jì)算穩(wěn)定性。經(jīng)驗(yàn)表明，經(jīng)典LBM 方法在雷諾數(shù)較大時(shí)只能使用較小的物理時(shí)間步長(zhǎng)才能獲得穩(wěn)定的數(shù)值解；當(dāng)使用Zhou-He 非平衡態(tài)反彈邊界條件[56]時(shí)穩(wěn)定性問(wèn)題更加突出，這對(duì)實(shí)際工程湍流的計(jì)算會(huì)形成較大的障礙。

由于傳統(tǒng)CFD 方法可以使用邊界層加密貼體網(wǎng)格，使用合適的時(shí)間與空間格式時(shí)，數(shù)值穩(wěn)定性良好，將傳統(tǒng)CFD 方法與LBM 結(jié)合成為了解決以上問(wèn)題的一種思路。Reider 和Sterling[57]、Cao 等[58]將有限差分法與LBM 模型結(jié)合，提出了FDLBM 方法。FDLBM 的基本思路是將LBM 方程（式（104））視為關(guān)于各個(gè)離散分布函數(shù)fa的雙曲型方程，通過(guò)有限差分法的時(shí)間離散格式，例如Euler 格式或者Runger-Kutta 格式，將 ?fa/?t離散化；并使用迎風(fēng)型或中心型格式將對(duì)流項(xiàng) ξa·?fa進(jìn)行空間離散[59]。在可壓縮問(wèn)題中，需要將多層速度模型和激波捕捉差分格式結(jié)合。Kataoka 和Tsutahara[26]在多層速度模型的基礎(chǔ)上，使用二階迎風(fēng)格式離散對(duì)流項(xiàng)；Wang 等[60]將二階TVD 和五階WENO 格式[10]與Kataoka-Tsutahara多層速度模型結(jié)合使用；許愛(ài)國(guó)等[39]則使用了NND 格式[61]來(lái)處理對(duì)流項(xiàng)，并在一維和二維黎曼問(wèn)題的計(jì)算中取得較為滿意的結(jié)果。

使用隱式時(shí)間離散是傳統(tǒng)CFD 方法中提高數(shù)值穩(wěn)定性的常用方法，伴隨而來(lái)的是需要迭代求解線型代數(shù)方程組，這往往使得計(jì)算量和實(shí)施難度顯著增加。在FDLBM 中，Guo 和Zhao[62]使用了與經(jīng)典LBM 類似的隱式時(shí)間處理辦法，即類似于式（30）定義一個(gè)中間時(shí)刻的fˉa代入FDLBM 方程中，可將隱式方法轉(zhuǎn)換為顯式方法。Wang 等[60]沿用類似的思路，將隱式-顯式Runger-Kutta 格式[63]引入FDLBM 并消除了隱式格式需要的迭代求解過(guò)程。

為了適應(yīng)復(fù)雜幾何構(gòu)型和不規(guī)則形狀網(wǎng)格的計(jì)算需求，Nannell 和Succi[64]、Benzi 等[65]將有限體積方法引入LBM，提出了FVLBM 方法。FVLBM 的基本思想是，將LBM 方程（式（104））對(duì)流場(chǎng)中任意一個(gè)控制體單元 Ω （邊界為 ?Ω ，此處 Ω不代表碰撞模型）進(jìn)行體積分得到：

則式（123）可寫為關(guān)于分布函數(shù)單元體平均量和單元面對(duì)流通量的方程。求解該方程的過(guò)程即與傳統(tǒng)有限體積方法類似。Chen[66]和Peng 等[67]將FVLBM的理論和其在非均勻網(wǎng)格上的應(yīng)用進(jìn)行了完善。為了提高穩(wěn)定性，Stiebler 等[68]使用迎風(fēng)型格式重構(gòu)單元面通量。Patil 和Lakshmisha[69]則將TVD 格式應(yīng)用于單元面通量的重構(gòu)。

隨著計(jì)算流體力學(xué)有限元方法日趨成熟[70-71]，Lee 和Lin[72]、Shi 等[73]將有限元方法引入LBM，發(fā)展了 有 限 元LBM 方 法。近 年 來(lái)，MacMeccan 等[74]、Krüger 等[75]使用混合型有限元LBM 方法模擬了可變形顆粒流動(dòng)并應(yīng)用于生物流計(jì)算領(lǐng)域。由于主題和篇幅所限，此處不對(duì)有限元LBM 方法作進(jìn)一步展開(kāi)。有興趣的讀者可參閱有關(guān)文獻(xiàn)了解相關(guān)細(xì)節(jié)。

