高等數(shù)學(xué)課程與Mathematica 軟件相結(jié)合的教學(xué)研究＊

周小燕，楊 惠，趙春艷，梁青青

（蘭州文理學(xué)院傳媒工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

高等數(shù)學(xué)這門課程是所有高等院校中很多專業(yè)要學(xué)習(xí)的一門基礎(chǔ)理論課程。尤其是對(duì)于理工科學(xué)生而言，更是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)和工具。比如對(duì)于學(xué)習(xí)物理與電子專業(yè)的學(xué)生而言，如果高等數(shù)學(xué)課程學(xué)不好，則會(huì)導(dǎo)致后續(xù)開設(shè)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)起來非常吃力，因此，可以說掌握好高等數(shù)學(xué)這門課程，就相當(dāng)學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)其他課程的有力工具。然而，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中有著大量復(fù)雜的計(jì)算和繁瑣的公式推導(dǎo)，使得部分學(xué)生在上課時(shí)感到非常枯燥，從而失去學(xué)習(xí)的興趣。同時(shí)，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性感到十分困惑，比如在計(jì)算二重或三重積分時(shí)，部分同學(xué)對(duì)于積分的上下限的取值難以理解，從而導(dǎo)致積分計(jì)算錯(cuò)誤。又比如，學(xué)生在計(jì)算積分的過程中，通常對(duì)于一些要積分的空間是糊里糊涂，從而導(dǎo)致積分結(jié)果的錯(cuò)誤。另外，傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，主要以邏輯推導(dǎo)和計(jì)算為主，上課時(shí)顯得枯燥，學(xué)生上課注意力稍不注意，就會(huì)跟不上老師的思路，從而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性受挫。因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有連貫性，上冊(cè)內(nèi)容是下冊(cè)的基礎(chǔ)，如果學(xué)生一開始就沒有扎實(shí)學(xué)習(xí)的話，那么下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)起來也是非常吃力，這樣會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

Mathematica 軟件是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)和與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于領(lǐng)先地位，它也是使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一[1]。自從1988 發(fā)布以來，它已經(jīng)對(duì)如何在科技和其他領(lǐng)域運(yùn)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了深刻的影響。它能完成計(jì)算器上的任何計(jì)算，不僅能做中小學(xué)數(shù)學(xué)，對(duì)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)題目大部分也是能做，比如對(duì)于積分、求導(dǎo)、繪圖等，該軟件都是可以實(shí)現(xiàn)。隨著計(jì)算機(jī)的普及以及生活條件的改善,當(dāng)代大學(xué)生中已有較多學(xué)生擁有了個(gè)人電腦。這樣，如果在個(gè)人電腦上安裝上Mathematica 軟件，就相當(dāng)于擁有了個(gè)人的多功能數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室。學(xué)生課后可通過軟件方便地實(shí)踐課堂上所學(xué)的知識(shí)，還可以對(duì)相似的問題進(jìn)行總結(jié)和歸納[2-3]。這樣不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，還能激發(fā)學(xué)生的興趣。

1 課堂教學(xué)中典型案例分析

1.1 一元函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)問題

在學(xué)習(xí)隱函數(shù)求導(dǎo)的過程中，很多同學(xué)都不明白隱函數(shù)表達(dá)式具體的含義，也就是說函數(shù)的因變量和自變量之間的函數(shù)關(guān)系不能明朗地表示出來，因而會(huì)導(dǎo)致在計(jì)算過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，而利用Mathematica 軟件可以很容易求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣也便于學(xué)生驗(yàn)證學(xué)生自己做的正確性，從而提高自信心。

