高頻變壓器漏感參數(shù)對(duì)繞組形變的全局靈敏度分析

陳健， 萬(wàn)妮娜， 郭昊， 徐溧， 付焱燚， 陳彬*

(1.三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院， 宜昌 443002； 2.國(guó)網(wǎng)湖北省電力公司宜昌供電公司， 宜昌 443000；3.智能帶電作業(yè)技術(shù)及裝備(機(jī)器人)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 長(zhǎng)沙 410100； 4.帶電巡檢與智能作業(yè)技術(shù)國(guó)網(wǎng)公司實(shí)驗(yàn)室， 長(zhǎng)沙 410100； 5.國(guó)網(wǎng)湖南省電力有限公司技術(shù)技能培訓(xùn)中心， 長(zhǎng)沙 410100)

基于大功率高頻變壓器的磁耦合DC/DC變換器是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模直流源互聯(lián)、兆瓦級(jí)直流電壓變換的核心設(shè)備[1-3]。由于其工作電流較大，當(dāng)高頻變壓器發(fā)生短路故障時(shí)繞組電流激增，致使高頻變壓器繞組受力變形。此外，隨著繞組結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，其空間磁場(chǎng)強(qiáng)度分布也會(huì)隨之改變，從而導(dǎo)致高頻變壓器漏感參數(shù)發(fā)生改變。漏感參數(shù)過(guò)大將會(huì)降低變換器的輸出效率，漏感參數(shù)過(guò)小則不能實(shí)現(xiàn)零電壓開(kāi)關(guān)[4-5]。因此，研究繞組形變對(duì)漏感參數(shù)的影響，分析其對(duì)不同形變種類(lèi)的靈敏度，對(duì)高頻變壓器的可靠穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義。

在計(jì)算高頻變壓器漏感參數(shù)的方法中，有限元仿真可以充分地考慮復(fù)雜的繞組結(jié)構(gòu)，對(duì)于分析復(fù)雜的繞組形變具有很高的精度[6-8]。然而有限元仿真計(jì)算效率低且不能給出漏感參數(shù)與繞組結(jié)構(gòu)的具體函數(shù)形式，難以對(duì)其進(jìn)行全局靈敏度分析。響應(yīng)面法將數(shù)理統(tǒng)計(jì)與試驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合，擬合出設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)變量之間的函數(shù)關(guān)系式，是進(jìn)行靈敏度分析的有效方法，已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[9-10]。漏感參數(shù)對(duì)于繞組形變的靈敏度分析包括了局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度主要體現(xiàn)了單個(gè)變量對(duì)漏感參數(shù)的影響，不能體現(xiàn)出各變量之間的交互作用。在全局靈敏度分析中，Sobol’靈敏度分析方法是一種基于方差的蒙特卡羅法，其形式簡(jiǎn)單、計(jì)算簡(jiǎn)便，已廣泛應(yīng)用于生物、物理、化學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域之中[11-12]。文獻(xiàn)[13]通過(guò)對(duì)比Sobol’靈敏度分析方法和其它靈敏度分析方法，認(rèn)為Sobol’法是最有效的靈敏度分析方法之一，其不僅可以考察單個(gè)變量對(duì)函數(shù)的影響，還考慮了各變量之間的相互作用。文獻(xiàn)[14]采用Sobol’靈敏度分析方法分析了高、低壓繞組對(duì)地自電容、互電容以及高低壓繞組自感、互感對(duì)繞組變形的靈敏度，揭示了各電氣參數(shù)與繞組變形種類(lèi)的內(nèi)在聯(lián)系。

針對(duì)高頻變壓器漏感參數(shù)對(duì)繞組形變的全局靈敏度分析問(wèn)題，以一臺(tái)額定容量為200 kVA，額定工作頻率為10 kHz的高頻變壓器為研究對(duì)象，首先通過(guò)響應(yīng)面法、中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)以及有限元仿真構(gòu)建了漏感參數(shù)的二階和三階響應(yīng)面模型。其次，基于Sobol’靈敏度分析方法和蒙特卡羅抽樣方法，對(duì)高頻變壓漏感參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，揭示出不同形變種類(lèi)對(duì)漏感參數(shù)的影響關(guān)系，為高頻變壓器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及繞組形變檢測(cè)提供了指導(dǎo)。