6 總結(jié)與展望

LBM 多層速度模型起源于單層速度模型，在熱流和可壓縮流動(dòng)應(yīng)用需求下不斷發(fā)展，經(jīng)歷了平衡態(tài)分布函數(shù)展開(kāi)從二階提高到四階、離散速度模型從單層網(wǎng)格提高到2 層或者更多層網(wǎng)格、約束條件也逐步增多的過(guò)程。Hermite 多項(xiàng)式模型則提供了一個(gè)既理論又實(shí)用的判定框架：要想準(zhǔn)確還原能量方程，平衡態(tài)分布函數(shù)必須展開(kāi)到速度四階量。Watari-Tsutahara預(yù)設(shè)的多層速度模型[24-25]與該結(jié)論殊途同歸。Hermite 多項(xiàng)式模型也同時(shí)指出，離散速度模型事實(shí)上為相應(yīng)階數(shù)積分公式的積分點(diǎn)和權(quán)重，只需查表（或用程序包計(jì)算）找出這些積分點(diǎn)和權(quán)重，選出一組應(yīng)用即可，而不是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)和優(yōu)化。盡管Hermite 多項(xiàng)式模型給出了較為簡(jiǎn)潔和確定的形式，但是依照經(jīng)驗(yàn)理論進(jìn)行馬赫展開(kāi)或待定系數(shù)得到的其他多層速度模型，在特定范圍和領(lǐng)域內(nèi)仍具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

必須承認(rèn)，相對(duì)于計(jì)算等溫弱可壓流動(dòng)的經(jīng)典單層速度模型而言，多層速度模型仍然是一種尚不成熟的模型，在很多方面仍然需要改進(jìn)和完善。這主要在以下幾個(gè)方面：

1）模型的誤差、色散與耗散、穩(wěn)定性分析。目前對(duì)單層速度模型的誤差和穩(wěn)定性分析已有不少工作，例如：Sterling 和Chen[76]對(duì)D2Q7（六邊形模型）、D2Q9 和D3Q15 進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析后得出 τ ＞0.5才能穩(wěn)定的結(jié)論。Marie 等[77]對(duì)D3Q19 模型進(jìn)行色散和耗散分析，并與低色散高階差分格式進(jìn)行了比較。Silva 等[78]和Bauer 等[79]對(duì)最常用的D3Q15、D3Q19和D3Q27 模型進(jìn)行了截?cái)嗾`差分析，指出這三種模型都能在低馬赫數(shù)下還原動(dòng)量方程，但是動(dòng)量輸運(yùn)項(xiàng)的高階截?cái)嗾`差不同，這將導(dǎo)致在各向異性流動(dòng)的計(jì)算中出現(xiàn)較大差別；在將平衡態(tài)分布函數(shù)展開(kāi)式根據(jù)連續(xù)平衡態(tài)分布函數(shù)的二階矩約束條件和D3Q19 速度模型進(jìn)行系數(shù)修正后，能獲得與D3Q27 模型相當(dāng)?shù)母飨蛲运健?/p>

對(duì)多層速度模型而言，McNamara 等[80]對(duì)D3Q21模 型（D3Q15 加 上 (±2c,0,0)、 (0,±2c,0) 和 (0,0,±2c)這6 個(gè)離散點(diǎn)）進(jìn)行了時(shí)間離散格式分析，指出使用Lax-Wendroff 時(shí)間格式將在高瑞利數(shù)下具有更好的穩(wěn)定性。Wissocq 等[81]則對(duì)D2Q9 和D2V17 進(jìn)行了模態(tài)和穩(wěn)定性分析，指出D2V17 能準(zhǔn)確解析線性等溫Navier-Stokes 方程的3 個(gè)特征值模態(tài)，而D2Q9 則在這些模態(tài)的高波數(shù)上產(chǎn)生一定的誤差。這一點(diǎn)與Hermite 多項(xiàng)式模型的結(jié)論是一致的，即只有使用七階積分公式的積分點(diǎn)（即D2V17 模型）作為離散速度點(diǎn)才能準(zhǔn)確還原動(dòng)量方程；否則由于速度三階量誤差的存在而必須使用低馬赫數(shù)假設(shè)。

