“雙新”背景下數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)初探
——以“醫(yī)院推床通道的寬度研究”為例

200137 上海市高橋中學(xué) 朱詠梅 楊晨昊

一、 教學(xué)設(shè)計(jì)說明

(一)教材分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)明確指出必修課程包括五個(gè)主題，分別是預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

.

課標(biāo)在主題二“函數(shù)”的教學(xué)提示中提到，函數(shù)應(yīng)用不僅體現(xiàn)在用函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題，更重要的是用函數(shù)解決實(shí)際問題

.

在函數(shù)單元的學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生理解函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程；運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題和解決問題

.

《上海市數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求》明確指出，在函數(shù)的單元教學(xué)中，應(yīng)把本單元的內(nèi)容視為一個(gè)整體，從具體的函數(shù)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從變量之間的依賴關(guān)系、實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖像的幾何直觀等角度整體認(rèn)識(shí)函數(shù)概念

.

通過梳理函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、最大(小)值等認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)

.

而數(shù)學(xué)建模正是學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型，探究并解決實(shí)際問題的應(yīng)用體驗(yàn)，有助于學(xué)生深刻感悟函數(shù)作為數(shù)學(xué)的語言和工具在解決實(shí)際問題中的重要作用

.

數(shù)學(xué)建模與教材必修一“5

.

3函數(shù)關(guān)系的建立”的側(cè)重點(diǎn)是不同的

.

函數(shù)關(guān)系的建立是對(duì)已經(jīng)數(shù)學(xué)化的問題，通過分析變量間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系，亦可著眼于在簡(jiǎn)單的生產(chǎn)、生活問題中建立相應(yīng)的函數(shù)模型

.

而數(shù)學(xué)建模是對(duì)某個(gè)現(xiàn)實(shí)問題經(jīng)過必要的簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)得到一個(gè)數(shù)學(xué)問題，將其稱為數(shù)學(xué)模型，再求解所得到的數(shù)學(xué)問題，根據(jù)實(shí)際情況驗(yàn)證該數(shù)學(xué)答案是否合理

.

在合理性得不到保證時(shí)，還要進(jìn)行反復(fù)迭代和修正模型

.

數(shù)學(xué)建模是從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，到賦予數(shù)學(xué)模型解答現(xiàn)實(shí)意義的完整過程

.

(二)教學(xué)內(nèi)容解析

本次建?；顒?dòng)是在滬教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修一第五章第三節(jié)“函數(shù)關(guān)系式的建立”教學(xué)之后進(jìn)行的，是參考必修四中“家具搬運(yùn)”的案例，重新創(chuàng)設(shè)的適合高一學(xué)生開展的一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)

.

本活動(dòng)共分為四課時(shí)，其中，第一課時(shí)、第四課時(shí)在課堂外進(jìn)行，本文重點(diǎn)探究第二課時(shí)、第三課時(shí)

.

第二課時(shí)：

現(xiàn)實(shí)帶來的思考是救治病人需要爭(zhēng)分奪秒，在最短時(shí)間內(nèi)通過病床把病人送到搶救室

.

因此，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，即醫(yī)院推床通道的寬度應(yīng)有嚴(yán)格的最低限度要求，進(jìn)而通過分析問題、建立轉(zhuǎn)角模型并求解模型得到答案、回到實(shí)際情境驗(yàn)證答案、直觀感受到答案與實(shí)際情形不相符，產(chǎn)生疑惑，發(fā)現(xiàn)需要再改進(jìn)模型

.

第三課時(shí)：

根據(jù)問題本質(zhì)，通過數(shù)據(jù)分析、逐步添加影響因素等方式，模型不斷完善，在模型不斷合理化的過程中提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力

.

(三)學(xué)情分析

1

.

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)具備了銳角三角比、函數(shù)的概念、性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性，最值)等知識(shí)，能對(duì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系

.

2

.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，包括將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，分析問題的本質(zhì)與影響因素，收集數(shù)據(jù)并合理分析運(yùn)用，建模、解模、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?yōu)化模型、再檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷饶芰?p>.

3

.

教學(xué)難點(diǎn)的突破策略通過教師引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生小組團(tuán)隊(duì)合作完成數(shù)學(xué)建模的完整過程，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件輔助直觀想象

.

二、 教學(xué)設(shè)計(jì)具體內(nèi)容

通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生逐步考察影響數(shù)學(xué)模型的相關(guān)因素(如圖1所示)

.

