X 構(gòu)型張力非線性系統(tǒng)共振激勵下的拍振現(xiàn)象*

齊子涵， 吳志強， 焦云雷， 賈文文

（1. 天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300350；2. 天津航天機電設(shè)備研究所，天津 300458；3. 中國空間技術(shù)研究院 總體部，北京 100094）

引 言

隨著我國航天事業(yè)的發(fā)展，圓形太陽翼因高功率質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)緊湊等特點逐漸替代矩形太陽翼，引起了人們的重視[1].張力機構(gòu)是圓形太陽翼能夠保持太陽毯張緊的關(guān)鍵機構(gòu)，通常由兩側(cè)的繩和彈簧組成接近X 形的構(gòu)型，其力學(xué)特性具有明顯的非線性特征.由于制造及安裝誤差等原因，張力機構(gòu)連接的太陽翼兩部分可能不是嚴(yán)格對稱的.因而，分析張力非線性對系統(tǒng)動力學(xué)的影響時，需要考慮這種結(jié)構(gòu)不對稱的影響.但是由于此機構(gòu)存在張力非線性因素，當(dāng)兩肋板出現(xiàn)不對稱情況時，在張力非線性的作用下將會出現(xiàn)拍振.因此，研究其不同激勵條件下的拍振對于實施拍振控制有重要作用.

拍振現(xiàn)象可見于各類工程實例中，因而得到人們的重視.溫登哲等[2]總結(jié)了航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)發(fā)展，并強調(diào)了拍振對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響；陳茉莉等[3]指出多維圖形法在多源拍振中的小頻差識別應(yīng)用；廖明夫等[4]在研究雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)差率很小時拍振現(xiàn)象十分明顯；韓軍等[5]分析了拍振周期性和信號強度及反向轉(zhuǎn)子的基本特性，對產(chǎn)生拍振的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征進(jìn)行了較好的闡述；Zeng 等[6]通過解拍的方法對雙轉(zhuǎn)子不平衡振動進(jìn)行信號提?。桓咛靃7]對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)陣發(fā)性沖擊振動采用了Hilbert 包絡(luò)譜的分析方法，清晰地提取了系統(tǒng)中的周期損傷頻率及其倍頻.在橋梁方面，Caetano 等[8]通過對Guadiana 橋進(jìn)行現(xiàn)場測試，觀測到不同模態(tài)間的內(nèi)共振及斜拉索拍振.在此基礎(chǔ)上，孫測世等[9]分析了單頻激勵能激發(fā)斜拉索拍振的原因.Park 等[10]對怠速拍振與車輛振動的關(guān)系進(jìn)行了探究，為車輛設(shè)計提供了指導(dǎo).朱劍濤等[11]采用Fourier 變換、沖擊響應(yīng)譜和小波分析方法分析了星箭組合體的拍振特點，為后續(xù)衛(wèi)星狀態(tài)的確定提供了參考依據(jù)；練繼建等[12]對泄洪激勵下二灘拱壩拍振現(xiàn)象的機理進(jìn)行研究，分析了拱壩拍振的主要原因；Zhang 等[13]分析了電介質(zhì)彈性體膜電壓誘發(fā)拍振的機理；Endo 等[14]對大型浮式結(jié)構(gòu)的拍振現(xiàn)象進(jìn)行分析，指導(dǎo)了海洋平臺的設(shè)計；Kim 等[15-16]利用脈沖響應(yīng)研究了不對稱環(huán)、鐘的拍頻分布特征；高輝等[17]通過研究主動磁懸浮軸承系統(tǒng)拍振現(xiàn)象，提出控制磁懸浮軸承廣義動剛度的方法以降低拍振的影響.在工程實例中，拍振多是以時域和頻譜進(jìn)行分析，并且更多地是對拍振出現(xiàn)的原因進(jìn)行探究，未闡述系統(tǒng)非線性響應(yīng)與拍振的關(guān)系.

本文基于張力機構(gòu)特點，使用Lagrange 能量法進(jìn)行兩肋板結(jié)構(gòu)尺寸非對稱情況建模，對激勵幅值改變的對稱激勵下系統(tǒng)非線性動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行求解，分析了結(jié)構(gòu)拍振的原因，通過計算系統(tǒng)典型響應(yīng)并結(jié)合時域、Poincaré截面、頻譜以及Hilbert 包絡(luò)譜等手段，探究了系統(tǒng)不同非線性響應(yīng)狀態(tài)與拍振具體形式的關(guān)系.