1.2 傅里葉級(jí)數(shù)展開問題

在實(shí)際的問題中，常常會(huì)遇到非正弦的周期運(yùn)動(dòng)，它們反應(yīng)了更為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)。如電子技術(shù)中常見的周期為T 的矩形波，還有鋸齒波、三角波等。把一個(gè)周期的非正弦函數(shù)展開成正余弦函數(shù)的過程即是傅里葉級(jí)數(shù)的展開。但是，在具體的計(jì)算過程中，往往存在計(jì)算量大，公式多而導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的情況，從而對(duì)數(shù)學(xué)失去了興趣。但是用Mathematica 軟件卻能很快的計(jì)算出來，并且對(duì)學(xué)生而言，可以來驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。比如設(shè)f（x）是周期為4 的周期函數(shù)，它在[-π，π]上的表達(dá)式為f（x）=，將f（x）展開成傅里葉級(jí)數(shù)。同樣的，可以在軟件的“工作窗口”中輸入相應(yīng)的程序，就可以求出周期為4 的方波函數(shù)的相對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)展開形式，具體結(jié)果如下：

同時(shí)，為了能更加清楚地讓同學(xué)們理解函數(shù)的圖形，畫出了32 項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)的圖形，如圖1 所示。

圖1 周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)展開

從圖1 可以明顯看到32 項(xiàng)展開非常接近方波。通過這道例題，學(xué)生只需改變相應(yīng)的參數(shù)，就可以得出任意項(xiàng)的展開式。并且能很快得出相應(yīng)的圖形，這樣可以使學(xué)生更加直觀的理解。

1.3 求多變量函數(shù)的極限問題

極限的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中一類非常重要的計(jì)算類型，尤其是剛開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)，總感覺極限的概念非常難以理解，更不用說求解某個(gè)函數(shù)表達(dá)式的極限了，尤其是二元函數(shù)的極限。比如求的極限。直接在Mathematica 軟件的“工作窗口”中輸入代碼，就可以計(jì)算得出極限為0。

1.4 二重定積分的計(jì)算問題

在講解積分計(jì)算的問題中，最讓學(xué)生困惑的是確定積分的上下限，積分的上下限如果確定好了，計(jì)算就相對(duì)容易了，比如求兩個(gè)底圓半徑都等于2的直交圓柱面所圍成的立體的體積。在計(jì)算的過程中，設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為：

計(jì)算這道積分的關(guān)鍵其實(shí)就是知道如何確定積分的上下限，及明確積分區(qū)域，很多同學(xué)的空間想象能力欠缺，很難畫出要積分空間，甚至有些題目就根本畫不出來，只能通過函數(shù)表達(dá)式來確定，從而導(dǎo)致在計(jì)算過程中積分的計(jì)算失誤，但是利用Mathematica 軟件可畫出相應(yīng)的圖形，如圖2 所示。

圖2 兩個(gè)互相垂直的圓柱面的立體圖

因?yàn)閮蓚€(gè)直角圓柱所圍成的公共立體的體積具有對(duì)稱性，所以只要算出第一卦限的即可，為了顯示方便，也可以利用Mathematica 軟件畫出第一卦限的圖形，如圖3 所示。

圖3 第一卦限兩垂直圓柱相交所形成的圖形

從圖3 中可以很明顯地看出所求立體在第一卦限部分可以看成一個(gè)曲頂柱體，它的底為：

所以得出了積分表達(dá)式為：

2 在教學(xué)中利用Mathematica 的優(yōu)點(diǎn)

2.1 Mathematica 軟件強(qiáng)大的作圖功能，將抽象數(shù)學(xué)演變?yōu)榫唧w圖像

Mathematica 軟件是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)和與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于領(lǐng)先地位，它也是使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一。雖然目前有很多軟件如Excel-Spss等也可以做一些比較簡(jiǎn)單的圖形，但在具體運(yùn)用中其功能存在局限性，尤其在針對(duì)高等數(shù)學(xué)等比較高層次專業(yè)領(lǐng)域的學(xué)科研究使用中，要將抽象的數(shù)學(xué)概念、公式等通過具體圖像、圖形表現(xiàn)出來，就必須使用如Mathematica 軟件，其做出的圖形更具體也更形象，實(shí)現(xiàn)了從抽象到具體的轉(zhuǎn)變，更有利于開展科學(xué)研究。