圖1

(一)教學(xué)過程

活動(dòng)1

創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

情境1

(播放視頻)搶救病人需要爭(zhēng)分奪秒，在推拉著病床迅速跑向搶救室的過程中，一路上要保證行進(jìn)的暢通、順利

.

因此，對(duì)于醫(yī)院通行推床的通道，其寬度的最低限度有嚴(yán)格的要求

.

問題1

如果由你來制定這個(gè)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為該通道寬度的最小值應(yīng)為多少？

設(shè)計(jì)意圖：

通過真實(shí)的情境引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其背后的數(shù)學(xué)問題，并能準(zhǔn)確表達(dá)

.

活動(dòng)2

分析問題本質(zhì)，考察相關(guān)因素

情境2

每個(gè)小組畫出病床在通道中運(yùn)動(dòng)的示意圖，小組展示交流，并考察問題的本質(zhì)和相關(guān)的因素

.

問題2

該問題的本質(zhì)是什么？在病床能轉(zhuǎn)過通道轉(zhuǎn)角的前提下，求解通道寬度的最小值

.

(因?yàn)椴〈驳膶挾纫欢ㄐ∮谕ǖ缹挾?，故不考慮病床的直線前進(jìn))這里的通道寬度指的是除去占用通道的物體后，實(shí)際可行的通道寬度，也就是通道凈寬的最小值(如圖2所示)

.

圖2

問題3

影響通道寬度的因素有哪些？由于病床的床面和地面平行，床的高度一定小于樓層高度，所以只需要研究病床在水平地面上的投影形成的平面幾何圖形即可

.

因此，有可能影響通道寬度的因素如圖3所示

.

圖3

問題4

如何處理這么多復(fù)雜的因素？提出合理的假設(shè)

.

1

.

通道的轉(zhuǎn)角是直角，因?yàn)橹苯寝D(zhuǎn)角是建筑通道中最多使用的轉(zhuǎn)角

.

2

.

轉(zhuǎn)角兩側(cè)的通道沒有任何占據(jù)通道的人或物，且通道兩側(cè)凈寬相同，記為

d.

3

.

病床的尺寸有嚴(yán)格的要求，為了研究的方便，用字母

l

表示其長(zhǎng)度，

h

表示其寬度

.

4

.

忽略運(yùn)動(dòng)過程中的所有摩擦

.

設(shè)計(jì)意圖：

通過一系列問題串，學(xué)生對(duì)從現(xiàn)實(shí)情境抽象出的數(shù)學(xué)問題的分析方式有了直觀的理解，為后續(xù)初步建模建立了基礎(chǔ)

.

活動(dòng)3

分析主要矛盾，合理簡(jiǎn)化模型

情境3

考察該問題背后的數(shù)學(xué)模型

.

問題5

既然影響問題的因素得到了合理簡(jiǎn)化，那么該問題所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型能否相應(yīng)得到簡(jiǎn)化？由于人能夠推動(dòng)病床前進(jìn)且?guī)椭〈岔樌D(zhuǎn)過通道轉(zhuǎn)角，故假設(shè)病床有自動(dòng)前進(jìn)、轉(zhuǎn)彎的功能，工作人員都在床的前方或者后方，這樣就能先忽略人對(duì)通道寬度的影響

.

此時(shí)，如圖4所示,通道寬度

d

就只與病床的長(zhǎng)

l

、寬

h

有關(guān)

.

圖4

情境4

利用幾何畫板觀察病床轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角的過程，感受通道寬度

d

只與病床的長(zhǎng)

l

、寬

h

之間有依賴關(guān)系

.

問題6

如何理解長(zhǎng)

l

、寬

h

的病床能夠轉(zhuǎn)過寬度

d

的通道？從運(yùn)動(dòng)過程(幾何畫板拖動(dòng)演示)可見，如果通道足夠?qū)?，那么床能順利轉(zhuǎn)彎(如圖5-1所示)

.

說明此時(shí)可以縮小通道的寬度，使得床的一邊抵在通道轉(zhuǎn)到的拐點(diǎn)(如圖5-2所示)

.

圖5-1圖5-2

圖5-3

而如果床的一邊抵住了點(diǎn)

O

，有時(shí)也會(huì)發(fā)生無法轉(zhuǎn)動(dòng)的情況(如圖5-3所示)

.