1 帶有張力非線性系統(tǒng)的動力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

如圖1 所示，系統(tǒng)由兩個靜平衡狀態(tài)間距為L的懸臂型肋板組成，兩個板間通過張力調(diào)節(jié)單元連接，外側(cè)均與接地彈簧k1相連.固定端有位移激勵Ui(t)=Yicos(ωt)，wi(x,t)表示第i個肋板固定端所受位移激勵及板振動變形.

圖1 張力非線性結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the tension nonlinear symmetric model

1.2 系統(tǒng)動力學(xué)方程推導(dǎo)

由于肋板變形小，且以一階為主，故可假設(shè)肋板i(i= 1, 2 )的振動位移為

其中Φ(x)為懸臂梁一階模態(tài)函數(shù). 將以上方程代入到非保守系統(tǒng)的Lagrange 方程

可得兩自由度非線性方程：

1.3 方程無量綱化

表1 模型參數(shù)取值Table 1 Values of model parameters

2 拍振現(xiàn)象原因分析

以激勵幅值0.3，激勵頻率1 時的強迫共振響應(yīng)為例，通過比較線性、非線性響應(yīng)，分析拍振產(chǎn)生的原因.圖2 為線性系統(tǒng)響應(yīng)，圖3 為非線性系統(tǒng)響應(yīng).

圖2 激勵幅值為0.3 線性系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時間歷程圖；(b) 肋板2 時間歷程圖；(c) 肋板1 頻譜圖；(d) 肋板2 頻譜圖Fig. 2 With an excitation amplitude of 0.3, the linear system responses：(a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2;(c) the spectrum diagram of rib 1; (d) the spectrum diagram of rib 2

圖3 激勵幅值為0.3 非線性系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時間歷程圖；(b) 肋板2 時間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e) 肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 3 With an excitation amplitude of 0.3, the nonlinear system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2;(c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

線性系統(tǒng)響應(yīng)中，由于兩肋板截面尺寸不同，導(dǎo)致肋板1 固有頻率為1，肋板2 固有頻率略低于1，因此圖2線性系統(tǒng)由于共振使肋板1 位移極值遠(yuǎn)大于肋板2，但在時域圖像中都未出現(xiàn)拍振現(xiàn)象，說明帶有張力非線性的非對稱系統(tǒng)在對稱激勵下的拍振現(xiàn)象并非是由結(jié)構(gòu)固有頻率的差異引起的.

張力非線性系統(tǒng)在相同激勵條件下的響應(yīng)如圖3 所示.因所討論的系統(tǒng)受周期激勵作用，其Poincaré截面圖由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時間歷程間隔激勵周期取點后繪制的相圖得到.與線性情況不同的是，兩肋板位移極值相近且出現(xiàn)拍振現(xiàn)象.綜合圖2 分析可知，此結(jié)構(gòu)拍振是由具有張力非線性的張力調(diào)節(jié)單元耦合作用引起的.

3 非對稱系統(tǒng)分岔分析

本節(jié)通過計算Poincaré映射分岔，獲得激勵幅值較大范圍變化時響應(yīng)的變化情況，之后選擇典型參數(shù)分析拍振現(xiàn)象.

激勵幅值從0 到3 變化時系統(tǒng)分岔見圖4.激勵幅值在0 ～ 0.28，1.67 ～ 1.74，1.99 ～ 2.03，2.15 ～ 2.5 以及2.67 ～ 3 五個范圍時響應(yīng)屬于簡單周期運動，暫不討論.而激勵幅值處于其他范圍時系統(tǒng)響應(yīng)會出現(xiàn)概周期運動乃至混沌運動.具體運動形式判定，下文將從時間歷程、Poincaré截面圖、頻譜和Hilbert 包絡(luò)譜的角度進(jìn)行分析.限于篇幅，這里給出激勵幅值Y為0.3，0.67，0.72 和2.66 時的結(jié)果.

