關(guān)于樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈的一個強偏差定理

金少華, 王卓佳

( 河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 天津 300401)

1.引言

強偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.樹指標(biāo)隨機過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.HUANG[1]將樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈場的強大數(shù)定律和部分和的熵遍歷定理推廣到齊次樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈的廣義熵遍歷定理.TANG和YANG[2]建立了兩個漸近循環(huán)Markov鏈之間相對熵密度率的強極限定理.WANG和YANG[3]給出了非零平穩(wěn)過程的馬爾科夫逼近和廣義熵遍歷定理.ZHONG等人[4]研究了Cayley樹指標(biāo)馬氏鏈延遲和的強大數(shù)定律.金少華, 袁紅星等人[5]給出了樹指標(biāo)m重非齊次馬氏信源的一個強大數(shù)定律.本文通過引入滑動似然比的概念和構(gòu)造非負(fù)鞅, 給出了關(guān)于樹指標(biāo)非齊次馬爾科夫鏈的一個強偏差定理.

2.基本概念

設(shè)T是一個具有根頂點o的無限樹, {Nn,n ≥1}是一列正整數(shù)集, 如果T的第n(n ≥0)層上的每個頂點均與第n+1層上的Nn+1個頂點相鄰, 則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地, 若對非負(fù)整數(shù)集N, 用模m的同余關(guān)系對其分類得到如下模m的剩余類

當(dāng)n ∈(i)時,令Nn+1=αi(αi均為正整數(shù)且不同時為1),i=0,1,2,··· ,m ?1, 就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,···,αm?1.以下恒以T表示樹Tα0,α1,···,αm?1, 以S(t)表示頂點t的所有子代的子圖, Ln表示第n(n ≥0)層上所有頂點的子圖, Tn表示含有從頂點o到第n層上所有頂點的子圖.

定義2.1設(shè){Xτ,τ ∈T}是定義在概率空間{?,F,P} 上的取值于連續(xù)狀態(tài)(R+,σ(R+))的隨機變量族, 設(shè)

是{Xτ,τ ∈T}的初始分布, 并有正則條件概率族若則稱f(τ,S(τ);Xτ,XS(τ))為轉(zhuǎn)移密度函數(shù), 記f(τ,S(τ);Xτ,XS(τ))=fS(τ)(Xτ,XS(τ)).

設(shè){fS(τ)(Xτ,XS(τ))}是{Xτ,τ ∈T}的一列轉(zhuǎn)移密度函數(shù), 初始分布對應(yīng)的概率密度函數(shù)記為f0, 則稱{Xτ,τ ∈T}為具有初始分布(2.1)與正則條件概率族(2.2)的在R+上取值的連續(xù)狀態(tài)樹指標(biāo)非齊次馬爾科夫鏈.

上述定義的樹T上的非齊次馬爾科夫鏈{Xτ,τ ∈T}的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

設(shè)Q為可測空間{?,F}上的另一概率測度,{Xτ,τ ∈T} 在概率測度Q下的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

3.一個強偏差定理

因此由(3.3)和(3.4)式, 有

則{tn(λ,ω),σ(Xξal+1,Xξal+2,··· ,Xξal+n),n ≥1在概率測度P下是一非負(fù)鞅.

定理3.1設(shè){Xτ,τ ∈T}為如前定義的樹指標(biāo)連續(xù)狀態(tài)非齊次馬爾科夫鏈,Rn(ω),φn(ω)及{al,l ≥1} 如前定義, {bn,n ≥1} 及{λn,n ≥1}是正的常數(shù)數(shù)列, 令m0=inf{λn/bn}>0.設(shè)存在M >0, 使得

設(shè)0 ≤c<(m02M)/4, 令

則

證由引理3.1及Doob鞅收斂定理知, 存在A(λ)∈F,P(A(λ))=1, 使得

而由(2.4), (2.5)與(3.1)式, 有

由(2.6), (3.10)與(3.11)式, 有

由上極限的性質(zhì), (3.7)式與(3.12)式, 有

將(3.14)式兩端同除以?λ, 有

因為P(A1)=1, 故由(3.16)式與(3.17)式, 有

從而當(dāng)c ≥0時, (3.9)式成立.