造成上述情況的原因是病床在運(yùn)動(dòng)中不會(huì)發(fā)生形變，不易想象病床抵住墻時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，且不知道通道寬度

d

與病床的長(zhǎng)

l

、寬

h

之間的關(guān)系，這給問題的解決造成了困難

.

換一個(gè)角度思考、想象一下，將病床置于一個(gè)長(zhǎng)寬都能在運(yùn)動(dòng)中伸縮自如的彈性矩形內(nèi)，這樣彈性矩形就可以抵住墻轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角，此時(shí)通道寬度和彈性矩形長(zhǎng)寬之間存在著某種依賴關(guān)系

.

圖6

問題7

通道寬度和彈性矩形長(zhǎng)寬之間的關(guān)系是一個(gè)多元變量函數(shù)，以目前的知識(shí)儲(chǔ)備無法解決這樣的問題，怎么辦？考慮控制變量，實(shí)現(xiàn)降維處理

.

如圖6所示,令彈性矩形

A

B

C

D

的寬度即為病床的寬度，

B

,

C

始終貼著通道外側(cè)的墻運(yùn)動(dòng)的情況下，結(jié)合動(dòng)畫軟件可知在

θ

變化的過程中，對(duì)任意給定的通道寬度

d

，線段

B

C

的長(zhǎng)度隨之變化并有最小值

.

對(duì)任意給定的通道寬度

d

，只要病床的長(zhǎng)度

l

小于等于

B

C

的最小值，病床就能轉(zhuǎn)過直角通道

.

設(shè)計(jì)意圖：

通過對(duì)所有相關(guān)因素的分析與簡(jiǎn)化，抓住影響問題的關(guān)鍵點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的簡(jiǎn)化，同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)多變量進(jìn)行控制變量是實(shí)現(xiàn)降維處理、化繁為簡(jiǎn)的有效手段

.

活動(dòng)4

模型初建與求解

轉(zhuǎn)角模型

推床轉(zhuǎn)彎的問題可以表述為如下數(shù)學(xué)問題

.

如圖7，已知

OM

與

PK

、

ON

與

PQ

分別平行且距離都是定值

d

，

OM

⊥

ON

，

PK

⊥

PQ

，矩形

A

B

C

D

的邊

A

D

通過點(diǎn)

O

，矩形的寬

A

B

=

h

(

h

為定值，且

h

<

d

)，∠

D

ON

=

θ

，求矩形的長(zhǎng)

l

′與角

θ

的函數(shù)關(guān)系

l

′=

f

(

θ

)，并求這個(gè)函數(shù)的最小值

.

圖7

過

A

作

EF

⊥

KP

，交

KP

于

E

，交

OM

于

F

，過

D

作

HG

⊥

PQ

，交

PQ

于

G

，交

ON

于

H

，則∠

A

B

E

=∠

C

D

G

=∠

OA

F

=∠

D

ON

=

θ.

顯然

l

′=

OA

+

OD

,在Rt△

A

EB

中，

A

E

=

h

sin

θ

，所以

A

F

=

d

-

h

sin

θ

，進(jìn)而在Rt△

OA

F

中，同理所以其中考慮到

d

>

h

，不妨設(shè)

d

=

th

(

t

>1)，于是有令

x

=sin

θ

+cos

θ

，則且則再令

u

=

tx

-1，則且從而上式變形為對(duì)于函數(shù)任取即在上嚴(yán)格遞增，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)因此，當(dāng)床的長(zhǎng)度時(shí)，能轉(zhuǎn)過兩側(cè)寬度為

d

的直角轉(zhuǎn)角，即通道凈寬

設(shè)計(jì)意圖：

通過對(duì)模型的初建和改進(jìn)，感悟初步建立模型并求解的意義在于得到極簡(jiǎn)情況下數(shù)學(xué)意義上的解，盡管這個(gè)結(jié)果與真實(shí)情形是有較大差距的，但它為后續(xù)的模型改進(jìn)提供了必要的基礎(chǔ)

.

活動(dòng)5

交流反思模型的解及其實(shí)際意義

情境5

對(duì)改進(jìn)后模型的解進(jìn)行分析

.

問題8

利用轉(zhuǎn)角模型的結(jié)論，結(jié)合病床的尺寸求解通道寬度的最小值，并思考這個(gè)結(jié)果的合理性

.