2.2 數(shù)形結(jié)合，有助于提高學(xué)生的理解能力

高等數(shù)學(xué)課程中有很大一部分內(nèi)容是基礎(chǔ)的理論知識(shí)，比如大量的概念、諸多的定理、還有很多要記憶和能熟練應(yīng)用的公式等，學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容的理解程度將直接影響其學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的效果，同時(shí)也間接地影響了后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)是工具和基礎(chǔ)。然而這些理論知識(shí)往往是比較抽象的，學(xué)生感到枯燥，從而產(chǎn)生厭煩的情緒。而Mathematica 軟件的計(jì)算和繪圖能力有助于教師將這些枯燥的內(nèi)容形象化、具體化、生動(dòng)化。

2.3 Mathematica 軟件強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，輔助教學(xué)過程

高等數(shù)學(xué)課程中一些問題的解決需要學(xué)生在課堂上通過比較繁雜的計(jì)算來完成，比如在講解二階混合偏導(dǎo)的計(jì)算時(shí)，有時(shí)一道例題往往用二三十分鐘，對(duì)于這種情況教師只能將計(jì)算原理、過程、步驟結(jié)果一一講述到黑板上，教學(xué)形式死板、枯燥，計(jì)算過程嚴(yán)密性、邏輯性非常強(qiáng)，稍有不慎，就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，從而要求學(xué)生也要注意力非常集中，因而學(xué)生往往感到難度很大，這樣不但浪費(fèi)大量的教學(xué)時(shí)間，而且由于學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果也大打折扣，并且在課堂中由于教學(xué)時(shí)間有限，教師在課堂上并不能給學(xué)生提供充分的時(shí)間來計(jì)算練習(xí)，這樣只能靠學(xué)生下來自己做練習(xí)，那么就有一部分學(xué)生由于計(jì)算能力不強(qiáng)或者偷懶等原因不去計(jì)算，而該軟件具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，可以完成在解決問題中出現(xiàn)的復(fù)雜計(jì)算，同時(shí)學(xué)生會(huì)被軟件所吸引，學(xué)習(xí)興趣也會(huì)被喚起[4]。

2.4 Mathematica 軟件為解決具體問題提供實(shí)踐條件

高等數(shù)學(xué)中有時(shí)一個(gè)問題可能有好幾種解決的方法，這些方法中存在著各種聯(lián)系和區(qū)別，每一種方法都有優(yōu)缺點(diǎn)，那么到底用哪一種方法最簡(jiǎn)便，回答這些問題最簡(jiǎn)單的方法是將這些方法都列出來，給學(xué)生們一一講解，但是，在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，這些計(jì)算都將耗費(fèi)很多的時(shí)間，那么借助Mathematica軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力及其超強(qiáng)的繪圖能力就可以展示給學(xué)生比較多的計(jì)算方法，這樣有助于拓寬學(xué)生的解題思路，開闊學(xué)生的知識(shí)視野，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.5 Mathematica 軟件幫助學(xué)生建立第二課堂，有助于課后復(fù)習(xí)和歸納

在個(gè)人電腦上安裝上Mathematica 軟件，就相當(dāng)于擁有了個(gè)人的多功能數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室和第二課堂[5]。學(xué)生課后可通過軟件方便地實(shí)踐課堂上所學(xué)的知識(shí)，還可以對(duì)相似的問題進(jìn)行總結(jié)和歸納，最大程度利用教學(xué)資源和軟件資源，這樣不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，還能激發(fā)學(xué)生的興趣。

3 結(jié)論

通過用Mathematica 軟件對(duì)高等數(shù)學(xué)中的隱函數(shù)求導(dǎo)、傅里葉級(jí)數(shù)的展開、多變量函數(shù)的極限、積分的計(jì)算及其三維圖形的畫法等進(jìn)行了深入的研究，這種研究探索對(duì)于教師教學(xué)過程以及學(xué)生學(xué)習(xí)過程是非常有益的。通過編程及其作圖，把所得結(jié)果可以直觀呈現(xiàn)給學(xué)生，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，提高課堂效率。Mathematica 軟件數(shù)值能力強(qiáng)大，可以做出很多的圖像，給學(xué)生的直觀感受，并且可以完成在實(shí)際計(jì)算中難以完成的計(jì)算，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)用前景是非常廣闊的。