習(xí)新研舊 追根索源
——對(duì)一道三角函數(shù)月考題的探究學(xué)習(xí)

◎唐滿輝(廣東華僑中學(xué),廣東 廣州 510100)

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)或考試中，有的同學(xué)效果不理想，達(dá)不到預(yù)期目標(biāo)，究其原因，是學(xué)得不扎實(shí)、理得不透徹、練得不精準(zhǔn)，但也有事半功倍者.其實(shí)不管復(fù)習(xí)還是考試都有方法與技巧.學(xué)生在復(fù)習(xí)課中，對(duì)知識(shí)要習(xí)新研舊，對(duì)考題要追根索源，對(duì)結(jié)果要反思總結(jié).筆者通過對(duì)往年考題的深度研究，實(shí)現(xiàn)了更高效的復(fù)習(xí)備考.新知是對(duì)舊知的拓展與延伸，舊知是習(xí)新的基礎(chǔ)來源，新知的學(xué)習(xí)往往可轉(zhuǎn)化為舊知的重構(gòu)、提高與升華，我們可以在舊知中孕育新知，發(fā)展新知.數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬁茖W(xué)，它有一套完善的知識(shí)系統(tǒng).學(xué)生“習(xí)新研舊”“追根索源”，方能把課本讀薄，把試題做對(duì)，學(xué)巧方法，提升素養(yǎng).

下面本文將以一道三角函數(shù)題為例，淺談“習(xí)新研舊”與“追根索源”.

一、題根呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=cosx.

(1)求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間.

(2)求函數(shù)G(x)=f(x).g(x)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間.

(k∈Z)；

(k∈Z).

二、考題研究

這道題是高二下學(xué)期月考選擇題第12題，正確答案是B、C，根據(jù)評(píng)分規(guī)則，全對(duì)5分，錯(cuò)選0分，漏選均為2分，評(píng)卷情況如下表.

表一 基本情況

表二 學(xué)生作答情況

分析：本題的難點(diǎn)在于函數(shù)關(guān)系的變形改造，其實(shí)突破口也在于此，變形改造后，求出待定數(shù)ω與a，再進(jìn)行合一變化，正常來說難度不大.根據(jù)數(shù)據(jù)分析，學(xué)生作答情況不理想，這值得我們反思.在高考備考過程中，學(xué)生需要在歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上，做到基本知識(shí)、基本題型過關(guān).學(xué)生為什么沒有得到正確答案？經(jīng)分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生題干的化簡整理有問題，基本運(yùn)算不過關(guān)，得不到簡化后的正確的函數(shù)解析式，故選項(xiàng)有“瞎猜”的情況，尤其有學(xué)生選A選項(xiàng)更能證明這一點(diǎn).

下面筆者就題干部分，結(jié)合試卷講評(píng)情況，做出解答.

探究多種方法：

進(jìn)一步確定參數(shù)a.

方法1 利用三角函數(shù)對(duì)稱性

方法2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

對(duì)稱軸處對(duì)應(yīng)函數(shù)極值，

∵f(x)=asin 2x+cos 2x，

∴f′(x)=2acos 2x-2sin 2x.

方法3 利用輔助角

探究多種性質(zhì)：

性質(zhì)1 函數(shù)最值與極值.正弦型函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即函數(shù)的極大值或極小值.

性質(zhì)2 函數(shù)零點(diǎn).三角函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn).

性質(zhì)3 函數(shù)單調(diào)性.既可以利用三角函數(shù)圖像特點(diǎn)研究三角函數(shù)單調(diào)性，又可以利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)單調(diào)性.

性質(zhì)4 三角函數(shù)的周期性.

性質(zhì)5 三角函數(shù)的對(duì)稱性.

點(diǎn)評(píng)：高考試題中的三角函數(shù)題相對(duì)比較傳統(tǒng)，難度較低，但就一般學(xué)生而言，也未必能駕輕就熟.因此，在復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生既要注重三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)性，又要熟悉三角函數(shù)的圖像和相關(guān)性質(zhì)，熟練化簡、求值.三角函數(shù)知識(shí)具有工具特征，與代數(shù)、幾何、向量的聯(lián)系較多.學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)應(yīng)有應(yīng)用意識(shí)，教師在復(fù)習(xí)考試中要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察、聯(lián)系、轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)練習(xí)和考試中出現(xiàn)的問題進(jìn)行總結(jié)反思，或者及時(shí)有針對(duì)性地糾錯(cuò)再練，使學(xué)生在熟練掌握基本知識(shí)、基本方法的基礎(chǔ)上，做到不出錯(cuò)或少出錯(cuò).

