引導學生學會編題 構建深度學習課堂

201106 上海外國語大學閔行外國語中學 葉慧勤

高中新課程、新教材的改革堅持“以學生發(fā)展為本”的教育理念，該理念強調學生在教學中的主體性、參與性.數(shù)學家波利亞說：“問題是數(shù)學的心臟.”問題的研究就是數(shù)學研究的核心內容，正如康托爾所說：“‘提出問題’的重要性遠比‘解答問題’的重要性高.”根據(jù)建構主義理論，學習的主動性是掌握知識的一個重要的前提條件，可見，激發(fā)學生的數(shù)學學習動機是非常重要的.充分利用數(shù)學問題讓學生參與到數(shù)學習題的編制過程中，能夠調動學生學習數(shù)學的積極性、主動性，從而激發(fā)學生高質量完成學習任務的動機，可以讓學生從學習準備到學習過程再到學習反饋各個環(huán)節(jié)都能積極能動地進行，使學生在數(shù)學學習過程中真正達到高效學習的狀態(tài).

引導學生進行編題也可以培養(yǎng)他們深度學習的習慣.深度學習是一個動態(tài)的學習過程，需要不斷總結規(guī)律，發(fā)現(xiàn)關鍵特征，由此發(fā)現(xiàn)問題的本源，把握問題的本質.引導學生發(fā)掘編題的樂趣，與學生一起探究編題策略是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力的有效做法.學生參與編題就是在數(shù)學學習過程中，根據(jù)所學的概念、公式、法則、方法的理解，在給出某個數(shù)學對象(如數(shù)字、圖表等)的基礎上，進行再加工、再創(chuàng)造，用文字語言進行數(shù)學建模，編擬數(shù)學問題.在這樣的學習過程中，教師引導學生善于把握數(shù)學問題本質，實現(xiàn)知識的有效建構，學會從數(shù)學角度思考問題，這種深度學習讓學生感受數(shù)學魅力，教師與學生一起合作探究，在編題策略視角下，構建數(shù)學深度學習課堂.

筆者在高三教學中嘗試設計了引導學生編題的兩節(jié)單元系列課，遵循“以學生為主體，教師是數(shù)學課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，教師在教學中采用啟發(fā)式教學法，學生采用探究式學習法，在教師引領下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與，體驗探究之旅.

一、 創(chuàng)設導學情境，促進自主發(fā)展

創(chuàng)設質疑的問題情境，引導學生在模仿中編題.筆者在一節(jié)數(shù)列復習課上進行了探究式編題教學的初探，學生思維的廣度和創(chuàng)造力超出筆者的想象.在復習完等差數(shù)列的通項和性質后，筆者引導學生根據(jù)等差數(shù)列的定義和遞推關系，變差為和，即“若在一個數(shù)列中，如果從第二項開始，每項與它前一項的和都為同一個常數(shù)”，學生將其自定義為“等和數(shù)列”.這樣的“等和數(shù)列”具備怎樣的性質？提出質疑后，學生模仿等差數(shù)列，自編了如下一道題.

學生模仿等差數(shù)列的概念變差為和，自定義出“等和數(shù)列”，用研究等差數(shù)列的方法研究出“等和數(shù)列”的規(guī)律，還有學生自發(fā)將“求通項an”改為“求前n項和Sn”.在筆者的引導下，學生自編自解，參與課堂教學的主動性和積極性被調動了起來.課堂進行到這里，筆者預設會有學生主動類比等比數(shù)列的特征，變比為積，自定義“等積數(shù)列”，果然有學生自編了如下題目.

在這節(jié)課中，有三個小組的創(chuàng)造力超出筆者的想象.

小組1

學生的總結如下.

小組1成員從特殊解題方法推廣到一般規(guī)律，學生邊思考邊歸納，探究問題的本質.

小組2

生1：若滿足遞推關系an-1+an=an+1(n≥2,n∈N*), 即an+an-1不是常數(shù)，如何解決？

生2：這是一個二階遞推關系，需要已知前兩項的值才能將這個數(shù)列確定下來，以如下題目為例.

此時已有很多學生對斐波那契數(shù)列產生興趣，筆者馬上布置了一項探究性作業(yè)，請學生探究斐波那契數(shù)列在金融、藝術、美學、生物、科技等領域的運用，以小組為單位整理成調查報告.學習小組2的成員不僅將所學內容進行遷移，同時學以致用，在生活中體會數(shù)學思維之美.

