一道不等式試題的證法賞析

余其權(quán)

評(píng)注：基本不等式是解決多元函數(shù)求最值問(wèn)題的行之有效的方法。但在具體解題中，因其技巧性較強(qiáng)，需要合理拆分項(xiàng)或恰當(dāng)配湊因式，創(chuàng)造使用基本不等式的條件。

評(píng)注：把其中的一個(gè)變量看作未知數(shù)（確定主元），將原函數(shù)整理成關(guān)于該未知數(shù)的一元二次函數(shù)或一元二次方程，利用未知數(shù)是實(shí)數(shù)，可用判別式確定函數(shù)的取值范圍，判別式是求多元函數(shù)最值問(wèn)題的行之有效的方法之一。但值得注意是，應(yīng)用此法求最值時(shí)要特別關(guān)注這個(gè)最值能否取到，即有沒(méi)有相應(yīng)的變量與之對(duì)應(yīng)。

評(píng)注：在求有些多元函數(shù)的最值時(shí)，恰當(dāng)構(gòu)造向量模型，利用向量的坐標(biāo)和數(shù)量積，常使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔，使煩瑣的解題顯得自然順利。

評(píng)注：柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，其結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛。若能靈活巧妙地應(yīng)用它，則可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解。在使用中，往往要采用一些方法（如巧拆常數(shù)、巧變結(jié)構(gòu)、巧設(shè)組數(shù)等），構(gòu)造出符合柯西不等式的形式及條件，從而使用柯西不等式解決有關(guān)問(wèn)題。

總之，處理多元函數(shù)最值的方法有多種，但我們?cè)谔幚矶嘣瘮?shù)最值時(shí)不要過(guò)分拘泥于某種方法，而應(yīng)該深入分析問(wèn)題的本質(zhì)，選取最優(yōu)方法靈活處理。（責(zé)任編輯王福華）