醫(yī)用病床基本尺寸應(yīng)符合不含床架的情況下，床面長(zhǎng)度為1900mm-2000mm，床面寬度為900mm-1000mm，且床欄的高度應(yīng)不小于350mm，長(zhǎng)度不小于800mm.

圖8

醫(yī)院病床最為常見的是ABS沖孔面手動(dòng)雙搖病床(如圖8所示)，其外形尺寸為2000mm×900mm×500mm(長(zhǎng)×寬×床面高)

.

因此若取

h

=1m，

l

=2m，則由得若取

h

=0

.

9m，

l

=2m，則由得

d

≈1

.

343m

.

由此提出問題：根據(jù)上述建模的結(jié)果，你能給出醫(yī)院通道寬度的最低限度嗎？(不能，還要考慮人的因素)

問題9

如何考慮人對(duì)通道寬度的影響？人的作用是幫助病床前進(jìn)、轉(zhuǎn)彎，其站位和體型都對(duì)通道寬度有影響

.

人的站位：(觀察視頻中醫(yī)護(hù)人員的站位)通常情況下，推床周圍有5名工作人員，其中4名分別站在床的兩側(cè)(陰影處)，還有1名在床尾推著床前進(jìn)(斜紋處)，其站位通常情況如圖9所示

.

人的體型：由于人的體型復(fù)雜，不易處理

.

為了研究的方便，這里對(duì)人體作簡(jiǎn)化處理，將人看成一個(gè)長(zhǎng)方體，假設(shè)人體寬為

w

，人體厚度為

k

，則其俯視圖是鄰邊為

w

,

k

的矩形(如圖10所示)

.

圖9圖10

提出問題:根據(jù)人的體型和站位，你能畫出工作人員推病床的俯視圖嗎？

該平面圖形的橫向最大寬度是床的寬度+兩人的寬度，縱向最大長(zhǎng)度是床的長(zhǎng)度+一步長(zhǎng)(如圖9所示)

.

問題10

如何選取人的體型數(shù)據(jù)？盡管床兩側(cè)的4名工作人員會(huì)有側(cè)身的情況，但前進(jìn)中大致上還是會(huì)保持身體朝前方的姿態(tài)，因此其俯視圖的寬度應(yīng)為人體最寬的部位

.

而人體最寬的部位是肩部，下面考察普通成年人的肩寬

.

根據(jù)《中國(guó)成年人人體尺寸(GB10000-88)》得到表1

.

表1

年齡分組項(xiàng)目男女男女差 男18歲-60歲,女18歲-55歲身高(mm)16781570108肩寬(mm)37535124最大肩寬(mm)43139734

說明：

肩寬指的是人兩肩峰之間的距離，最大肩寬指的是人上臂三角肌外側(cè)兩點(diǎn)間的距離，所以應(yīng)該用“最大肩寬”

.

該數(shù)據(jù)來自1986年我國(guó)人體基礎(chǔ)數(shù)據(jù)調(diào)查

.

時(shí)隔20多年，隨著人的生活水平不斷提高，越來越多的人重視運(yùn)動(dòng)健身，人的體型也發(fā)生了較大的變化

.

2013年11月27日，“中國(guó)成年人工效學(xué)基礎(chǔ)參數(shù)調(diào)查”正式啟動(dòng)，持續(xù)5年

.

而“國(guó)家人口健康科學(xué)數(shù)據(jù)中心人口健康科學(xué)數(shù)據(jù)倉儲(chǔ)PHDA”的網(wǎng)頁顯示，該調(diào)查數(shù)據(jù)將于2029年11月19日公開

.

因此，引入其他國(guó)家的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行參考，例如根據(jù)日本《size-JPN 2004-2006》得到表2.

表2

年齡(歲)身高(mm)肩寬(mm)最大肩寬(mm)男女男女男女20-241704158240335844940825-291710159040436046040730-341713158440635846640635-391710158540635946540740-441705157940436046541145-491697156240335946340650-5416911555399358459408

根據(jù)美國(guó)2010

Anthropometric

Survey

of

U.S.

Marine

Corps

Personnel

:

Methods

and

Summary

Statistics

節(jié)選得到表3

.

表3

年份項(xiàng)目女男男女差2010身高(cm)162.49175.3412.85肩寬(cm)35.8540.885.03最大肩寬(cm)44.1949.795.6

結(jié)合上述數(shù)據(jù)，考慮到亞洲人與歐美人的體型有較大差異，所以采用日本的數(shù)據(jù)，記推床的醫(yī)護(hù)人員的最大肩寬為0

.

