高考“數(shù)學文化”試題特征分析與教學啟示

彭達浩 李袆

自2017年高考開始，數(shù)學文化試題在高考試卷中占比已明顯提升，基于數(shù)學核心素養(yǎng)導向下的高考命題，以數(shù)學文化內(nèi)容為橋梁，連接學生“四基”的同時，還充分考慮到學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，本文以2020年高考數(shù)學卷為例，從核心素養(yǎng)角度出發(fā)，探討數(shù)學文化在高考試題中的滲透，并對教師教學提出指導與建議.

1 試題基本情況分析

整理、分析2020年各類高考卷中的數(shù)學文化試題，從真題來源、題型、背景、分值等信息進行統(tǒng)計、歸納，如下表1.

由表1可見，在2020年的13套數(shù)學高考試卷中，總共有14道與數(shù)學文化相關試題，除天津卷、上海卷和浙江卷以外，其余各套試卷均在不同程度上將數(shù)學文化滲透到高考試題中，其中全國Ⅱ卷（理）總分占比最大，占10%，而江蘇卷僅占3.13%.在知識點分布上，囊括函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計主題.問題背景既涉及數(shù)學史料，又緊扣當代社會的時事熱點與發(fā)展前景，題型則主要集中于選擇題和填空題.

2 試題命制特征分析

通過對2020年高考數(shù)學文化試題進行整理，基于命題背景，結(jié)合數(shù)學價值和學科核心素養(yǎng)，從試題分析到評析，對部分數(shù)學文化試題展開研究.

2.1 觀建筑之宏偉，鑄數(shù)學抽象、數(shù)學建模素養(yǎng)

建筑的宏偉，不僅指建筑物的外部形態(tài)，更重要的是其內(nèi)在的實際效用，而將數(shù)學融入建筑學中，一是對數(shù)學應用價值的體現(xiàn)，并且還是使建筑內(nèi)外兼修的重要途徑，近年來，為進一步考查學生數(shù)學知識的同時，讓其用發(fā)展的眼光看待數(shù)學與建筑學的完美融合，宏偉建筑便成為了命制高考試題的良好素材.

例1

（2020年全國I卷·理（文）3）如圖1，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）.

分析 本題以胡夫金字塔為背景，將正四棱錐知識融入其中，并基于英國作家約翰·泰勒對胡夫金字塔中使用底面高的平方與側(cè)面積相同的發(fā)現(xiàn)，巧妙地設計出側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長之比的問題.而正四棱錐在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的實用價值，如埃菲爾鐵塔、機器人正四棱錐聲源定位系統(tǒng)等，故學生在欣賞金字塔美的同時，還能領略數(shù)學為建筑帶來的巨大應用價值，以此激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣，并進一步落實對美育價值的探究，使得人們更能感受到數(shù)學并非一種虛無縹緲的抽象存在，而是寓于可觀、可觸的實體之中.

學生解決實際問題的過程，亦是其素養(yǎng)體現(xiàn)的過程.要解決此問題，學生需形成抽象的邏輯思維，將正四棱錐形從金字塔背景中抽象剝離，并逐步形成正四棱錐面與面、線與線之間的比例問題.并以此為基礎，在新的情境中用數(shù)學的符號、圖形、文字語言表達問題，選擇和運用一定的方法構(gòu)建數(shù)學模型，從而解決問題.總的來說，此題重點考查數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)，并伴隨直觀想象、數(shù)學運算等素養(yǎng)的考查.

評析 從核心素養(yǎng)角度，學生需經(jīng)歷對實物的直觀想象，開展數(shù)學抽象，并建立適當模型，進行數(shù)學運算求解的過程，這也對“核心素養(yǎng)怎么考”有一定導向意義.大部分學生對此題的情境比較熟悉，但這似乎與學生抱怨此題太難、太新，不知所云相矛盾，實則是學生缺乏將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，從而導致不能列出相應的等式，同樣的例子在2019年高考數(shù)學卷中的“維納斯”一題中也有體現(xiàn)，這都是抽象素養(yǎng)和建模素養(yǎng)不強的表現(xiàn).

2.2思疫情之溫暖，凝數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算素養(yǎng)

數(shù)學是一門研究現(xiàn)實生活中數(shù)量關系和空間形式的科學，現(xiàn)實是數(shù)學的源頭，而數(shù)學也深深地根植于現(xiàn)實.數(shù)學與生活密不可分，當今正面臨新冠肺炎疫情的挑戰(zhàn)，高考命題也應對社會現(xiàn)象進行回應，彰顯時代特色.

例2 （2020年高考全國Ⅱ卷·理3、文4）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）.

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

分析 無論是個人，還是社會，都將受到疫情所帶來的強大威脅，經(jīng)濟發(fā)展趨勢、人性善惡都將面臨巨大考驗.此題借助新冠肺炎疫情期間，市場訂單堆積而帶來的人員缺失和分配問題，將概率統(tǒng)計知識嵌于其中，讓學生在經(jīng)歷問題解決的過程中，感悟灰色疫情下志愿者的紅色溫暖，從而弘揚無私的志愿精神和為人民服務的優(yōu)良傳統(tǒng).