小組3

小組3在生1提出的遞推關系上進行改編.

馬上有學生用“等和數(shù)列”的研究方法枚舉并證明an是周期為6的數(shù)列，其中前6項為1,1,0,-1,-1,0.

這節(jié)課進行到此，學生的學習熱情和積極性已達到飽和.學生在模仿中編題，不僅填補了對數(shù)學知識的理解漏洞，也在改編過程中體悟到研究問題的一般方法，獲得成長與成功的體驗，增強數(shù)學學習的信心與興趣.這種自主教育是以“生趣”為導向的自主發(fā)展，筆者引領學生開始感受數(shù)學深度學習的樂趣.

二、創(chuàng)設樂學情境，促進深度學習

創(chuàng)設真實情境，以優(yōu)質主問題驅動，讓學生樂學善思、悟學省思.筆者在復習數(shù)列章節(jié)時嘗試了探究式編題教學后，又進行了第二次嘗試，設計的數(shù)學學習活動從“解題”走向“解決問題”.高中數(shù)學教學中有許多可以運用類比法進行變式的知識點，如由等差數(shù)列類比到等比數(shù)列、由橢圓類比到雙曲線、由特殊類比到一般、由平面圖形類比到立體圖形等.教師可以引領學生通過類比現(xiàn)有問題進行整理歸納，從而推廣出合理的新問題.相對于解題而言，學生參與編題實際操作難度更大一些，更需要舉一反三、模擬創(chuàng)新的能力.教師可引導學生運用類比法、等價變換法、只換條件、只換結論、條件結論都換、條件結論互換、弱化條件、強化條件等方法進行編題.

筆者在第一課時結束時羅列了涉及函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、向量、立體幾何等章節(jié)的適合改編的五道例題，讓學生利用小組合作的學習方式，對選中的例題進行改編，學生亦可自己選擇合適的題目進行改編.在第二課時，學生從“解題”走向“解決問題”，解決問題的過程就是主動探究事物本質、體會數(shù)學建模的過程.筆者從小組提出的改編方案中選出一個作為第二課時教學內容，真正實現(xiàn)教學內容從學生中來回到學生中進行探究解決的教學路徑.

筆者通過不同章節(jié)的課堂讓學生體驗編題的樂趣，體會探究問題本質的成功感，學生通過變式讓同一事物呈現(xiàn)多樣性，進而找出事物的本質特征.原題由筆者提供，課前筆者與學習小組的五位學生一起討論，迸發(fā)思維的火花，學生通過改變敘述角度、改變解題視角、改變設問方向、創(chuàng)設變靜為動的問題情境等策略對例題進行改編.

原題已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b, 存在實數(shù)x0, 且有|x0|≥3, 使得f(x0)=0, 則a2+b2的最小值是________.

生3的解法不同于常規(guī)的直接法，他的解題視角是分析轉換法，將關于x的一元二次方程轉換成關于變量(a,b)的直線l.生3通過此轉換，換一個角度解決問題，另辟蹊徑，將繁復冗長的解題思路變得簡潔明了，具體思路如下.

在筆者的引導下，生4小試牛刀，改變敘述角度編題，盡管闡述方式不同，但本質不變，所以此類改編對解題過程沒有影響.

編題2.1已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，函數(shù)f(x)在(-∞,-3]∪[3,+∞)上存在零點，則a2+b2的最小值是________.

生4改編的此題只要從函數(shù)零點的概念入手，就可以得到原題的條件，答案不變，這是用等價變換法編題.

生5的改編幅度更大一些，改變了設問方向，他改編的題目如下.

編題2.2已知條件不變，則a2+4b2的最小值是________.

生5改編的編題2.2的解題思路與原題中生3解題思路涉及的方法都是分析轉化法，即將方程看成關于過點(a,b)的直線l或過點(a,2b)的直線l1的方程，所求問題轉化為原點到直線l或l1距離的平方的最值問題，從而達到消元的目的.編題2.2改變問題的設問方向，只是將原題中變量為(a,b)的直線l轉化成變量為(a,2b)的直線l1.

教師總結1：正因生3、生5發(fā)現(xiàn)了此類題解法的本質，才能通過解題思路和規(guī)律來建構編題2.2的條件，這展現(xiàn)出他們思維的廣闊性和深刻性.

