基于擴(kuò)展卡爾曼狀態(tài)觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制

劉震鍇

（南京信息工程大學(xué) 江蘇省南京市 210044）

輪式移動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)控制上的研究總體可以分為點(diǎn)鎮(zhèn)定、路徑跟蹤和軌跡跟蹤。軌跡跟蹤需移動(dòng)機(jī)器人同時(shí)滿足在時(shí)間和空間上對(duì)軌跡的雙重跟蹤，在移動(dòng)機(jī)器人的三種運(yùn)動(dòng)控制問題中，針對(duì)軌跡跟蹤的研究最為豐富，其應(yīng)用也最為廣泛。此外，干擾和執(zhí)行器飽和約束在現(xiàn)實(shí)世界中機(jī)器人系統(tǒng)是不可避免的，可能導(dǎo)致系統(tǒng)輸出出現(xiàn)較大偏差。近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)具有干擾和不確定性的軌跡跟蹤控制進(jìn)行了相關(guān)研究。

由于系統(tǒng)總是受到不同類型的外部擾動(dòng)，當(dāng)不考慮干擾時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定和性能下降。主動(dòng)干擾抑制控制(ADRC)具有較高的效率和較強(qiáng)的抗干擾能力，文獻(xiàn)中考慮了基于ADRC 的WMR 軌跡跟蹤問題的研究。針對(duì)干擾的控制方法中，滑?？刂品椒ň哂休^強(qiáng)的魯棒性，也被廣泛應(yīng)用到機(jī)器人的控制系統(tǒng)中，文獻(xiàn)中的研究了滑模控制方法的跟蹤控制問題。此外，到目前為止，專家和學(xué)者已經(jīng)提出了多種擾動(dòng)觀測(cè)器。對(duì)于非隨機(jī)擾動(dòng)，最近使用擾動(dòng)觀測(cè)器(DO)來估計(jì)建模的不確定性和外部擾動(dòng)。文獻(xiàn)中，設(shè)計(jì)了一個(gè)擾動(dòng)觀測(cè)器來觀測(cè)集總擾動(dòng)并實(shí)現(xiàn)前饋補(bǔ)償，從而削弱了擾動(dòng)和參數(shù)變化的影響。文獻(xiàn)中，使用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀察器(ESO)來估計(jì)系統(tǒng)的內(nèi)部模型的不確定性和不依賴的外部擾動(dòng)利用卡爾曼濾波算法進(jìn)行最優(yōu)線性估計(jì)。然而，當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到非隨機(jī)和隨機(jī)干擾的影響時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)擴(kuò)展的狀態(tài)觀測(cè)器，它可以在存在測(cè)量噪聲和機(jī)器人參數(shù)變化的情況下提供干擾和狀態(tài)估計(jì)，然后用于控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)中，針對(duì)非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了擾動(dòng)觀測(cè)器，其中擾動(dòng)估計(jì)誤差視為白噪聲，擾動(dòng)觀測(cè)器輸出作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的一部分。

目前，學(xué)術(shù)界鮮有涉及對(duì)有界隨機(jī)干擾的WMR 軌跡跟蹤控制的研究，針對(duì)這種情況，本文將EKSO 方法應(yīng)用于受到執(zhí)行器飽和約束和外界擾動(dòng)的機(jī)器人系統(tǒng)，同時(shí)考慮測(cè)量噪聲和過程噪聲，提出了一種基于EKSO 的模型預(yù)測(cè)控制器來實(shí)現(xiàn)干擾補(bǔ)償和軌跡跟蹤。此外，數(shù)值模擬結(jié)果表明，該控制策略能穩(wěn)定跟蹤參考軌跡。

1 移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)態(tài)模型

移動(dòng)機(jī)器人（WMR）在笛卡爾坐標(biāo)下的模型示意圖如圖1 所示。

圖1： 差分輪式移動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

本節(jié)考慮一個(gè)非完整的差速輪式移動(dòng)機(jī)器人模型，WMR 中有一個(gè)萬向輪和兩個(gè)相互獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)輪。萬向輪可以防止機(jī)器人在水平平面上移動(dòng)時(shí)翻倒，兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪由兩個(gè)執(zhí)行器（如直流電機(jī)）獨(dú)立驅(qū)動(dòng)，用于運(yùn)動(dòng)和定位。兩個(gè)輪子有相同的半徑，用r 表示，驅(qū)動(dòng)輪到質(zhì)心間的距離為b。P=(x,y)是移動(dòng)機(jī)器人幾何中心的笛卡兒坐標(biāo)，G 移動(dòng)機(jī)器人質(zhì)心，θ 是移動(dòng)機(jī)器人相對(duì)于x 軸的運(yùn)動(dòng)方向。d 是輪軸中心到質(zhì)心的距離。非完整移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題可以簡化為機(jī)器人在慣性坐標(biāo)系中的初始位置到達(dá)并跟蹤給定的參考軌跡。

首先對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型線性化，然后根據(jù)參考軌跡求得離散化誤差模型，從而設(shè)計(jì)了一個(gè)控制器來驅(qū)動(dòng)WMR。

假設(shè)1 機(jī)器人與地面沒有滑動(dòng)，即在車輪和地面之間有一個(gè)純粹的滾動(dòng)接觸。

假設(shè)2：WMR 沒有側(cè)向運(yùn)動(dòng)，以保持無打滑狀態(tài)；

WMR 的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參考文獻(xiàn)得出

其中：(x,y)是機(jī)器人中心在全局坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，θ 是方向角，表示移動(dòng)機(jī)器人前進(jìn)方向與x 軸正方向的夾角，v,ω 表示機(jī)器人的線速度和角速度，d 表示機(jī)器人中心與質(zhì)心的距離，ζ 是有界的外部擾動(dòng)。

2 問題描述

3 擴(kuò)展卡爾曼狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

4 模型預(yù)測(cè)控制方法

模型預(yù)測(cè)控制需要周期性的求解優(yōu)化問題，通過在有限的預(yù)測(cè)時(shí)域上優(yōu)化模型的行為來計(jì)算一個(gè)最佳的控制輸入。MPC 設(shè)計(jì)本質(zhì)上是一個(gè)具有目標(biāo)函數(shù)和一組約束條件的時(shí)間域的優(yōu)化問題。這個(gè)優(yōu)化問題的最終目標(biāo)是在預(yù)測(cè)范圍[上盡量減少參考輸出和預(yù)測(cè)輸出之間的誤差。在本文的MPC 控制器設(shè)計(jì)中，代入估計(jì)誤差狀態(tài)后的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的定義如下：

圖2： 圓形參考軌跡跟蹤效果

圖3： x,y 軸和航向角θ 的跟蹤效果

圖4： x,y 軸和航向角θ 的誤差變化

圖5： 擾動(dòng)估計(jì)

5 仿真驗(yàn)證

仿真結(jié)果表明，基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的觀測(cè)器可以很好地估計(jì)擾動(dòng)。所設(shè)計(jì)的控制器能使WMR 軌跡跟蹤控制系統(tǒng)趨于穩(wěn)定并精確跟蹤參考軌跡。

表1： MPC 控制器參數(shù)

6 結(jié)論

本文針對(duì)具有外界干擾和飽和約束的WMR，設(shè)計(jì)了帶有擴(kuò)展卡爾曼狀態(tài)觀測(cè)器的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制MPC控制器，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波的觀測(cè)器取得外界干擾和測(cè)量噪聲下系統(tǒng)的估計(jì)狀態(tài)，并通過MPC 控制處理了輸入約束。從仿真結(jié)果表明，機(jī)器人能抑制噪聲影響，很快跟蹤上圓形軌跡。