關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的存在性證明的討論

◎劉順琴(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院，福建 漳州 363105)

高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)府里理工科學(xué)生的必修科目之一，在理工類學(xué)生的專升本考試或者研究生入學(xué)考試當(dāng)中，也是必考科目之一.由此可見(jiàn)，高等數(shù)學(xué)十分重要.

高等數(shù)學(xué)以函數(shù)為核心，系統(tǒng)地介紹了函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、微分方程、空間解析幾何及多元函數(shù)的微積分等內(nèi)容.高等數(shù)學(xué)作為一門研究函數(shù)的學(xué)科，有很多經(jīng)典的問(wèn)題.本文主要從應(yīng)用零點(diǎn)定理展開(kāi)的證明、應(yīng)用微分中值定理展開(kāi)的證明、利用單調(diào)性證明根的個(gè)數(shù)三方面進(jìn)行總結(jié)和討論.

一、應(yīng)用零點(diǎn)定理展開(kāi)的證明

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有很多的特殊性質(zhì)，比如最值定理、介值定理、有界性定理，還有零點(diǎn)定理(根的存在性定理)，其中零點(diǎn)定理就可以用來(lái)證明函數(shù)在給定區(qū)間上有零點(diǎn).

零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，

則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)，至少存在一個(gè)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0.

該定理的條件和結(jié)論都比較簡(jiǎn)單，在幾何上也是非常直觀的，所以利用該定理來(lái)證明，思路簡(jiǎn)單、直接.

利用零點(diǎn)定理證明零點(diǎn)的存在性的步驟：

第一步：構(gòu)造閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；

第二步：驗(yàn)證閉區(qū)間上的連續(xù)性和端點(diǎn)函數(shù)值的異號(hào)性；

第三步：得出結(jié)論.

例1證明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)a+b.

證明：該題相當(dāng)于證明函數(shù)f(x)=x-asinx-b在開(kāi)區(qū)間(0,a+b]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).所以證明如下：

令f(x)=x-asinx-b,則根據(jù)初等函數(shù)在有定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)，可以得出f(x)=x-asinx-b在閉區(qū)間[0,a+b]上連續(xù)，且

f(0)=0-asin 0-b=-b<0，f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)].

由于sin(a+b)≤1，所以下面分兩種情況討論：

情況一：sin(a+b)=1.

若sin(a+b)=1,則f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]=0，則x=a+b為方程所要求的不超過(guò)a+b的正根；

情況二：sin(a+b)<1.

若sin(a+b)<1,則f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]>0，此時(shí)

f(0)f(a+b)<0，根據(jù)零點(diǎn)定理，在開(kāi)區(qū)間(0,a+b)內(nèi)，存在一個(gè)f(x)=x-asinx-b的零點(diǎn)，即x=asinx+b在開(kāi)區(qū)間(0,a+b)內(nèi)有一根.

綜上，該題得證.

證明該題的時(shí)候，要注意分類討論，零點(diǎn)定理只是其中的一種情況.

二、應(yīng)用微分中值定理展開(kāi)的證明

在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)部分，有三個(gè)非常重要的微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理.這三個(gè)定理都可以用來(lái)證明函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)有根，其中以羅爾定理的應(yīng)用最為典型.

羅爾定理：設(shè)函數(shù)f(x)滿足：

(1)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，

(2)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

(3)f(a)=f(b)，

則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)ξ，使得f′(ξ)=0.

該定理區(qū)別于零點(diǎn)定理，首先條件要求更高，結(jié)論也發(fā)生了比較大的變化，是由原函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出來(lái)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性.該定理在直觀上可以描述為連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)的兩個(gè)等高點(diǎn)之間至少有一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).

例2設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100)，不求導(dǎo)數(shù)，判斷f(x)的導(dǎo)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).

解：根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性可知，函數(shù)

f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100)在(-∞,+∞)上任意點(diǎn)連續(xù)且可導(dǎo)，且易知

f(0)=f(1)=f(2)=…=f(100)=0，則在(0,1)內(nèi)，至少存在ξ1，使得f′(ξ1)=0；同理在(1,2)內(nèi)、在(2,3)內(nèi)、…、在(99,100)內(nèi)，均各有一個(gè)使f′(x)=0的x，注意到這些區(qū)間互不交叉，所以f′(x)至少有100個(gè)零點(diǎn)；

又由于f(x)是101次多項(xiàng)式，所以f′(x)是100次多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)理論可知，f′(x)至多有100個(gè)零點(diǎn).

綜合上面兩種情況可知，f′(x)恰好有100個(gè)零點(diǎn).