生6和生7的改編方向是創(chuàng)設變靜為動的問題情境.

生6改編得到的題目如下.

編題2.3已知條件不變，則a2+(b-3)2的最小值是________.

生7改編得到的題目如下.

編題2.4已知函數(shù)f(x)=x2+ax+(b-3), 存在實數(shù)x0, 且有|x0|≥3, 使得f(x0)=0, 則a2+(b-3)2的最小值是________.

生6是將結論“求a2+b2”改編成“求a2+(b-3)2”,若設點A(a,b),生6在生3解題思路基礎上將原點O(0,0)向上平移至P(0,3),則問題轉換為P(0,3)到直線l:x·a+1·b+x2=0的距離的平方,接下來的解法類似于生3.

教師總結2：生6、生7用“形”改編好題目后，不僅能用“形”來解決，亦可用“數(shù)”來解決，變靜態(tài)為動態(tài)，以基本圖像為“基準點”，通過基本圖形的運動將問題轉換成更一般的問題，開闊解決問題的視野，發(fā)現(xiàn)問題的本質.在原題基礎上，生6、生7化靜為動進行自編自答的過程，已經從繁復的具體事物中抽象出事物的本質.同學們運用編題策略進行改編的學習狀態(tài)遠遠超出預設教學目標，這才是真正的學以致用、活學活用.

筆者設計的上述兩節(jié)課，第一節(jié)課是設計好教學流程，通過類比等手段使學生在熟悉的等差、等比數(shù)列上進行模仿編題.第二節(jié)課是學生小組成員從筆者上節(jié)課結束時所給的例題中選出一題進行改編，通過交流的方式展示不同學生的想法.等價變換法、只換結論、條件結論都換、變靜為動這四種改編形式的運用體現(xiàn)學生由淺入深、由靜態(tài)到動態(tài)的探究過程.學生深度學習的效果遠遠超出筆者的想象，學生親歷探究過程，自編自答，通過弱化條件實現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，從而歸納出問題的一般解決規(guī)律.學生積極主動地進行有效思考，探究問題的本質，真正實現(xiàn)從“解題”到“解決問題”的轉變.

這兩節(jié)課是以“生趣”為導向的自主發(fā)展系列課程，實踐證明，筆者設計合理有效、層層推進的教學情境，運用小組合作的方式既調動學生的好奇心和探究積極性，又促進學生形成良好的數(shù)學思維能力，表達自身的見解和看法.筆者將整個學習內容、學習進程都置于情境之中，引發(fā)學生思考和探究的欲望，率先激活學生的學習主動性，逐步培育學生的抽象思維和邏輯思維，達到深度學習的效果.

以往教師習慣呈現(xiàn)給學生的數(shù)學問題往往是封閉式的結構良好問題，條件不多也不少，答案唯一且確定，這樣會讓學生囿于定向思維，囿于解決常規(guī)的、程式化的數(shù)學問題，不善于解決復雜的、開放性的真實問題.這兩節(jié)編題課讓學生完整經歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題—通過改編發(fā)現(xiàn)新思維—解決更廣泛的一類問題—發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和問題本質”，這樣的深度探究學習過程適當引入具有開放性的結構不良問題，引導學生全面、客觀、辯證地分析解決問題，不斷發(fā)展學生的實踐性反思、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維能力.

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不變也.”這句話強調的就是深度探究、深刻理解的重要性.越是上位的思維越貼近問題的本質，遷移性越寬廣.更重要的是學生的潛力是巨大的，例如第二節(jié)課中學生小組成員的創(chuàng)造力遠遠超乎想象.通過引導學生編擬數(shù)學問題，這種動態(tài)生成的課堂把問題引向深入的研究過程，這是從一個簡單的問題出發(fā)逐步演繹、深化的過程，是學生主動探究創(chuàng)新的過程.學生通過小組合作編題講題，不僅在曼妙的演變中體會學習數(shù)學的快樂，促進知識理解，同時深度探究數(shù)學問題本質，發(fā)掘其隱含的數(shù)學思想.教師通過探究式編題教學構建數(shù)學深度學習課堂，在學生自編、自解、自講的過程中，其數(shù)學核心素養(yǎng)也得到培養(yǎng)和提高，這樣的課堂才是學生自我生長、指向深度學習的課堂.