獨立性檢驗高考熱點例析

楊文金

獨立性檢驗問題具有很強的現(xiàn)實背景和較強的實踐性。與它有關的試題情景新穎，富有時代氣息，貼近生活，能充分調(diào)動同學們學習數(shù)學、應用數(shù)學的積極性，從而激發(fā)他們對數(shù)學的熱愛。正因為如此，它成為了近年高考的一個熱點。

熱點一、完善列聯(lián)表

例1 （2021年棗莊模擬卷）如表1所示，2×2列聯(lián)表中a，b的值分別為（ ）。

熱點二、獨立性檢驗的基本思想

例2在獨立性檢驗中，統(tǒng)計量X2有兩個臨界值：3. 841和6.635。當X2>3. 841時，有95%的把握說明兩個事件有關;當X2>6. 635時，有99%的把握說明兩個事件相關;當X2<3. 841時，認為兩個事件無關。在一項調(diào)查某種藥是否對心臟病有治療作用時，共調(diào)查了3 000人，經(jīng)計算得X2=9. 56，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，認為此藥物與心臟病之間（ ）。

A.有95%的把握認為兩者相關

B.約有95%的心臟病患者使用藥物有作用

C.有99%的把握認為兩者相關

D.約有99%的心臟病患者使用藥物有作用

分析：根據(jù)統(tǒng)計Xz的值與6. 635的關系，判斷兩個事件間的關系即可。

解：由題知，X2=9. 56>6. 635，說明有99%的把握認為此藥物與心臟病之間有關，故選C。

熱點三、K2的計算與應用

例3 通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好體育，得到表2，參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）。

A.有99%以上的把握認為“愛好體育運動與性別有關”

B.有99%以上的把握認為“愛好體育運動與性別無關”

C.在犯錯誤的概率不超過0. 1%的前提下，認為“愛好體育運動與性別有關”

D.在犯錯誤的概率不超過0. 1%的前提下，認為“愛好體育運動與性別無關”

分析：先根據(jù)公式計算K2，再對照參考數(shù)據(jù)作判斷。

所以有99%以上的把握認為“愛好體育運動與性別有關”，或在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好體育運動與性別有關”，故選A。

點評：本題考查Kz計算及其應用，同時考查同學們的基本分析、判斷能力，屬基礎題。

熱點四、獨立性檢驗解決實際問題

例4 （2021年高考全國甲卷理）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如表4。

（l）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

分析：本題考查頻率統(tǒng)計和獨立性檢驗，屬基礎題，根據(jù)給出公式計算即可求解。

故有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異。

點評：雖然作為解答題，但是本題比較容易，只相當于課本基礎題的難度，且這種題型平時訓練較多，是送分題。

因為E（x1）>E（x2），所以投資物聯(lián)網(wǎng)項目比投資人工智能項目平均年回報率要高，但二者相差不大。

因為D（X1）>D（X2），所以投資人工智能項目比投資物聯(lián)網(wǎng)項目年回報率穩(wěn)定性更高，風險要小。

建議投資人工智能項目。

點評：（1）概率統(tǒng)計問題的套路是：①確定任務;②收集數(shù)據(jù);③處理數(shù)據(jù);④分析數(shù)據(jù);⑤應用數(shù)據(jù)。

（2）對于復雜的概率統(tǒng)計可以遵循套路，將文字和要求進行分解，以有效理解題意。

對于依據(jù)數(shù)據(jù)特征的決策，在問題解決中要思考以下問題：

①常用數(shù)字特征有哪些？

②各種數(shù)字特征產(chǎn)生的背景（產(chǎn)生在統(tǒng)計活動中的哪個環(huán)節(jié)）;

③利用哪一個（哪幾個）數(shù)字特征作決策;

④如何根據(jù)數(shù)字大小來合理決策。

（責任編輯徐利杰）