1 響應(yīng)面模型及試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

1.1 響應(yīng)面模型基本理論

響應(yīng)面法(response surface methodology, RSM)是一種有效的參數(shù)靈敏度分析方法，該方法將數(shù)理統(tǒng)計(jì)與試驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合，擬合出設(shè)計(jì)變量(因素)與響應(yīng)變量(目標(biāo)值)之間的函數(shù)關(guān)系式。響應(yīng)面模型的階數(shù)越高，其精度就越高，但表達(dá)式則越復(fù)雜?；谶x定的響應(yīng)面模型，對(duì)指定的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)采樣并獲取樣本值，最后通過(guò)最小二乘法確定待定系數(shù)，最終得到實(shí)際模型的顯式函數(shù)。響應(yīng)面模型可以代替真實(shí)模型進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析。

二階和三階響應(yīng)面模型的表達(dá)式分別為[14]

(1)

(2)

式中：y(x)為響應(yīng)變量；xi、xj、xk為設(shè)計(jì)變量；n為設(shè)計(jì)變量的數(shù)量；a0、ai、aji、aij、aiii、aiij、aijk為待定系數(shù)，其個(gè)數(shù)N與響應(yīng)面模型階數(shù)和設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)n有關(guān)。

以三階響應(yīng)面模型為例，其個(gè)數(shù)為

(3)

對(duì)指定的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行M次試驗(yàn)設(shè)計(jì)采樣，得到樣本值為y′=(y′(1),y′(2),…,y′(M))T，則響應(yīng)面模型可用矩陣表示為

y′=Φα+ε

(4)

式(4)中：α為待定系數(shù)矩陣；ε為誤差矩陣；Φ為樣本點(diǎn)設(shè)計(jì)參數(shù)數(shù)據(jù)矩陣，可表示為[15]

(5)

通常采用最小二乘法來(lái)估計(jì)回歸系數(shù)的值，因此待定系數(shù)α可以通過(guò)最小二乘法擬合得到，即

α=(ΦTΦ)-1(ΦTy′)

(6)

1.2 CCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)

采樣點(diǎn)的選取直接決定了響應(yīng)面模型的擬合精度，因此需要通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成合理的采樣點(diǎn)。響應(yīng)面分析的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法中，中心復(fù)合設(shè)計(jì)(central composite design, CCD)和Box-Behnken設(shè)計(jì)(Box-Behnken design, BBD)是最為經(jīng)典的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，此外還可以采用二次飽和設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)、田口設(shè)計(jì)等方法。目前，CCD是運(yùn)用最為廣泛的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，原因在于：①通過(guò)恰當(dāng)?shù)剡x擇軸點(diǎn)坐標(biāo)，可以使CCD為可旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)，從而可以在各個(gè)方向上提供同等精度的估計(jì)；②通過(guò)恰當(dāng)?shù)剡x擇CCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)的中心試驗(yàn)次數(shù)，可以使CCD是正交的或者是一致精度的設(shè)計(jì)，進(jìn)而確定最優(yōu)點(diǎn)位置[16]。因此，選擇CCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法確定繞組形變變量對(duì)漏感參數(shù)影響的試驗(yàn)方案。

CCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)的二維和三維分布如圖1所示，其中，1為設(shè)計(jì)變量的上水平，-1為設(shè)計(jì)變量的下水平。此外，由于軸向點(diǎn)a值的存在，使CCD獲得最優(yōu)解過(guò)程的搜索范圍較BBD獲得的搜索范圍更廣[17]。

Z1、Z2、Z3為三維坐標(biāo)軸的坐標(biāo)名稱

1.3 響應(yīng)面模型誤差分析

由于通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定的樣本點(diǎn)的分布具有隨機(jī)性，且少量樣本不能完全代表全局變量。為了驗(yàn)證響應(yīng)面模型是否具有足夠的精確性和魯棒性，借助式(7)計(jì)算擬合優(yōu)度指標(biāo)R2，對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行精度分析。擬合優(yōu)度指標(biāo)系數(shù)越接近于1，則響應(yīng)面模型的精度越高、擬合誤差越小。

(7)

(8)

(9)

基于上述分析，響應(yīng)面建模流程如圖2所示，其中要求擬合優(yōu)度指標(biāo)大于0.99，擬合最大相對(duì)誤差不大于1%。

圖2 響應(yīng)面模型建立流程

2 高頻變壓器模型及響應(yīng)面模型的建立

2.1 高頻變壓器模型幾何參數(shù)

