如何從多個角度推導(dǎo)等差數(shù)列的前n頂和公式

王志剛 王倩

等差數(shù)列的前n項和公式是數(shù)列中的重要公式，且是解答數(shù)列問題的重要依據(jù).因此了解和熟悉等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)思路是很有必要的.

北師大版教材中給出了一個問題：（1）求1+2+3+…+100;（2）求1+2+3+…+n;（3）求a+a+a+…+a.高斯用首尾項配對的方式：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）求得問題（1）的答案.而問題（2）和（3），則需使用倒序相加法來求和.

通過研究，筆者得到了其他幾種推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的思路.

1.借助圖形進(jìn)行推導(dǎo)

對于公差為d的等差數(shù)列a，a，a，…，a，可構(gòu)造n（n+1）個邊長為d正方形，并將其接成長為nd，寬為（n+1）d的矩形，可得陰影部分的面積為：

2.運用函數(shù)與方程思想進(jìn)行推導(dǎo)

數(shù)列是一種特殊的函數(shù).將a=a+（n-1）d改成a=dn+（a-d），則該式是關(guān)于n的函數(shù).等差數(shù)列的前n項和可看作函數(shù)圖象與間隔點構(gòu)成矩形的面積之和.設(shè)等差數(shù)列前n項的和S=pn+qn+r，將a、a、a的具體取值代入，便得到關(guān)于p、q、r的三元方程組，解方程組即可得到S的表達(dá)式.

3.利用物理知識進(jìn)行推導(dǎo)