概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性分析

樊卓優(yōu) 張雯雯

（河南理工大學(xué)電氣學(xué)院 河南省焦作市 454003）

1 引言

在系統(tǒng)生物學(xué)中，布爾網(wǎng)絡(luò)常被用于描述系統(tǒng)之間的相互作用，并廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、博弈論和信息學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域中。布爾網(wǎng)絡(luò)最早被Kaffuman 用來描述基因的動態(tài)行為，因為其結(jié)構(gòu)簡單，很快得到了廣泛關(guān)注，并慢慢擴展，引入控制信號得到布爾控制網(wǎng)絡(luò)，引入切換信號得到切換布爾網(wǎng)絡(luò)。2002 年，Shmulevich 提出了概率布爾網(wǎng)絡(luò)(PBN)，其比布爾網(wǎng)絡(luò)更加復(fù)雜，然而能夠更好地模擬實際問題。由于缺乏有力的數(shù)學(xué)工具，布爾控制網(wǎng)絡(luò)在提出的前幾十年發(fā)展緩慢，近年來，程代展教授等人提出了矩陣的半張量積概念，其可以將邏輯系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為離散時間模型。在此基礎(chǔ)上，布爾網(wǎng)絡(luò)得到了迅速發(fā)展。諸如布爾網(wǎng)絡(luò)的能控性，能觀性，可重構(gòu)性和狀態(tài)估計，最優(yōu)控制等問題都得到了有力發(fā)展。

布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性問題對系統(tǒng)的狀態(tài)估計和狀態(tài)觀測器設(shè)計都十分重要。布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性在文獻(xiàn)中被首次提出，并給出了多狀態(tài)觀測器和移位寄存觀測器的設(shè)計方法。此后，關(guān)于布爾網(wǎng)絡(luò)和布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性和觀測器設(shè)計有了較多的研究成果，其中文獻(xiàn)提出了一種改進(jìn)的多狀態(tài)觀測器設(shè)計，文獻(xiàn)進(jìn)一步闡述了可觀性和可重構(gòu)性之間的關(guān)系，推導(dǎo)了顯示和遞歸兩種方法，給出了終止條件，并對一般的可重構(gòu)系統(tǒng)，設(shè)計了類龍伯格觀測器。文獻(xiàn)簡要總結(jié)了能觀性和可重構(gòu)性的定義和基本判斷定理，將可重構(gòu)性和可檢測性聯(lián)系起來，給出了它們之間的相互關(guān)系圖。對于切換布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性，目前也有很多成熟的結(jié)果，文獻(xiàn)得到了可重構(gòu)性的四種定義和判斷可重構(gòu)性的充要條件。然而，對于概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性，目前的研究結(jié)果較少。其中，文獻(xiàn)提出了可重構(gòu)性的強和弱兩種基本定義，并給出了判斷系統(tǒng)強弱可重構(gòu)的條件。文獻(xiàn)研究了概率布爾網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計問題，提出了可檢測性的定義，并首次提出了可檢測性的測度概念，并通過利用有限自動機的方法設(shè)計了狀態(tài)估計器。與布爾網(wǎng)絡(luò)和布爾控制網(wǎng)絡(luò)相比，概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可觀性和可重構(gòu)性問題更加復(fù)雜，因為概率的不確定性，狀態(tài)演化的方向是不確定的，因此使得狀態(tài)觀測器的設(shè)計具有一點的困難。目前，對概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性分析和觀測器的設(shè)計還缺乏一定的成果。

本文主要對概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性進(jìn)行分析，主要研究內(nèi)容如下：

（1）利用狀態(tài)耦合的方法，先將系統(tǒng)的狀態(tài)分為兩類；

（2）首先根據(jù)概率布爾網(wǎng)絡(luò)的周期可重構(gòu)性定義，給出了新的判斷系統(tǒng)周期可重構(gòu)的條件并把周期可重構(gòu)與廣義可重構(gòu)進(jìn)行對比；

（3）接著把系統(tǒng)狀態(tài)耦合的形式與有限自動機的加權(quán)對圖形式進(jìn)行結(jié)合，并在此基礎(chǔ)了獲得了新的系統(tǒng)可重構(gòu)的判斷定理。

2 預(yù)備工作和問題闡述

2.1 預(yù)備工作

2.2 問題描述

3 主要內(nèi)容

3.1 狀態(tài)分析

3.2 周期可重構(gòu)性

圖1： 例1 的加權(quán)有向圖

3.3 自動機判別法

4 實例驗證

下邊給出一個例子來簡要說明周期判定法的使用過程。

在圖2 和圖3 中，黑色圓圈中的數(shù)字表示輸出為的狀態(tài)，白色圓圈中的數(shù)字表示輸出為 的狀態(tài)，實線上的數(shù)字代表模型輸入結(jié)構(gòu)矩陣和輸出序列，例如(1,1)表示結(jié)構(gòu)矩陣為L控制輸入為 時的情況，其中一對數(shù)字代表有0.25 的概率，即，從狀態(tài)1 有0.5 的概率轉(zhuǎn)移到狀態(tài)3。因此，可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2，所有周期狀態(tài)模型的軌跡圖如圖3。

圖2： 例2 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

圖3： 例2 中的所有周期狀態(tài)模型輸入軌跡

如圖3 所示，狀態(tài)1 和狀態(tài)5 是一對不可區(qū)分的狀態(tài)對，且有最小相同周期2，但狀態(tài)1 的下一步狀態(tài)3 和狀態(tài)5 的下一步狀態(tài)6 輸出不同，所以狀態(tài)1 和狀態(tài)5 是1 步可區(qū)分狀態(tài)。因此根據(jù)定理2 可知，該系統(tǒng)是周期可重構(gòu)系統(tǒng)。同樣的，狀態(tài)2 和狀態(tài)7 是不可區(qū)分狀態(tài)對，但有最小相同周期2，且是1 步可區(qū)分狀態(tài)。因此由推論1 可知，此系統(tǒng)是R-4可重構(gòu)的。

因為對不可區(qū)分狀態(tài)對(2,4)和(5,6)，雖然也有最小相同周期2，但在最小相同周期內(nèi)，其輸出都相同。因此由定理1 可知，該狀態(tài)對不是周期可重構(gòu)的。

即此系統(tǒng)滿足R-4 可重構(gòu)的條件，不滿足R-2 可重構(gòu)的條件。

5 總結(jié)

本文主要對概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)問題進(jìn)行的了分析。首先利用狀態(tài)對和狀態(tài)耦合的方法對狀態(tài)進(jìn)行了分類，并劃分為兩個集合；接著針對概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可重構(gòu)性給出了四種相關(guān)定義，并首先討論了其周期可重構(gòu)性，給出了判斷周期可重構(gòu)的條件，在第三節(jié)中也給出了實例進(jìn)行驗證；最后，利用有限自動機的方法，給出了概率有限自動機的加權(quán)對圖形式，并在此基礎(chǔ)上給出了幾個系統(tǒng)可重構(gòu)的判斷定理。然而，概率布爾網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計和觀測器設(shè)計仍是研究的重點，這是下一步的主要研究方向。