466m

.

后兩名工作人員在奔跑中呈前傾姿勢(shì)，因此，其俯視圖是長(zhǎng)度為人最大肩寬

w

，寬度為手所扶的床沿到腳后跟的距離

k

′，取

k

′=0

.

9m

.

問題11

結(jié)合轉(zhuǎn)角模型的結(jié)果和人的相關(guān)數(shù)據(jù)，再次求解通道寬度的最小值，并思考此時(shí)能否為醫(yī)院推床通道定一個(gè)最低的寬度

.

如圖11，將人和病床置于矩形內(nèi)，若取床寬

h

=1m，則通過直角通道的矩形的長(zhǎng)度為

l

+

k

′=2

.

9m，寬度為

h

+2

w

=1+2×0

.

466=1

.

932m，則若取床寬

h

=0

.

9m，則

圖11

根據(jù)模型結(jié)論，考慮到行進(jìn)中的工作人員和墻之間會(huì)留有一定的空間，所以推床通道的凈寬不低于2

.

4m是合理的

.

這與《綜合醫(yī)院建筑設(shè)計(jì)規(guī)范》中的規(guī)定是吻合的

.

設(shè)計(jì)意圖：

在轉(zhuǎn)角模型的基礎(chǔ)上，增加先前為了簡(jiǎn)化模型而去掉的因素，還原模型的真實(shí)性，體會(huì)模型不斷改進(jìn)的必要性

.

同時(shí)在人體數(shù)據(jù)的收集和運(yùn)用中，讓學(xué)生感受到數(shù)據(jù)的來源必須是真實(shí)的，其運(yùn)用是有理有據(jù)的

.

情境6

關(guān)于模型的一些思考

.

問題12

如果兩側(cè)寬度相同的轉(zhuǎn)角是鈍角，通道的寬度的最小值會(huì)有所改變嗎？如圖12-1、圖12-2，在彈性矩形

A

B

C

D

轉(zhuǎn)彎的過程中，

B

C

的長(zhǎng)度在轉(zhuǎn)角的角平分線

OP

兩側(cè)呈對(duì)稱變化，所以只需考慮當(dāng)

B

C

垂直于轉(zhuǎn)角的角平分線

OP

時(shí)，彈性矩形轉(zhuǎn)出這個(gè)拐角的過程即可

.

圖12-1

圖12-2

當(dāng)

B

C

垂直于轉(zhuǎn)角的角平分線時(shí)，過

B

，

C

分別作

PB

，

PC

的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)

O

′

.

以

O

′為圓心，

O

′

O

和的長(zhǎng)度為半徑作出同心圓，當(dāng)彈性矩形

A

B

C

D

在同心圓通道內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，其形狀不會(huì)發(fā)生變化

.

說明：

若不然，當(dāng)為銳角時(shí)，

B

處無法左轉(zhuǎn)；當(dāng)為鈍角時(shí)，

C

處無法左轉(zhuǎn)，從而矩形無法前進(jìn)轉(zhuǎn)出，如圖13-1、圖13-2所示

.

圖13-1

圖13-2

由于同心圓中較大的圓與通道的外側(cè)

PB

，

PC

相切于

B

，

C

，因此當(dāng)彈性矩形

A

B

C

D

保持寬度

A

B

=

h

(病床寬度)不變，從垂直于角平分線

OP

起發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)并到達(dá)圖12-2中加粗位置時(shí)，此時(shí)

B

，

C

兩點(diǎn)處于通道內(nèi)

.

也就是說，一旦撤去同心圓軌道，

B

C

就會(huì)伸長(zhǎng)，使得

B

，

C

兩點(diǎn)抵住通道外側(cè)墻面，即彈性矩形

A

B

C

D

的長(zhǎng)

B

C

變大

.

從上述過程可知，如圖14，彈性矩形

A

B

C

D

垂直于角平分線

OP

時(shí)，

B

C

達(dá)到最小值，只要病床的長(zhǎng)度小于(

B

C

)時(shí)，病床就能通過該轉(zhuǎn)角

.

此時(shí)彈性矩形

A

B

C

D

即為病床俯視圖的矩形

ABCD

，

h

=1m,

l

=2m)

.