圖4 激勵幅值改變下肋板分岔圖：(a) 肋板1 分岔圖；(b) 肋板2 分岔圖Fig. 4 With a changing excitation amplitude, the bifurcation diagrams of the lower ribs: (a) the bifurcation diagram of rib 1; (b) the bifurcation diagram of rib 2

圖3 為激勵幅值為0.3 時的系統(tǒng)響應(yīng)，此處不再重復(fù).從時間歷程來看，雖然兩個肋板的最大振幅均為6 左右，但其拍振波形有明顯不同，肋板2 存在大小拍現(xiàn)象.Poincaré截面圖說明運動是概周期的，但肋板1、2 分別為單環(huán)和三環(huán).頻譜圖顯示，在主振動頻率1 附近出現(xiàn)多個頻率，這些很接近的頻率正是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)拍振的主要原因.通過圖3(g)、(h) 的Hilbert 包絡(luò)譜，可以清晰地得到拍振特點：兩個肋板都是由兩小拍組成一大拍，小拍頻率為0.08，對應(yīng)拍振周期為12.5，大拍頻率為0.04，對應(yīng)拍振周期為25，這兩個頻率分別對應(yīng)Hilbert 包絡(luò)譜中的第一、第二兩個頻率.兩個肋板拍振具體形式略有差別，主要體現(xiàn)在Hilbert 包絡(luò)譜中頻率為0.08 的幅值不同：肋板1 兩小拍不明顯，幾乎合為一拍，因此0.08 頻率幅值很小；肋板2 兩小拍清晰，因此0.08 頻率幅值與0.04 幅值相近.

圖5 為激勵幅值為0.67 時的系統(tǒng)響應(yīng).時間歷程圖中的振動幅值都有所增加，兩個肋板大小拍更加明顯.系統(tǒng)的Poincaré截面顯示運動仍是概周期的，但是出現(xiàn)了更高程度的折疊.頻譜圖中，頻率數(shù)量增加使拍振現(xiàn)象更為復(fù)雜.而通過圖5(g)、(h) 的Hilbert 包絡(luò)譜可以清晰地看出，拍振的頻率呈倍頻形式出現(xiàn)，表明此拍振現(xiàn)象是以多個周期相同的拍振周期組成，而其中最小拍振頻率0.0235，對應(yīng)拍振最大周期42.對肋板1 來說，最大拍振周期內(nèi)存在7 個小周期，因此幅值最大的頻率為對應(yīng)最大周期的頻率0.0235 和0.0235 的7 倍頻；對肋板2 來說，最大拍振周期內(nèi)存在3 個小周期，因此幅值最大的頻率是0.0235 和0.0235 的3 倍頻.同時，由于肋板2 一個大周期內(nèi)的三個小周期幅值比較接近，使其包絡(luò)線周期明顯，因此0.0235 的三倍頻幅值最大.Hilbert 包絡(luò)譜中，還存在一些更高倍數(shù)的頻率，這些頻率的出現(xiàn)主要是因為在每一小拍中并非是均勻嚴(yán)格的拍振形式，其最大振幅的波動使Hilbert 包絡(luò)譜中出現(xiàn)更小的周期.這些倍頻說明，拍振最大周期42 同樣是幅值波動周期的整數(shù)倍.

圖5 激勵幅值為0.67 結(jié)構(gòu)非對稱系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時間歷程圖；(b) 肋板2 時間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e)肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 5 With an excitation amplitude of 0.67, the asymmetric-structure system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2; (c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

當(dāng)系統(tǒng)的激勵幅值增加到0.72 時，系統(tǒng)響應(yīng)如圖6 所示.從時間歷程來看，響應(yīng)仍具有拍的特征，但拍已不具備周期性.由圖6(c)、(d)可以看出，系統(tǒng)已處于混沌狀態(tài)，Poincaré截面中成片的點狀區(qū)域是在圖5(c)、(d)Poincaré截面閉合曲線形狀基礎(chǔ)上形成的.由此，可初步推斷該混沌行為是激勵幅值Y=0.67 時的概周期解經(jīng)過環(huán)面分岔而形成.從Hilbert 包絡(luò)譜上看到存在0.035 和0.07，對應(yīng)周期為14.28 和28.57 的拍振現(xiàn)象，而肋板1 的響應(yīng)中存在很多小拍，是因其Hilbert 包絡(luò)譜中還有更高頻的主要成分.

