立體幾何中的轉(zhuǎn)化思想

王佩其

解決立體幾何問題，貴于轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化思想是解決立體幾何問題的“根本大法”。那么立體幾何中的轉(zhuǎn)化思想主要體現(xiàn)在哪些方面呢？

一、立體圖形平面化

將立體幾何問題轉(zhuǎn)為平面幾何問題來解決，這種“降維”思想，是解決立體幾何問題始終如一的原則。

例1 如圖1，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為4√3，則這個(gè)圓錐的體積為_______。

點(diǎn)評 求空間幾何體表面上的最值問題的一般思路：將空間幾何體的“面”展開后放在一個(gè)平面上，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題。

二、幾何問題代數(shù)化

在立體幾何的有關(guān)計(jì)算問題中，往往可將變量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)關(guān)系，從而將幾何問題代數(shù)化，即將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。

例2 某四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a，則該四面體體積的最大值為_______。

點(diǎn)評 四面體ABCD體積的大小取決于AD的大小，于是可把AD看成自變量x，將四面體體積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過求函數(shù)的最值可得四面體體積的最值，這充分體現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用。