三類(lèi)幾何概型概率的求法

馮東新

一、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

對(duì)于與線(xiàn)段長(zhǎng)、邊長(zhǎng)、距離有關(guān)的概率問(wèn)題，其試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域均可用長(zhǎng)度表示，只需分別求出事件所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度與實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，再根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.

例1.某公共汽車(chē)站每隔15分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá)，乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的.求一位乘客到達(dá)車(chē)站后等車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率.

分析：從前一班車(chē)出發(fā)的時(shí)間算起，每位乘客到達(dá)該車(chē)站的時(shí)刻t可以是0-15分鐘中的任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，并且每一位乘客到達(dá)該車(chē)站是等可能的，因此該問(wèn)題屬于幾何概型.構(gòu)成事件的結(jié)果可用長(zhǎng)度表示，所以可運(yùn)用幾何概型的概率公式來(lái)求解.

解：設(shè)上一輛車(chē)于T時(shí)刻到達(dá)，下一輛車(chē)于T時(shí)刻到達(dá)，則線(xiàn)段TT的長(zhǎng)度為15.設(shè)T是線(xiàn)段TT上的點(diǎn)，且TT=5，TT=10，如圖1所示.

二、與面積有關(guān)的幾何概型

與面積有關(guān)的幾何概型，主要是與三角形、矩形、圓等平面圖形的面積有關(guān)的概率問(wèn)題.解答該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷事件所構(gòu)成的區(qū)域是否與面積有關(guān)，然后根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算.

例2.在長(zhǎng)度為a的線(xiàn)段內(nèi)任取兩點(diǎn)，將其分為三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.

解：記“長(zhǎng)度為a的線(xiàn)段隨機(jī)分成三段，將其分成

三段”為事件E，

由于在長(zhǎng)度為a的線(xiàn)段內(nèi)所取的兩點(diǎn)是任意的，且兩點(diǎn)互不影響，所以點(diǎn)（x，y）落在△AOB內(nèi)的任意一個(gè)位置都是等可能的，故該問(wèn)題屬于幾何概型，且事件所構(gòu)成的區(qū)域可用面積表示，求得△CDM，△AOB的面積即可解題.

三、與體積有關(guān)的幾何概型

對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，常見(jiàn)的有與三棱錐、棱柱、圓錐、圓錐、長(zhǎng)方體、正方體、球的空間幾何體的體積有關(guān)的問(wèn)題.在解題時(shí)，需先判斷出實(shí)驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是否與幾何體的體積有關(guān)，然后運(yùn)用幾何概型概率公式解題.

例3.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率.

分析：P是圓柱內(nèi)任意一點(diǎn)，所以事件所構(gòu)成的區(qū)域需用體積來(lái)表示，分別求得點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離等于1的半球的體積、圓柱的體積，便可運(yùn)用幾何概型的概率公式解題.

解：記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A，

由幾何概型的概率公式得：

可見(jiàn)，求解與長(zhǎng)度、面積或體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，首先要確定試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域是否可用長(zhǎng)度、面積、體積表示，然后求得事件所構(gòu)成的區(qū)域的長(zhǎng)度、面積、體積，以及所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度、面積、體積，最后根據(jù)幾何概型的概率公式求解.