事實(shí)上，根據(jù)上面的討論過(guò)程，我們還可以知道f″(x)恰好有99個(gè)零點(diǎn)，f?(x)恰好有98個(gè)零點(diǎn)，f(n)(x)(1≤n≤100)恰好有(101-n)個(gè)零點(diǎn).

該題的題意清晰，證明難度較低,我們接著來(lái)看例3.

例3設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=0,0

思路：該題相當(dāng)于證明2f(x)+xf′(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，顯然直接使用零點(diǎn)定理?xiàng)l件不足，考慮使用羅爾定理，此時(shí)2f(x)+xf′(x)的原函數(shù)在直觀上求不出來(lái).這種情況一般可以描述為：

這就轉(zhuǎn)化成了證明函數(shù)

下面用該思路來(lái)證明例3.

有時(shí)候，證明函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)在包含在[a,b]的小區(qū)間內(nèi)有根.比如下方的例4.

例4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1).證明：存在ξ∈[0，1]，使得(1-ξ)f″(ξ)=3f′(ξ).

證明：由題設(shè)f(0)=f(1)和f(x)在區(qū)間[0，1]內(nèi)二階可導(dǎo)易知，f(x)在區(qū)間[0，1]上滿足羅爾定理，所以存在a∈(0，1)，使得f′(a)=0.

另外由結(jié)論(1-ξ)f″(ξ)=3f′(ξ)，我們希望構(gòu)造函數(shù)(1-x)f″(x)-3f′(x)的原函數(shù)，這在直觀上是不好求的，令u(x)=(1-x)2，則u(x)[(1-x)f″(x)-3f′(x)]=(1-x)3f″(x)-3(1-x)2f′(x)的原函數(shù)是好構(gòu)造的，令F(x)=(1-x)3f′(x)，則F(a)=F(1)=0，且易知F(x)在區(qū)間[a，1]上滿足羅爾定理的條件，則存在ξ∈[a，1]，使得F′(ξ)=(1-ξ)3f″(ξ)-3(1-ξ)2f′(ξ)=0，即(1-ξ)3f″(ξ)=3(1-ξ)2f′(ξ)，又因?yàn)?1-ξ)2>0，所以(1-ξ)f″(ξ)=3f′(ξ)，該例題得證.

關(guān)于函數(shù)的構(gòu)造，經(jīng)?？紤]利用兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

例如f(a)=g(b)=0,則構(gòu)造F(x)=f(x)g(x),F(x)滿足F(a)=F(b)=0.例4已經(jīng)充分說(shuō)明了這一點(diǎn)：f′(x)滿足f′(a)=0，g(x)=(1-x)3滿足g(1)=0，所以構(gòu)造了F(x)=f(x)g(x)=(1-x)3f′(x).

在學(xué)習(xí)了定積分之后，會(huì)出現(xiàn)證明含有定積分和導(dǎo)數(shù)的方程的根的存在性的問(wèn)題.

從以上幾個(gè)例子可以看出，利用中值定理證明函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)有根的關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的函數(shù)，而函數(shù)也恰好是高等數(shù)學(xué)最基本的研究對(duì)象.

三、利用單調(diào)性證明根的個(gè)數(shù)

上面兩種情況均只涉及函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的存在性.存在性告訴我們函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但是關(guān)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)卻沒(méi)有辦法解出.事實(shí)上，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)的極值，或者說(shuō)結(jié)合函數(shù)的圖像，關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)的存在性和個(gè)數(shù)可輕易解決.

首先給出關(guān)于單調(diào)性的定理：

定理：區(qū)間(a,b)內(nèi)，f′(x)>0，則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；

區(qū)間(a,b)內(nèi)，f′(x)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.

例6設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx-x2+2.

(1)求f(x)的單調(diào)性；

(2)證明方程f(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根.

(1)解：f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

令f′(x)=0，得x1=-1(舍去)，x2=1.

列表如下:

x(0,1)1(1,+∞)f '(x)+0-f(x)↑極大值↓

如表所示，f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，在[1,+∞)上單調(diào)遞減.

f(1)=2ln 1-1+2=1>0,

f(e)=2ln e-e2+2=4-e2<0.

f(ξ1)=0且f(ξ2)=0.

綜上可得方程f(x)=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根,結(jié)合單調(diào)性可知，f(x)=0恰好有兩個(gè)不同的實(shí)根.

四、結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于同類問(wèn)題的研究思考及區(qū)分，能夠在一定程度上提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.學(xué)生在學(xué)期總結(jié)或知識(shí)點(diǎn)總結(jié)時(shí)進(jìn)行必要的題型總結(jié)，能夠強(qiáng)化自身綜合思維能力，掌握解題技巧，并且輕松地舉一反三.