解答含參不等式恒成立問題的幾種思路

尹堯

含參不等式恒成立問題一般較為復(fù)雜.僅運用不等式的性質(zhì)，往往很難找到使不等式恒成立的條件，使問題順利得解.這就需要采用不同思路，如變換主元、分離參數(shù)、分類討論等來解題.下面結(jié)合實例來談一談解答含參不等式恒成立問題的三種思路.

一、變換主元

變換主元法是指將問題中主元、參數(shù)的位置互換，即將參數(shù)視為主元，將主元視為參數(shù)進行求解的方法.運用變更主元法解答含參不等式恒成立問題，需先找出所要求證不等式中的變量與參數(shù)，然后將兩者進行互換，得到新不等式，根據(jù)新主元的取值或者限制條件，列出滿足題意的不等式或不等式組，從而解題.

例1，對于任意-1≤a≤1，x+（a-4）x+（4-2a）>0恒成立，則x的取值范圍為________.

解：設(shè)f（a）=（x-2）a+（x-4x+4），a∈[-1，1]，

則問題等價于在a∈[1，1]時，f（a）>0恒成立，

解得x<1或x>3，

所以實數(shù)x的取值范圍為（-∞，l）∪（3，+∞）.

將x和a進行變換，把a看作主元，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)f（a），便可采用變更主元法來解題.很顯然f（a）為一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，要使f（a）>0恒成立，只需使[-1，l]上的所有函數(shù)值都大于0，建立關(guān)于x的不等式組，即可解題.

二、分離參數(shù)

分離參數(shù)法是解答含參不等式恒成立問題的重要方法.運用分離參數(shù)法求解不等式恒成立問題，需先將不等式進行變形，使參數(shù)分離，得到形如a≤f（x）、a<f（x）、a>f（x）、a≥f（x）的式子，只要使a≤f（x）、a<f（x）、a>f（x）、a≥f（x），就能確保不等式恒成立.在求f（x）的最值時，往往可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，或利用基本不等式.

例2.已知函數(shù)f（x）=-xlnx+a（x+1），若f（x）≤2a在[2，+∞）上恒成立，求a的取值范圍.

令t（x）=lnx-x+1，x≥2，

當(dāng)x≥2時，t′（x）<0，

故t（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，

可得t（x）=ln2-l<0，

則函數(shù)g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，

可得a≤g（x）=g（2）=2ln2，

所以a的取值范圍為（-∞，2ln2].

首先將不等式進行移項、變形，使參數(shù)a分離，得到a≤g（x）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求得函數(shù)g（x），即可運用分離參數(shù)法，確定參數(shù)a的取值范圍.

三、分類討論

含參不等式恒成立問題中參數(shù)的取值往往不確定，因而在求解含參不等式恒成立問題時，需靈活運用分類討論法，對參數(shù)或某些變量進行分類討論，從而求得問題的答案.而確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是解題的關(guān)鍵，可根據(jù)一元二次方程的判別式大于、等于、小于0進行分類討論;也可根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于、小于。進行分類討論;還可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值大于、等于、小于0進行分類討論.

例3.設(shè)f（x）=x-2mx+2，當(dāng)x∈[-l，+∞）時，f（x）≥m恒成立，求參數(shù)m的取值范圍.

分析：首先將不等式f（x）≥m轉(zhuǎn)化為F（x）=x-2mx+2-m≥0.要使F（x）≥0，需使該函數(shù)在x∈[-1，+∞）上恒大于或等于0.由于x-2mx+2-m=0為一元二次方程，只需討論方程在x∈[-1，+∞）上的根的分布情況.而方程的根的分布情況主要由判別式確定，所以需采用分類討論法，對方程的判別式與0之間的大小關(guān)系進行討論.

解：設(shè)F（x）=x2mx+2-m，

則問題等價于當(dāng)x∈[-1，+∞）時，F(xiàn)（x）≥0恒成立，

①當(dāng)Δ=4（m-1）（m+2）<0，即-2<m<1時，F(xiàn)（x）>0恒成立，

解得-3≤m≤-2，

綜上所述，參數(shù)m的取值范圍為m∈[-3，1）.

采用分類討論的思路來求解含參不等式恒成立問題，一般可將參數(shù)或與參數(shù)相關(guān)的量定為分類討論的對象，再根據(jù)題意確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，逐層、逐級進行討論，最后綜合所得的結(jié)果即可.

相比較而言，第一種思路的適用范圍較窄;第二、三種思路較為常用，但第三種思路解題的過程繁瑣，且運算量較大.因此在解題時，同學(xué)們可首先嘗試將參數(shù)分離，將問題轉(zhuǎn)化為最值問題來求解;若行不通，再考慮運用變更主元、分類討論的思路.