三、微課錄制

我們可針對(duì)這個(gè)內(nèi)容，以及相關(guān)資源，將題干和題支處理部分錄制成10分鐘的微課，針對(duì)不同方法、不同知識(shí)、不同思想，運(yùn)用直觀有趣的方式進(jìn)行講解，知識(shí)講解與答題指導(dǎo)相結(jié)合，供學(xué)生課后根據(jù)自己的基礎(chǔ)、程度和個(gè)人的應(yīng)用傾向，繼續(xù)深度學(xué)習(xí)研究.教師根據(jù)學(xué)生課后對(duì)微課的學(xué)習(xí)研究情況可以看出不同層次學(xué)生對(duì)不同方法的理解、接受、應(yīng)用的程度.多方法，多思維，多突破，在比較中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中反思，在反思中提高，在提高中升華，這樣更加有利于學(xué)生的分層教學(xué).教師要提高教學(xué)的針對(duì)性，把因材施教落到實(shí)處，落到細(xì)處，從而把課堂教學(xué)從有效變?yōu)楦咝?

通過了解學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)與練習(xí)，我們進(jìn)行了方法統(tǒng)計(jì).

表三 方法統(tǒng)計(jì)

通過上表分析，教師利用微課教學(xué)，對(duì)成績中下游學(xué)生的提高有很好的輔助效果，同時(shí)微課的多思維、多方法，可供上中下不同層次學(xué)生做出選擇.

變式研究：

解：(1)方法1 利用輔助角

化簡得：(a+b)2=2(a2+b2),

所以a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0,故a-b=0.

方法2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)

方法3 利用對(duì)稱性

∴a=b，即a-b=0.

(2)由(1),得a=b，

即g(-x)=g(x),所以g(x)是偶函數(shù).

表四 基本情況

通過上述數(shù)據(jù)分析可知，微課形式明顯有利于幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，即使是在分層教學(xué)方面，也有明顯的優(yōu)勢，中下游學(xué)生成績提高，中上游學(xué)生對(duì)題型的理解更加深入，也更加透徹，能做到舉一反三，提升素養(yǎng).微課加糾錯(cuò)加反思，對(duì)促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步有明顯效果，既提高綜合能力，又提升學(xué)習(xí)信心，利于局部，更利于整體.

四、教學(xué)反思

變式教學(xué)學(xué)者鮑建生等教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往要經(jīng)歷“過程”達(dá)成，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)概念的認(rèn)知過程.從這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也不可避免地扮演過程的操作性和概念的結(jié)構(gòu)性雙重角色.基于這種考慮，在教學(xué)上，“習(xí)新研舊”不能無的放矢，為變而變，試題設(shè)計(jì)要圍繞數(shù)學(xué)概念的元素和關(guān)系，分別設(shè)計(jì)區(qū)別該元素的題組.教師在教學(xué)中注重概念與過程，就要兼顧內(nèi)容，兼顧學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)高層次思維能力的達(dá)成.我們“習(xí)新研舊，追根索源”就是抓住課本，以本為本，熟悉基本題型，強(qiáng)化基礎(chǔ)，抓變式，進(jìn)行變式研究，實(shí)現(xiàn)舉一反三；抓反思，達(dá)到提高與升華的目的.

我們?cè)谀K復(fù)習(xí)中，題目總有難有易，命題考試也是如此，而且學(xué)生有不同的基礎(chǔ)、不同的學(xué)習(xí)興趣與能力，層次不一樣.如何讓學(xué)生學(xué)有所獲，考有所得？如何把因材施教落到實(shí)處，更好地實(shí)現(xiàn)公平教育？除了學(xué)校有計(jì)劃地主動(dòng)分層推進(jìn)教育外，教師利用信息化手段，制作質(zhì)量好的微課，實(shí)現(xiàn)重點(diǎn)突出，難點(diǎn)突破，是行之有效的方法.事實(shí)證明，微課教學(xué)對(duì)學(xué)困生的幫助是很大的，他們或許思維慢一步，理解遲一點(diǎn)，但通過教師講解，加之微課補(bǔ)充學(xué)習(xí)，就能理解透徹，學(xué)有所成.