圖6 激勵幅值為0.72 結(jié)構(gòu)非對稱系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時間歷程圖；(b) 肋板2 時間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e)肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 6 With an excitation amplitude of 0.72, the asymmetric-structure system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2; (c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

激勵幅值繼續(xù)增加，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)歷從混沌到概周期，再到周期的多次轉(zhuǎn)換，特別是在激勵幅值Y為2.59 到2.68 時，呈現(xiàn)復(fù)雜周期現(xiàn)象.圖7 給出了Y=2.66 時的計算結(jié)果.時間歷程拍振現(xiàn)象明顯，周期性較強.Poincaré截面出現(xiàn)了接近點狀的多點分布圖形，說明拍振基頻與主振頻率之間接近倍數(shù)關(guān)系.由圖7(g)可知拍振基頻為0.0625，與主振頻率的比值為16，與Poincaré截面圖中的點數(shù)相同.與其他響應(yīng)情況相比，復(fù)雜周期響應(yīng)的拍振頻率略高，說明拍振周期更小，以五個小拍為一個大拍周期.

圖7 激勵幅值為2.66 結(jié)構(gòu)非對稱系統(tǒng)的響應(yīng)：(a) 肋板1 時間歷程圖；(b) 肋板2 時間歷程圖；(c) 肋板1 Poincaré截面圖；(d) 肋板2 Poincaré截面圖；(e) 肋板1 頻譜圖；(f) 肋板2 頻譜圖；(g) 肋板1 Hilbert 包絡(luò)譜；(h) 肋板2 Hilbert 包絡(luò)譜Fig. 7 With an excitation amplitude of 2.66, the asymmetric-structure system responses: (a) the time history diagram of rib 1; (b) the time history diagram of rib 2; (c) the Poincaré section diagram of rib 1; (d) the Poincaré section diagram of rib 2; (e) the spectrum diagram of rib 1; (f) the spectrum diagram of rib 2; (g) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 1; (h) the Hilbert envelope spectrum diagram of rib 2

4 結(jié) 論

圓形太陽翼中包含了一種特殊的張力單元以調(diào)節(jié)其內(nèi)部張力，該單元由繩和彈簧組合成為X 形構(gòu)型，其力學(xué)特性具有強非線性特征.為研究此類張力單元的影響，本文給出了包含張力單元的雙懸臂梁力學(xué)機理模型，導(dǎo)出了其動力學(xué)方程，通過頻譜、Hilbert 包絡(luò)譜和Poincaré截面等手段重點分析了系統(tǒng)中存在的拍振現(xiàn)象.

1) 拍振現(xiàn)象是由張力非線性引起，在位移激勵和張力彈簧的作用下肋板的頻譜圖出現(xiàn)多個間隔相等的頻率，而兩肋板固有頻率的區(qū)別使其出現(xiàn)特點不同的拍振現(xiàn)象.

2) 雖然兩肋板受到激勵相同，因其截面積不同導(dǎo)致其拍振行為有較大差別.拍振過程中肋板1 的幅值會有較大變化但不會變?yōu)榱?，而肋? 的幅值通常會變小到零.

3) 激勵幅值變化時，系統(tǒng)存在不同拍振行為，可能是概周期、多倍周期或混沌三種類型之一，并且都有大拍中套小拍的現(xiàn)象.

4) 對拍振行為，Hilbert 包絡(luò)譜比頻譜更直觀，對概周期以及多倍周期的拍振現(xiàn)象，可由Hilbert 包絡(luò)譜的基頻得到響應(yīng)波形變化的頻率和周期，而基頻與倍頻成分對應(yīng)譜線的相對高低，則與大拍中包含的小拍特征是否明顯有關(guān).

參考文獻(xiàn)（ References ） ：

［1］周 志清, 吳躍民, 王舉, 等. 圓形太陽翼發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢[J]. 航天器工程, 2015, 24（6）: 116-122. （ZHOU Zhiqing,WU Yuemin, WANG Ju, et al. Development and trend of circular solar array[J].Spacecraft Engineering, 2015,24（6）: 116-122.（in Chinese））

［2］溫 登哲, 陳予恕. 機動飛行時航空發(fā)動機的雙轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究綜述[C]//中國振動工程學(xué)會, 中國力學(xué)學(xué)會. 第十三屆全國非線性振動暨第十屆全國非線性動力學(xué)和運動穩(wěn)定性學(xué)術(shù)會議摘要集. 2011: 6. （WEN Dengzhe, CHEN Yushu. A review of the research on two-rotor dynamics of aeroengines in maneuvering flight[C]//Chinese Society of Vibration Engineering, The Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics. Proceedings of the 10th International Conference on Nonlinear Dynamics and Motion Stability. 2011: 6. （in Chinese））