所研究的高頻變壓器額定容量為200 kVA，額定工作頻率為10 kHz，原、副邊繞組額定電壓為1 kV。高頻變壓器結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示，樣機(jī)實(shí)物如圖4所示，具體參數(shù)如表1所示。原邊繞組和副邊繞組的層數(shù)均為1層，每層繞組包含有7匝方形利茲線。利茲線的尺寸為11.35 mm×11.35 mm，股數(shù)為2 128股，單股直徑為0.2 mm，絞合方式為同心絞。

表1 高頻變壓器模型主要參數(shù)

r1為副邊繞組內(nèi)半徑為；r2為原邊繞組內(nèi)半徑；v1為副邊繞組匝間距離；v2為原邊繞組匝間距離

2 128為所使用的變壓器繞組每匝利茲線導(dǎo)體的總股數(shù)，采用的利茲線為方形利茲線，19和112表示方形利茲線共包含19個(gè)子束、每個(gè)子束由112股絕緣細(xì)導(dǎo)線組成

采用ANSYS/Maxwell電磁場(chǎng)分析軟件建立了高頻變壓器二維仿真模型。高頻變壓器繞組導(dǎo)體為利茲線，其單股直徑小、股數(shù)多、絞合結(jié)構(gòu)復(fù)雜。

為了降低建模難度、減少仿真時(shí)間同時(shí)保證計(jì)算精度，引入填充系數(shù)將利茲線等效為等面積的方形導(dǎo)體，等效后方形導(dǎo)體電導(dǎo)率seff=1.85×107S/m[18]。

由于變壓器鐵心窗口內(nèi)外漏磁場(chǎng)的分布存在一些差異，為了更加精確地計(jì)算變壓器鐵心內(nèi)外漏磁能量。將圖3所示的變壓器模型總的漏磁能量劃分為鐵心內(nèi)部和鐵心外部。圖5給出了未發(fā)生繞組形變時(shí)，高頻變壓器的磁場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度分布。

圖5 磁場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度分布

根據(jù)上述仿真計(jì)算獲取的單位長(zhǎng)度的漏磁能量，高頻變壓器的漏感參數(shù)的計(jì)算公式為

Lσ=2(WinMLTin+WoutMLTout)/I2

(10)

式(10)中：Lσ為漏感參數(shù)；Win、Wout分別為鐵心內(nèi)部區(qū)域和外部區(qū)域的單位長(zhǎng)度的漏磁能量；MLTin、MLTout分別為鐵心內(nèi)部區(qū)域和外部區(qū)域的平均匝長(zhǎng)；I為電流有效值。

當(dāng)高頻變壓器繞組發(fā)生形變后，空間中的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布將發(fā)生改變，高頻變壓器漏感參數(shù)也會(huì)隨之改變，因此將建立高頻變壓器漏感參數(shù)的響應(yīng)面模型。在高頻變壓器發(fā)生短路故障時(shí)，繞組會(huì)受到較大的徑向和軸向電磁力作用，徑向力使副邊繞組內(nèi)徑縮短、原邊繞組內(nèi)徑增加，軸向力使兩繞組高度縮短[19]。因此，選取副邊繞組內(nèi)半徑r1、原邊繞組內(nèi)半徑r2、副邊繞組匝間距離v1、原邊繞組匝間距離v2作為響應(yīng)面模型的輸入變量。為了便于對(duì)各種形變類(lèi)型進(jìn)行定量分析，將整個(gè)繞組的形變程度分別量化為輸入變量的不同取值。各輸入變量的取值范圍由變壓器模型的實(shí)際幾何尺寸和形變程度確定，如表2所示。

表2 輸入變量取值范圍

2.2 建立響應(yīng)面模型

考慮到響應(yīng)面模型的計(jì)算精度和復(fù)雜程度，選擇二階響應(yīng)面模型作為初始模型，并通過(guò)有限元仿真對(duì)CCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得的25個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析，得到樣本值，進(jìn)一步得到響應(yīng)面模型并校驗(yàn)該模型的擬合度，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，二階響應(yīng)面模型的擬合優(yōu)度指標(biāo)及最大誤差均不滿足精度要求，因此將響應(yīng)面模型階數(shù)進(jìn)一步增加到三階、中心點(diǎn)試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)設(shè)置為16，此時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)增加到40個(gè)(表3)，此時(shí)擬合優(yōu)度指標(biāo)及擬合精度均滿足要求。高頻變壓器漏感參數(shù)隨繞組形變的響應(yīng)面模型為

