如何求解有關(guān)圓錐曲線(xiàn)中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

石小卉

圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形是指以圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且其他頂點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)上的三角形.有關(guān)圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題在解析幾何中比較常見(jiàn)，此類(lèi)問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，且計(jì)算量較大.有關(guān)圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題主要有三種：離心率問(wèn)題、曲線(xiàn)的方程問(wèn)題、三角形面積問(wèn)題.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討一下這三類(lèi)問(wèn)題及其解法.

一、離心率問(wèn)題

解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AB交AB于點(diǎn)N，

由雙曲線(xiàn)定義可得，

二、曲線(xiàn)的方程問(wèn)題

與圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形有關(guān)的曲線(xiàn)方程問(wèn)題比較常見(jiàn)，一般要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程或者圓錐曲線(xiàn)的方程.解題的大致思路為：①設(shè)出圓錐曲線(xiàn)的方程或動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，②根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、余弦定理等，得到a、b的值，或與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的式子，即可解題.

在△FPF中，由余弦定理可得

由①②③可得4c=4a+8，∴b=2，

解答本題，需先根據(jù)題意設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，然后根據(jù)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形的特點(diǎn)、余弦定理、雙曲線(xiàn)的定義、三角形的面積公式建立關(guān)于a、c的關(guān)系式，求得雙曲線(xiàn)的方程.

三、三角形的面積問(wèn)題

解答與圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形有關(guān)的面積問(wèn)題，往往需根據(jù)圖形，明確焦點(diǎn)三角形的位置以及邊角關(guān)系，然后聯(lián)立過(guò)焦點(diǎn)的弦以及圓錐曲線(xiàn)的方程，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式求得三角形的面積或者取值范圍.

設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m，

化簡(jiǎn)得（1+4k）x+8kmx+4（m-1）=0，

∴Δ=64km-16（m-1）（1+4k）=0，

∴1+4k=m，

∴△AOB的面積最小值為2.

解答與圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，要明確橢圓、雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形的特點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和定義建立焦點(diǎn)三角形三邊之間的聯(lián)系，構(gòu)建關(guān)于a、c的關(guān)系式，這樣便能快速找到解題的突破口，順利解題.