楊樓儉
求曲線的方程問題在圓錐曲線中比較常見.此類問題側(cè)重于考查圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及一元二次方程的性質(zhì).求解曲線的方程問題的方法有很多種,如定義法、相關(guān)點(diǎn)法、消參法、數(shù)形結(jié)合法等.那么,如何選擇合適的方法進(jìn)行求解呢?下面結(jié)合實(shí)例加以說明.
一、定義法
運(yùn)用定義法求解曲線的方程問題,主要是根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線、圓的定義來求解.這就要求同學(xué)們熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線、圓的定義,根據(jù)這些定義來建立關(guān)系式,求得曲線的方程.
∴4a=16-12,得a=l,
∵a+b=c=4,∴b3,
二、相關(guān)點(diǎn)法
有些求曲線的方程問題中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的變化而變化,此時(shí)可采用相關(guān)點(diǎn)法解題.首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),并用該動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示另外一個(gè)相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),然后將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入滿足條件的方程中,即可得有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
解:由題意可得F(-2,0),F(xiàn)(2,0),設(shè)點(diǎn)A(x,y),B(x,y),M(x,y),
將兩式相減可得(x-4)(x-x)=(y-y)y,
得(x-6)-y=4,
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),點(diǎn)M(8,0)滿足(x-6)-y4,
∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x-6)-y=4.
由題意可知,M點(diǎn)隨著A、B的變化而變化,因此可采用相關(guān)點(diǎn)法來解題.設(shè)出點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo),并用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出A、B,然后根據(jù)題意建立關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式,即可求出點(diǎn)M的軌跡方程.
三、消參法
消參法是解答圓錐曲線問題的重要方法.運(yùn)用消參法求解曲線的方程問題,需先根據(jù)題意設(shè)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、動(dòng)直線的方程、交點(diǎn)的坐標(biāo)等,然后將其代入題設(shè)中,建立關(guān)系式,最后通過消參、化簡(jiǎn)得到只含有動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的式子,即可求得曲線的方程.
解:①當(dāng)切線l的斜率k存在且k≠0時(shí),設(shè)直線l
的方程為y=kx+m,
∵動(dòng)直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn),
∴Δ=16km-4(1+2k)(2m-2)=0,
整理可得m=2k+1,
∵直線MQ與直線l垂直,且經(jīng)過M(l,0),
而m=2k+1,
∴點(diǎn)Q軌跡方程為x+y=2,
②當(dāng)直線l斜率為0時(shí),Q(l,±l)滿足x+y=2,
綜上所述,點(diǎn)。軌跡方程為x+y=2.
解答本題,需首先設(shè)出動(dòng)直線的方程,將其與橢
圓的方程聯(lián)立,并消去y得到一元二次方程,根據(jù)直線與橢圓相切的關(guān)系可得Δ=0,據(jù)此得到關(guān)于參數(shù)、x、y的式子,通過消參求得Q點(diǎn)的軌跡方程.
相比較而言,定義法較為簡(jiǎn)單;相關(guān)點(diǎn)法的適用
范圍較窄;消參法比較常用.在求解曲線的方程問題時(shí),同學(xué)們可首先將問題與圓錐曲線的定義關(guān)聯(lián)起
來,運(yùn)用定義法求解,然后分析動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系,合理選擇相關(guān)點(diǎn)法、消參法進(jìn)行求解.