圖14

設(shè)轉(zhuǎn)角則代入

h

=1,

l

=2，得所以因?yàn)樗院瘮?shù)在上嚴(yán)格遞減，如圖15所示，即當(dāng)轉(zhuǎn)角通過規(guī)格統(tǒng)一的病床時(shí)，

α

越大時(shí)，通道所需的凈寬就越小，由此也說明了通道凈寬的最小值應(yīng)該按照直角通道來進(jìn)行設(shè)計(jì)

.

圖15

設(shè)計(jì)意圖：

改變轉(zhuǎn)角角度即是對(duì)合理簡(jiǎn)化后條件做出的改進(jìn)，也是讓學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)不同因素對(duì)通道寬度的影響，同時(shí)這些結(jié)論也能再次解釋《綜合醫(yī)院建筑設(shè)計(jì)規(guī)范》中通道凈寬最小值的合理性

.

由此，還可以將其推廣到其他建筑類型中，即在滿足相關(guān)建筑行業(yè)規(guī)范的前提下，設(shè)計(jì)不同的、既實(shí)用又美觀的通道

.

問題13

如果(直角)轉(zhuǎn)角兩側(cè)的過道的寬度不同，從窄的過道轉(zhuǎn)進(jìn)寬的過道，或者從寬的過道轉(zhuǎn)進(jìn)窄的過道，情況會(huì)有什么不同？“寬進(jìn)窄出”和“窄進(jìn)寬出”是運(yùn)動(dòng)相反的兩個(gè)過程，所以只需考慮其中一種即可，下面說明窄進(jìn)寬出

.

設(shè)窄側(cè)通道寬度為

b

，寬側(cè)通道寬度為

a

(

a

>

b

)，如圖在

θ

變化中的任意時(shí)刻都有

圖16

而兩側(cè)等寬的直角通道的寬度最小值已經(jīng)在之前的模型中解決了，從而說明當(dāng)通道兩側(cè)寬度不同時(shí)，所能通過的病床的最大長(zhǎng)度，一定大于通道兩側(cè)等寬時(shí)的病床的最大長(zhǎng)度

.

因此，當(dāng)窄側(cè)通道的寬度達(dá)到《綜合醫(yī)院建筑設(shè)計(jì)規(guī)范》中要求的2

.

4m時(shí)，就能保證病床能順利通過兩側(cè)寬度不同的直角通道

.

設(shè)計(jì)意圖：

改變轉(zhuǎn)角兩側(cè)的通道寬度有兩方面的需求

.

一是改變初步建模時(shí)設(shè)置的通道兩側(cè)等寬的條件，以觀察這種情況對(duì)模型結(jié)果的影響

.

二是這個(gè)病床轉(zhuǎn)彎的模型還有其他可以應(yīng)用的意義，如停車場(chǎng)中的車道并非都是等寬的

.

因此，根據(jù)此模型的解可知，在設(shè)計(jì)兩側(cè)不等寬的直角通道時(shí)，窄側(cè)通道需達(dá)到相應(yīng)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)

.

問題14

經(jīng)過本次建模活動(dòng)，你還能對(duì)模型作出其他改進(jìn)嗎？你還能從其他角度來建模嗎？你覺得生活中還有哪些地方可以用到該數(shù)學(xué)模型？

問題15

你覺得還有哪些生活中的問題可以用數(shù)學(xué)建模的方式來解決？

設(shè)計(jì)意圖：

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使其認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的過程是一個(gè)由簡(jiǎn)到繁、不斷完善的過程，任何一個(gè)模型都有其不足，需要多角度建模，并不斷改進(jìn)，才能使模型與真實(shí)情境更貼近；使學(xué)生明白要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界

.

(二)總結(jié)

1

.

數(shù)學(xué)建模的過程(如圖17所示)

.

圖17

2

.

數(shù)學(xué)建模過程是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、逐步優(yōu)化的過程

.

初步建模時(shí)應(yīng)突出影響目標(biāo)的主要因素，簡(jiǎn)化其他因素，分類分解復(fù)雜因素，使問題得到初步解決，然后再逐步添加其他因素，使數(shù)學(xué)模型越來越接近現(xiàn)實(shí)情形

.

三、 案例反思

(一)建模方式的初探——建?；顒?dòng)的真實(shí)體驗(yàn)

本次建?；顒?dòng)是基于新教課程、新教材的第一次初探，以四課時(shí)為一次建?；顒?dòng)進(jìn)行探究

.