表3 響應(yīng)面模型擬合度及誤差分析

(11)

2.3 響應(yīng)面模型精度分析

為了更直觀地體現(xiàn)出響應(yīng)面模型在整個(gè)取值范圍內(nèi)的擬合效果，假定只有其中一個(gè)輸入?yún)?shù)發(fā)生變化，并在輸入變量取值范圍區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取值，通過(guò)參數(shù)化有限元仿真得到漏感參數(shù)的仿真值和響應(yīng)面模型計(jì)算值隨該變量變化的曲線，如圖6所示。可以看出：①以參數(shù)化有限元仿真結(jié)果為參照，三階響應(yīng)面模型的計(jì)算精度高于二階響應(yīng)面模型，其最大誤差分別為0.26%、0.36%、0.32%和 0.17%；②實(shí)際中，副邊繞組受到的是向內(nèi)壓縮的徑向力和軸向壓力，而原邊繞組是受到向外擴(kuò)張的徑向力和軸向壓力，繞組產(chǎn)生相應(yīng)變形后都會(huì)使高頻變壓器的漏感參數(shù)增大，這將影響高頻變壓器兩端變換器的輸出效率；③在這4種類(lèi)型的繞組形變中，原邊繞組發(fā)生徑向形變時(shí)，對(duì)高頻變壓器的漏感參數(shù)的影響最大。

圖6 響應(yīng)面模型擬合精度對(duì)比

3 全局靈敏度分析

3.1 Sobol’法基本原理

基于上述分析得到的三階響應(yīng)面模型，選擇采用Sobol’法對(duì)其進(jìn)行全局靈敏度分析。該方法是一種基于方差的蒙特卡洛法[20]，其核心思想是：在輸入變量域In={x|0≤xi≤1;i=1,2,…,n}內(nèi)，將函數(shù)f(x)分解成2n項(xiàng)之和，如式(12)所示，再通過(guò)隨機(jī)采樣計(jì)算函數(shù)f(x)的總方差及各分項(xiàng)的偏方差，進(jìn)而計(jì)算出響應(yīng)面模型的靈敏度系數(shù)。

(12)

式(13)中：f0為常數(shù)項(xiàng)；fi(xi)和fi,j(xi,xj)分別為一元函數(shù)子項(xiàng)和二元函數(shù)子項(xiàng)。各子項(xiàng)對(duì)其所包含任意一變量的積分為零，可表示為

(13)

式(13)中：fi1,i2,…,is(xi1,xi2,…,xis)為is元函數(shù)子項(xiàng)；xk為is元函數(shù)子項(xiàng)的其中一個(gè)變量，s=1,2,…,n。

由式(12)、式(13)可知，式(12)中的所有子項(xiàng)之間都是正交的，即

(14)

因此函數(shù)f(x)的各子項(xiàng)通過(guò)多重積分計(jì)算得到，可表示為

(15)

(16)

fij(xi,xj)=-f0-fi(xi)-fj(xj)+

(17)

同理，即可求得函數(shù)f(x)的其他高階項(xiàng)。將式(12)兩邊平方并在整個(gè)變量域In內(nèi)積分得

(18)

函數(shù)f(x)的總方差D為

(19)

s階偏方差為

(20)

由式(18)～式(20)可得

(21)

因此，函數(shù)f(x)的全局靈敏度系數(shù)可表示為

Si1,i2,…,is=Di1,i2,…,is/D

(22)

Sobol’法的一階靈敏度系數(shù)反映的是單個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)輸出結(jié)果產(chǎn)生的影響；而全局靈敏度不但反映了單個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)生的影響，還考慮了各個(gè)變量交互作用后對(duì)函數(shù)f(x)輸出結(jié)果的影響。若某變量靈敏度系數(shù)越接近于1，則表示函數(shù)f(x)對(duì)該變量的靈敏度越高。

