例談圓的方程的三種求法

劉強

求圓的方程問題在解析幾何中比較常見，此類問題主要考查圓的定義、標(biāo)準方程、一般方程以及幾何性質(zhì).由于圓的方程為二元二次方程，所以求圓的方程的運算量通常比較大，如何簡化運算是求解此類問題的關(guān)鍵.本文主要介紹三種求圓的方程的方法，以期幫助同學(xué)們拓展解題的思路，提高解題的效率.

一、定義法

平面中到一個定點的距離為定值的點的集合為圓.在求圓的方程時，可以利用定義法，根據(jù)圓的定義來求解.首先根據(jù)已知條件確定圓的圓心和半徑，再求得圓心的坐標(biāo)和半徑的長度，便可根據(jù)圓的定義求得圓的標(biāo)準方程.

因為圓心為C（4，-1），

因此圓的方程為：（x-4）+（y+l）=10.

所以圓的方程為：（x-3）+（y+4）=5.

一般地，圓心到圓上的點的距離即為半徑.對于第一個問題，可以利用兩點之間的距離公式求得圓的半徑，再利用圓的定義求得圓的方程.定義法較為簡單，只需熟練掌握圓的定義和圓的標(biāo)準方程即可解題.

二、幾何性質(zhì)法

運用圓的幾何性質(zhì)法求圓的方程能有效地簡化運算.幾何性質(zhì)法通常適用于求解已知直線和圓、圓和圓之間的位置關(guān)系的問題.常用的圓的幾何性質(zhì)有：①圓心和切點的連線與切線垂直;②圓的半徑等于圓心到圓上點的距離;③圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線;④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧.運用幾何性質(zhì)法解題，需先明確直線和圓、圓和圓之間的位置關(guān)系;然后結(jié)合圖形來分析其幾何關(guān)系，進而確定圓心的坐標(biāo)和半徑;最后求得圓的標(biāo)準方程.

例2.求經(jīng)過點A（1，-1）和B（-1，1），且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程.

分析：題目中給出的信息較多，可根據(jù)題意畫出圖形，以明確點、直線、圓的位置關(guān)系，再根據(jù)圓心到與圓上兩點的距離等于半徑建立關(guān)系式，求得圓心的坐標(biāo)和半徑，就能順利求得圓的方程.

解：∵點C在直線x+y-2=0上，

∴設(shè)圓心為C的坐標(biāo)（a，2-a），

解得a=1，∴圓心C的坐標(biāo)為（1，1），

∴該圓的方程為（x-l）²+（y-l）=4.

三、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是求圓的方程的常用方法，待定系數(shù)法主要適用于求解已知圓上點的坐標(biāo)或者圓心的坐標(biāo)的問題.在解題時，需首先引入待定系數(shù)，設(shè)出圓的標(biāo)準方程或一般方程，然后將已知點的坐標(biāo)或圓心坐標(biāo)代入設(shè)出的方程中，建立關(guān)于系數(shù)的方程組，解方程組求得待定系數(shù)的值，即可求得圓的方程.

解：設(shè)圓的標(biāo)準方程為（x-a）+（y-b）=5，

因為點A，B在圓上，

所以A，B的坐標(biāo)也滿足方程（x-a）+（y-b）=5，

因此圓的方程為：（x-3）+（y-1）=5或（x-3）+（y+1）=5.

一般地，若已知圓的圓心坐標(biāo)、半徑、圓上的點，可設(shè)出圓的標(biāo)準方程;若已知圓上三個點的坐標(biāo)，可設(shè)出圓的一般方程，然后運用待定系數(shù)法求解.

雖然每種方法的適用情況各不相同，但無論采用哪種方法，都需根據(jù)圓的標(biāo)準方程和一般方程來求解，因此，同學(xué)們要熟練掌握圓的標(biāo)準方程和一般方程.而靈活運用圓的定義和性質(zhì)，有利于簡化運算，提升解題的效率.