第一課時(shí)的主要內(nèi)容是數(shù)據(jù)采集、實(shí)地考察、資料收集、小組協(xié)作

.

第一課時(shí)在課堂之外展開，學(xué)生以小組為單位，教師指導(dǎo)，家長(zhǎng)為輔，在確保安全的前提下，有些小組進(jìn)入醫(yī)院對(duì)通道寬度、病床寬度等進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，或根據(jù)醫(yī)院可提供的數(shù)據(jù)，得到了2m到6

.

8m不等的醫(yī)院通道寬度數(shù)據(jù)

.

有些小組上網(wǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，比如采集人體尺寸、病床尺寸等信息

.

有些小組進(jìn)行訪談，記錄了解相關(guān)信息

.

通過小組組員協(xié)作，學(xué)生自行制作PPT展示小組的調(diào)查情況

.

有了數(shù)據(jù)之后，教師布置學(xué)生閱讀材料

.

由于這次建?；顒?dòng)所需的知識(shí)儲(chǔ)備不僅涵蓋不等式、函數(shù)，而且涉及三角知識(shí)，所以教師通過預(yù)習(xí)方式將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化

.

學(xué)生通過自主預(yù)習(xí)、自主采集(上網(wǎng)查閱需要的數(shù)學(xué)知識(shí)、向教師尋求幫助、和同伴合作交流)、自主探究等方式解決“自學(xué)案”的三個(gè)數(shù)學(xué)問題

.

第二課時(shí)和第三課時(shí)依托市級(jí)展示活動(dòng)，以公開教學(xué)方式展開

.

本文的教學(xué)案例就是基于第二課時(shí)和第三課時(shí)設(shè)計(jì)并完成的

.

在經(jīng)歷了第一課時(shí)的實(shí)際問題調(diào)查后，學(xué)生經(jīng)歷如下六個(gè)步驟：在真實(shí)情境中提出問題；分析問題的本質(zhì)和影響因素；突出主要矛盾，對(duì)影響因素作出合理的假設(shè)；建模解模，并檢驗(yàn)；反思改進(jìn)模型，再檢驗(yàn)；對(duì)模型進(jìn)一步思考

.

兩節(jié)課原先沒有設(shè)計(jì)“畫一畫”的學(xué)生活動(dòng)，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生從實(shí)際情境到數(shù)學(xué)化的過程有一定的困難，通過試講發(fā)現(xiàn)了問題，故而在問題引入上加以改進(jìn)

.

結(jié)合調(diào)查的數(shù)據(jù)和視頻資料，學(xué)生以小組為單位畫出需要解決的數(shù)學(xué)問題的圖像，在直觀想象下思考并解決問題

.

“畫一畫”活動(dòng)的調(diào)整不僅符合學(xué)生的認(rèn)知和對(duì)問題的理解能力，而且激發(fā)了學(xué)生探究問題的熱情，發(fā)現(xiàn)原來自己也能設(shè)計(jì)建筑圖紙，也能把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化

.

但是，課堂上為用數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、整理成“應(yīng)用題”的過程所預(yù)留的時(shí)間有些不足

.

如果再增加3分鐘-5分鐘讓學(xué)生把實(shí)際問題具體化，寫出已知、求解就更好了，可以進(jìn)一步完善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模從實(shí)際到抽象的理解和實(shí)際應(yīng)用

.

教師在第一課時(shí)發(fā)現(xiàn)有學(xué)生自學(xué)了三角函數(shù)和解析幾何的相關(guān)知識(shí)，他們覺得目前的知識(shí)儲(chǔ)備不夠用，于是通過自學(xué)畫出了三角函數(shù)圖像解決問題，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

.

在第二課時(shí)，課堂中有學(xué)生說：“老師，我發(fā)現(xiàn)了一種很有趣的解法

.

”他利用點(diǎn)到直線距離知識(shí)克服難點(diǎn)，有了解析法的思想

.

無論學(xué)生的解決方式是什么，建?；顒?dòng)都激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和樂趣，他們自主學(xué)習(xí)的能力在建?；顒?dòng)中真正有了“內(nèi)驅(qū)動(dòng)”，而不是出于完成“數(shù)學(xué)作業(yè)”任務(wù)的需要

.

他們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有趣的、有效的、有方法的，而且這還帶動(dòng)了整個(gè)班級(jí)的學(xué)習(xí)氛圍

.

