設(shè)而不求，提升解答圓錐曲線問題的效率

桂燕

設(shè)而不求法是解答高中數(shù)學(xué)圓錐曲線問題的常用方法之一.運用該方法解題，需根據(jù)題意，找到問題中所求目標(biāo)與已知條件之間的聯(lián)系，并設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如直線的斜率、方程、點的坐標(biāo)、曲線的方程等，然后將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解.下面談一談如何巧妙運用設(shè)而不求法求直線的方程以及求解定值問題.

一、求直線的方程

圓錐曲線問題中的求直線方程問題通常涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.采用設(shè)而不求法解答此類問題，需從直線與圓錐曲線的位置關(guān)系入手，根據(jù)其位置關(guān)系設(shè)出切點、交點的坐標(biāo)、直線、曲線的方程等，然后將其代入題設(shè)中進(jìn)行運算，得到直線的斜率、方程.

解：設(shè)弦所在的直線與橢圓交于A（x，y），B（x，y）兩點，

將x+x=4、y+y=2代入上式，

故所求直線方程式為x+2y-4=0.

解答本題主要采用了設(shè)而不求法，先根據(jù)直線與橢圓相交，設(shè)出兩個交點的坐標(biāo)，然后將其代入橢圓方程中，并作差，便可根據(jù)直線的斜率公式和中點坐標(biāo)公式得到弦所在直線的斜率、方程.

二、求解定值問題

圓錐曲線問題中的定值問題比較常見，但難度較大，一般要求根據(jù)題意求證直線恒過的定點、某條線段的長為定長、某兩個線段的比值為定值、某個代數(shù)式的值為定值等.在采用設(shè)而不求法解題時，可根據(jù)題意設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)、直線的方程、曲線的方程等，然后根據(jù)弦長公式、韋達(dá)定理、兩點間的距離公式、勾股定理、圓錐曲線的性質(zhì)等求得定值，或者得到與變量無關(guān)的式子.

得（9-16k）x+160kx-400k-144=0，

設(shè)點A（x，y），B（x，y），AB的中點N（x，y），

令y=0可得x=ky+x，

可見，采用設(shè)而不求法求解圓錐曲線問題，能有效減少運算量，提升解題的效率.而采用設(shè)而不求法解題的關(guān)鍵是設(shè)出合適的參數(shù)，用以表示出直線的方程、曲線的方程、目標(biāo)式.一般地，可根據(jù)題意設(shè)出與已

知條件、所求目標(biāo)關(guān)聯(lián)較多的變量，這樣便于將未知量與已知量關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)已知條件、定義、性質(zhì)、公式等求得目標(biāo)式，再通過消參或代換，達(dá)到解題的目的.