［3］陳 茉莉, 李舜酩, 溫衛(wèi)東, 等. 多源拍振分析方法與試驗[J]. 振動、測試與診斷, 2011, 31（2）: 202-206, 267. （CHEN Moli, LI Shunming, WEN Weidong, et al. Analysis and experiment on multi-source beat vibration[J].Journal of Vibration,Measurement and Diagnosis, 2011, 31（2）: 202-206, 267.（in Chinese））

［4］廖 明夫, 于瀟, 王四季, 等. 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動[J]. 機械科學(xué)與技術(shù), 2013, 32（4）: 475-480. （LIAO Mingfu, YU Xiao,WANG Siji, et al. The vibration features of a twin spool rotor system[J].Mechanical Science and Technology forAerospace Engineering, 2013, 32（4）: 475-480.（in Chinese））

［5］韓 軍, 高德平, 胡絢, 等. 航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的拍振分析[J]. 航空學(xué)報, 2007, 28（6）: 1369-1373. （HAN Jun,GAO Deping, HU Xuan, et al. Research on beat vibration of dual-rotor for aero-engine[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2007, 28（6）: 1369-1373.（in Chinese））

［6］Z ENG S, WANG X X. Unbalance identification and field balancing of dual rotors system with slightly different rotating speeds[J].Journal of Sound and Vibration, 1999, 220（2）: 343-351.

［7］高 天. 機動飛行環(huán)境下航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)動力學(xué)特性研究[D]. 博士學(xué)位論文. 天津: 天津大學(xué), 2021. （GAO Tian. Research on transient dynamic characteristics of aeroengine rotor systems under maneuvering flight environment[D]. PhD Thesis. Tianjin: Tianjin University, 2021. （in Chinese））

［8］C AETANO E, CUNHA A, GATTULLI V, et al. Cable-deck dynamic interactions at the International Guadiana Bridge: onsite measurements and finite element modelling[J].Structural Control and Health Monitoring, 2008,15（3）: 237-264.

［9］孫 測世, 趙珧冰, 康厚軍, 等. 斜拉橋的多重內(nèi)共振及其耦合過程研究[J]. 振動與沖擊, 2018, 37（10）: 87-93. （SUN Ceshi, ZHAO Yaobing, KANG Houjun, et al. Multiple internal resonances and coupling process of cable-stayed bridge[J].Journal of Vibration and Shock, 2018, 37（10）: 87-93.（in Chinese））

［10］P ARK J, LEE J, AHN S, et al. Reduced ride comfort caused by beating idle vibrations in passenger vehicles[J].International Journal of Industrial Ergonomics, 2017, 57: 74-79.

［11］朱 劍濤, 劉晨, 朱位, 等. 星箭組合體主動段飛行中拍頻振動分析[C]//中國振動工程學(xué)會, 南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室. 第十二屆全國振動理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文集. 2017: 9. （ZHU Jiantao, LIU Chen,ZHU Wei, et al. Analysis of beat frequency vibration characteristics of active flight section of satellite-rocket combination[C]//Chinese Society of Vibration Engineering, State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics.Proceedings of the 12th National Conference on Vibration Theory and Application. 2017: 9. （in Chinese））

［12］練 繼建, 李成業(yè), 劉昉, 等. 環(huán)境激勵下二灘拱壩拍振機理的研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(3): 1-7. （LIAN Jijian, LI Chengye, LIU Fang, et al. Beat vibration of ertan arch dam under ambient excitation[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31（3）: 1-7. （in Chinese））

［13］Z HANG Junshi, CHEN Hualing. Voltage-induced beating vibration of a dielectric elastomer membrane[J].Nonlinear Dynamics, 2020, 100: 2225-2239.

［14］E NDO H, SUZUKI H. Beating vibration phenomenon of a very large floating structure[J].Journal of Marine Science and Technology, 2018, 23（3）: 662-677.

［15］K IM S H, LEE C W, LEE J M. Beat characteristics and beat maps of the King Seong-Deok Divine Bell[J].Journal of Sound and Vibration, 2005, 281（1/2）: 21-44.

［16］K IM S H, SOETEL W, LEE J M. Analysis of the beating response of bell type structures[J].Journal of Environmental Research, 1994, 173（4）: 517-536.

［17］高 輝, 徐龍祥. 主動磁懸浮軸承系統(tǒng)拍振現(xiàn)象分析[J]. 機械工程學(xué)報, 2011, 47（13）: 104-112. （GAO Hui, XU Longxiang. Analysis of beat vibration for active magnetic bearing system[J].Journal of Mechanical Engineering,2011, 47（13）: 104-112.（in Chinese））