自主學(xué)習(xí)、自主應(yīng)用的意識(shí)在高一起始年級(jí)就形成了，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的心理基礎(chǔ)和行為基礎(chǔ)

.

第四課時(shí)的內(nèi)容為建模論文

.

此次建模活動(dòng)組織了高一年級(jí)14個(gè)班級(jí)612名學(xué)生參加，為了更好地反思模型、驗(yàn)證模型，第四課時(shí)設(shè)計(jì)為“建模作業(yè)——論文”

.

通過課后進(jìn)一步思考和探究，從不同角度思考，不少學(xué)生形成了有一定質(zhì)量的小論文，為數(shù)學(xué)研究打下了基礎(chǔ)

.

當(dāng)然，也有一部分學(xué)生以感想的形式遞交了作業(yè)，雖然未形成“小論文”，但是他們對(duì)這次活動(dòng)的所感所思還是非常深刻的

.

(二)建模活動(dòng)的課堂行為——問題相扣，思維碰撞，合作交流，思辨共進(jìn)

第一課時(shí)、第四課時(shí)在課堂外，第二課時(shí)、第三課時(shí)在課堂內(nèi)

.

課堂外教師適時(shí)、有序地指導(dǎo)，幫助學(xué)生形成自主預(yù)習(xí)和學(xué)習(xí)的能力

.

那么第二課時(shí)、第三課時(shí)的課堂對(duì)教師的語言是有高要求、嚴(yán)標(biāo)準(zhǔn)的

.

如何設(shè)計(jì)問題才能引發(fā)學(xué)生思考？如何有序、合理地實(shí)施建模的六個(gè)步驟？如何在建模活動(dòng)中讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴？如何在一次建?；顒?dòng)中實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合、“五育”并舉，甚至讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)未來職業(yè)的訴求和向往？這些都是“建模課題”

.

首先，課堂語言的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性非常重要

.

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，“它是人類對(duì)事物的抽象結(jié)構(gòu)與模式進(jìn)行嚴(yán)格描述的一種通用手段，它可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的任何問題”

.

應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，它是人類科技進(jìn)步的基礎(chǔ)和保障，是一種語言，為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)

.

故而，在選定課題后，如何解決問題，如何引導(dǎo)學(xué)生思考問題需要不斷磨、不斷調(diào)、不斷改

.

例如當(dāng)醫(yī)院通道較窄時(shí)，學(xué)生不易想象病床轉(zhuǎn)彎的情形，此時(shí)教師在引導(dǎo)學(xué)生時(shí)需要設(shè)置語言上的陷阱，如“病床是剛體，在過彎時(shí)不會(huì)發(fā)生形變，導(dǎo)致其在較窄通道內(nèi)轉(zhuǎn)彎時(shí)有可能被卡住，但是如果這是一張有彈性的病床，可以發(fā)生形變呢？”基于學(xué)生在問題解決中可能產(chǎn)生的思維障礙，兩節(jié)課的問題鏈在一次次試講、一次次修改中不斷調(diào)整，從語言組織到語言“陷阱”，從問題提出到問題本質(zhì)，從影響因素到合理假設(shè)，從數(shù)學(xué)化到問題解決，從數(shù)據(jù)分析到驗(yàn)證模型

.

基于學(xué)生的認(rèn)知是基礎(chǔ)，層層深入分析問題為引導(dǎo)，突破重點(diǎn)和難點(diǎn)是關(guān)鍵，總結(jié)歸納是思考和反思

.

其次，課后學(xué)生的共鳴和收獲有些在筆者的意料之中，有些在意料之外

.

比如學(xué)生說“建筑簡(jiǎn)易圖紙都能畫了，好像可以做建筑師吧”，“病床如果能有彈性不就能通過很多醫(yī)院通道了嗎”，“人體數(shù)據(jù)原來只能查到1986年的，要到2029年才能有最新數(shù)據(jù)”，“老師通過上網(wǎng)搜索了其他國(guó)家的人體數(shù)據(jù)，補(bǔ)充了我國(guó)數(shù)據(jù)，我怎么沒想到呢”，“統(tǒng)計(jì)，我們會(huì)學(xué)嗎？那我們采集數(shù)據(jù)后就會(huì)分析數(shù)據(jù)了吧”等

.

學(xué)生不僅學(xué)到了新知，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有了新的認(rèn)識(shí)，而且對(duì)今后的職業(yè)規(guī)劃也有了初步的思考，可謂一舉多得

.