值得注意的是，在Hermite 多項(xiàng)式模型框架下，經(jīng)典D3Q15、D3Q19 和D3Q27 模型從積分精度角度來(lái)講，并不存在差別，因?yàn)槎季哂形咫A積分精度；從計(jì)算經(jīng)濟(jì)性原則來(lái)講，應(yīng)該選擇積分點(diǎn)最少的D3Q15 模型。然而Silva 等[78]和Bauer 等[79]的工作提示我們，在選擇離散模型時(shí)還需要考慮各向同性、截?cái)嗾`差等更多方面的因素，即計(jì)算最經(jīng)濟(jì)的模型不一定是最優(yōu)的計(jì)算結(jié)果。Sieber 等[82]將Hermite 多項(xiàng)式模型與D2Q9 模型、Chen 等[23]的多層速度模型進(jìn)行了線性穩(wěn)定性分析對(duì)比，發(fā)現(xiàn)對(duì)等溫弱可壓流動(dòng)而言，將平衡態(tài)分布函數(shù)展開(kāi)到三階Hermite 多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，或使用D2V17、D2V37 模型都能顯著提高穩(wěn)定性；對(duì)于可壓縮熱流而言，使用四階Hermite 展開(kāi)的f(0)與D2V37 模型，穩(wěn)定性都優(yōu)于Chen 等[23]提出的多層速度模型。該結(jié)論在Hermite 多項(xiàng)式模型的理論框架下是易于被推斷的。然而，對(duì)于完全還原了能量方程、且離散速度點(diǎn)數(shù)量最少的D2V37、D3V103 模型[47]而言，與同階積分精度、但具有更多離散速度點(diǎn)的模型橫向?qū)Ρ?，例如D3V107 模型，是否也存在各項(xiàng)同性、穩(wěn)定性、色散和耗散差異？這一方面需要在后續(xù)工作中展開(kāi)詳盡地理論分析；另一方面也需要大量的數(shù)值試驗(yàn)，例如方管Poiseuille 流動(dòng)、旋轉(zhuǎn)管道流、強(qiáng)可壓縮流動(dòng)、大溫差熱流等實(shí)際流動(dòng)計(jì)算，來(lái)驗(yàn)證這些多層速度模型之間的性質(zhì)差異。

2）邊界條件。LBM 單層速度模型在經(jīng)過(guò)多年發(fā)展后，其邊界條件處理方法已經(jīng)日趨完善，有關(guān)工作可謂汗牛充棟[33,36,83]，對(duì)于壁面反彈邊界條件[56,84]、周期邊界條件[85]、適用于流動(dòng)出入口的無(wú)反射邊界條件[86-87]以及其他類型的邊界條件等都已有充分的研究工作，可滿足絕大多數(shù)計(jì)算工況的需求。然而，當(dāng)使用多層速度模型時(shí)，一方面由于離散速度點(diǎn)跨越多層網(wǎng)格，使得邊界附近的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)與邊界結(jié)點(diǎn)區(qū)分變得模糊；另一方面平衡態(tài)分布函數(shù)的形式也變得更為復(fù)雜，如何恰當(dāng)處理邊界條件成為了一個(gè)難點(diǎn)，相關(guān)的工作也屈指可數(shù)[83]。Malaspinas 等提出[88]，將邊界節(jié)點(diǎn)的分布函數(shù)離散點(diǎn)按內(nèi)部和邊界分為已知量和未知量，將離散分布函數(shù)各階矩的約束條件構(gòu)成方程組，通過(guò)求解方程組構(gòu)造一種“通用”的邊界條件處理方法。他們?cè)贒2Q9 和D3Q19 模型中進(jìn)行了測(cè)試，并指出該方法可適用于多層速度模型的邊界條件（但沒(méi)有后續(xù)驗(yàn)證）。Meng 和Zhang[89]提出了適用于多層速度模型的擴(kuò)散-反彈邊界條件格式，并應(yīng)用到D2V16、D2V17、D2V37 和D3V121[45]這四種模型，對(duì)等溫流動(dòng)和熱流進(jìn)行了測(cè)試計(jì)算。Lee 等[90]將Hecht 和Harting 針對(duì)D3Q19 的非平衡態(tài)壁面反彈邊界條件[91]，推廣到了用多層速度模型計(jì)算等溫弱可壓流動(dòng)的情況，并用D2V17 模型進(jìn)行了驗(yàn)算。Klass等[92]進(jìn)一步延續(xù)了Lee 等的工作，并將其應(yīng)用到了弱可壓熱流中，使用D2V17 和D2V37 模型進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果比Meng 和Zhang 的擴(kuò)散-反彈邊界條件表現(xiàn)更優(yōu)?？傮w來(lái)看，針對(duì)多層速度模型的邊界條件研究工作還處于起步階段，且大部分局限于弱可壓熱流和Dirichlet 邊界類型；對(duì)于壓縮性較強(qiáng)的跨聲速、超聲速流動(dòng)，以及流動(dòng)出入口涉及的無(wú)反射邊界條件，尚無(wú)相關(guān)工作涉足。將單層速度模型中的各類邊界條件處理方法擴(kuò)展到多層速度模型，并在各類流動(dòng)中廣泛驗(yàn)證測(cè)試，仍是今后需要較多投入的方向。