3.2 全局靈敏度分析結(jié)果

基于上述得到的三階響應(yīng)面模型，將響應(yīng)面模型與Sobol’全局靈敏分析方法相結(jié)合，在表2的基礎(chǔ)上，利用蒙特卡羅法抽樣方法對(duì)各個(gè)變量進(jìn)行隨機(jī)采樣。分別從0～3 000范圍取了17個(gè)不同數(shù)量的采樣點(diǎn)。結(jié)果表明：對(duì)于一階靈敏度系數(shù)，當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)2 500時(shí)，結(jié)果基本趨于穩(wěn)定；對(duì)于全局靈敏度系數(shù)，當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)達(dá)到超過(guò)600時(shí)，結(jié)果基本趨于穩(wěn)定，如圖7、圖8所示。

圖7 一階靈敏度系數(shù)

圖8 全局靈敏度系數(shù)

因此為了分析結(jié)果的正確性和合理性，選擇在各變量的取值范圍內(nèi)，采用蒙特卡羅抽樣方法對(duì)各參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)采樣，采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為3 000，計(jì)算得到各采樣點(diǎn)的漏感參數(shù)大小，最后利用Sobol’法計(jì)算各變量的一階靈敏度系數(shù)、全局靈敏度系數(shù)以及各變量的貢獻(xiàn)度，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 靈敏度分析結(jié)果

為了更加直觀地說(shuō)明各變量變化對(duì)高頻變壓器漏感參數(shù)的影響程度，繪制了各變量的靈敏度系數(shù)柱狀圖和貢獻(xiàn)度餅狀圖分別如圖9、圖10所示。

圖9 各參數(shù)的一階靈敏度和全局靈敏度

圖10 各參數(shù)的貢獻(xiàn)度

分析可知，高頻變壓器漏感參數(shù)對(duì)4個(gè)輸入變量的靈敏度不同，且差異較大。其中該參數(shù)對(duì)原邊繞組內(nèi)半徑r2的靈敏度最高，為0.696 3；其次是副邊繞組內(nèi)半徑r1，其靈敏度為0.163 5；而對(duì)副邊繞組匝間距離v1和原邊繞組匝間距離v2的靈敏度較低，分別為0.107 7和0.102 6。分析結(jié)果可知：①繞組發(fā)生徑向形變對(duì)高頻變壓器漏感參數(shù)產(chǎn)生的影響比縱向形變大；②高頻變壓器漏感參數(shù)對(duì)原邊繞組徑向形變最靈敏。

綜上所述，應(yīng)用Sobol’法計(jì)算可以得到不同形變類(lèi)型對(duì)漏感參數(shù)影響程度的定量結(jié)果，且同時(shí)考慮了繞組發(fā)生復(fù)雜形變時(shí)各變量間交互作用對(duì)漏感參數(shù)的影響。此外，由分析計(jì)算結(jié)果可知，原邊繞組徑向形變對(duì)高頻變壓器漏感參數(shù)的影響最大，且遠(yuǎn)高于其他類(lèi)型的形變。因此，在對(duì)高頻變壓器進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注原邊繞組的徑向穩(wěn)定性。同時(shí)，可將漏感參數(shù)引入繞組形變的檢測(cè)判據(jù)中，為高頻變壓器的形變檢測(cè)提供依據(jù)。

4 結(jié)論

結(jié)合響應(yīng)面法和Sobol’靈敏度分析算法，分析了高頻變壓器漏感參數(shù)對(duì)不同繞組形變種類(lèi)的靈敏度，得出如下結(jié)論。

(1)基于響應(yīng)面法、CCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)以及有限元仿真，構(gòu)建了高頻變壓器漏感參數(shù)的二階和三階響應(yīng)面模型，并證明三階響應(yīng)面模型的計(jì)算精度高于二階響應(yīng)面模型，其最大誤差分別為0.26%、0.36%、0.32%和 0.17%。

(2)利用Sobol’靈敏度分析算法和蒙特卡羅抽樣方法，分析了各輸入變量的一階靈敏度系數(shù)、全局靈敏度系數(shù)以及各變量的貢獻(xiàn)度。其中漏感參數(shù)對(duì)原邊繞組發(fā)生徑向形變最為敏感，其一階靈敏度為0.659 1、全局靈敏度為0.696 3、貢獻(xiàn)度為65.0%。

(3)通過(guò)上述分析證明了漏感參數(shù)與繞組形變類(lèi)型的內(nèi)在關(guān)系，為高頻變壓器的繞組結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了指導(dǎo)，同時(shí)也進(jìn)一步為繞組形變的檢測(cè)提供的理論依據(jù)和新思路。