3）高性能算法。LBM 最大優(yōu)勢(shì)是計(jì)算速度和高度并行特性，然而它也有一個(gè)眾所周知的缺點(diǎn)：由于需要存儲(chǔ)數(shù)量眾多的離散分布函數(shù)，對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的使用量比傳統(tǒng)CFD 方法更多，因此有不少工作聚焦于如何改進(jìn)算法，減少內(nèi)存消耗并提高計(jì)算效率[93-95]。另外，正如上一節(jié)所述，經(jīng)典的LBM（相對(duì)于FDLBM 和FVLBM 及其他混合方法而言）一般使用均勻網(wǎng)格，當(dāng)涉及到邊界層計(jì)算時(shí)，將LBM 與自適應(yīng)局部加密網(wǎng)格（AMR）結(jié)合[96-98]是更加經(jīng)濟(jì)有效的方案。這些算法與目前流行的GPU 高性能計(jì)算相結(jié)合，能發(fā)揮LBM 的最大計(jì)算潛力[99-101]。然而，目前這些高性能算法都是集中應(yīng)用在單層速度模型中。對(duì)于多層速度模型而言，特別是三維情況，準(zhǔn)確模擬可壓縮熱流的最經(jīng)濟(jì)模型是D3V103，但其分布函數(shù)離散點(diǎn)的數(shù)量已經(jīng)是D3Q27 的4 倍。這一方面使其內(nèi)存占用問(wèn)題更加突出；另一方面，在并行化和局部自適應(yīng)加密網(wǎng)格時(shí)，不同塊之間的界面數(shù)據(jù)交互量也更大，需要相當(dāng)謹(jǐn)慎地處理。然而這些往往是工程實(shí)際應(yīng)用中決定算法效率的制約因素。發(fā)展適用于多層速度模型的高性能算法，包括內(nèi)存節(jié)約算法、高效率通信和AMR 方法、CPU+GPU 異構(gòu)高效算法，并在各類復(fù)雜幾何外形、復(fù)雜流動(dòng)中廣泛測(cè)試，應(yīng)引起業(yè)內(nèi)學(xué)者的廣泛關(guān)注。

總體來(lái)說(shuō)，LBM 模型，特別是多層速度模型，仍然需要諸多補(bǔ)充和完善才能成為一種可靠、高效的流體力學(xué)研究手段和應(yīng)用技術(shù)。正如1998 年Chen 和Doolen[2]在文章結(jié)尾中提到，LBM 多相流和復(fù)雜反應(yīng)系統(tǒng)模型主要集中于等溫弱可壓流問(wèn)題，適應(yīng)于可壓縮熱流的LBM 模型仍待開(kāi)發(fā)。20 余年后的今天，這些方面雖然取得了一些進(jìn)步，但是離可靠性要求還有不少差距。我們期望多層速度模型能夠百花齊放，特別是具有較完備數(shù)學(xué)理論框架的Hermite 多項(xiàng)式模型，能在這些方面繼續(xù)發(fā)展壯大并做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

附錄A