此題在考查素養(yǎng)方面，學生首先應提取關鍵信息，在綜合的情境中將數(shù)據(jù)進行預處理，進一步明晰和推斷題干中概率的實際含義，適當建立模型，逐步將問題轉(zhuǎn)化為運算問題，并明確數(shù)學運算的對象，依據(jù)運算法則得出結(jié)論.可見數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算素養(yǎng)貫穿其中.

評析數(shù)據(jù)分析是解決此題的關鍵，具體而言，大部分學生雖熟悉疫情這一背景，但在對數(shù)據(jù)進行預處理時，卻不易將題干中0.05的概率與0.95的概率相聯(lián)系，直接影響了后期模型的建立.但也有少數(shù)學生能厘清題意，并能將數(shù)據(jù)有效整合，但較弱的運算能力，直接導致學生產(chǎn)生模糊的運算思路、錯亂的運算程序，使得學生最終也無法求得正確答案.

2.3品音律之瑰異，悟邏輯推理素養(yǎng)

在數(shù)學史上，畢達哥拉斯首次發(fā)現(xiàn)了數(shù)學與音樂的聯(lián)系，后愛因斯坦也曾表示“世界既能由音符構(gòu)成，同樣也能由數(shù)學公式構(gòu)成”，即音樂藝術與數(shù)學美學相輔相成.此外，數(shù)學還與繪畫、雕刻等藝術緊密相關，這也成為當下各地區(qū)命制數(shù)學文化試題的共同趨勢.

分析 天有五星，地有五行，天地有五音，古有古琴二十四況，今有鋼琴大小和弦，該題以鋼琴鍵上7個白鍵和5個黑鍵構(gòu)成一個音區(qū)和弦為背景，完美地將數(shù)學之理寓于音樂藝術當中，結(jié)合和弦固有的規(guī)律與數(shù)列、排序等知識，讓學生感悟數(shù)字排列與琴鍵聲響之間的奧妙，這也應證了萊布尼茨所說的“音樂是數(shù)學在靈魂中無意識的運算”.

此題需在較為復雜的情境中明晰各信息之間的聯(lián)系，理解事物的發(fā)生與發(fā)展，有條理地厘清相關概念的邏輯關系，分層次、按步驟，逐步將問題解決.

評析 一些具體事實和命題是邏輯推理的出發(fā)點，基于此題，應緊緊圍繞i，j，k三者之間的變化規(guī)律，辨別大三和弦與小三和弦區(qū)別與聯(lián)系.推理過程中，應時刻關注，的變化，借助歸納和類比的方法，發(fā)掘其中的數(shù)量關系，進一步圍繞主題，有理有據(jù)地開展論述.學生能否用數(shù)學的眼光找尋此題的研究對象，發(fā)現(xiàn)一定的數(shù)學問題，并借助數(shù)學語言和思維對題目進行表達，其主要依賴于學生邏輯推理素養(yǎng)，顯然邏輯推理素養(yǎng)水平不高的學生將不能準確無誤地推理出此規(guī)律.

2.4賞文物之韻味，品直觀想象素養(yǎng)

在中華文明上下五千年的發(fā)展歷程中，形成了許多優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，這些優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化多以保留至今的文物為載體.不論是小巧玲瓏的配飾，還是匠心獨運的器皿，小小的物件都蘊含著大大的數(shù)理知識，而以一些古代文物為背景的高考試題便成為了傳播數(shù)學文化的重要媒介.

例4 （2020年新高考I（Ⅱ）卷.4）如圖3，日晷是中國古代用來測量時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的維度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的維度為北緯40。，則晷針與點A處的水平面所成角為（ ）.

A.20°

B.40°

C.50°

D.90°

分析 自古以來人們對時間計時的探究從未暫停，例如日晷、刻漏、沙漏、鐘表.雖然現(xiàn)代鐘表計時精度越來越高，但卻淡化了其中的自然現(xiàn)象.日晷利用太陽投射原理既可以測量時間又可以測量四季，此題以日晷為背景，讓學生既能感受到古人的智慧所在，又能從中領悟數(shù)學的奧妙.

以歷史文物為載體，滲透數(shù)學文化，使得題目的呈現(xiàn)不再枯燥乏味，轉(zhuǎn)而以豐富的文字語言，生動形象地描繪出問題的因果關系，從而借助具體實物，抽象出實物的幾何圖形，將實物和幾何圖形構(gòu)建聯(lián)系，并根據(jù)題目要求，對復雜的數(shù)學問題進行直觀表達，直接反應出問題的本質(zhì)，利用幾何圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，進一步啟發(fā)解題思路，最終輔以數(shù)形結(jié)合思想解決問題，而整個過程都離不開直觀想象的核心素養(yǎng).

評析此題以空間點、線、面間的位置關系為基礎，要求學生具備解決空間位置關系的基本活動經(jīng)驗、作圖分析的基本操作技能、將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的基本數(shù)學思想.依托直觀想象素養(yǎng)，使生硬的文字瞬間變得形象生動，并通過觀察幾何圖形，理清題目線索，解決此題.但題目中北緯40。地平面和赤道既不平行也不垂直，雖向?qū)W生證實了天圓地方的道理，但也打破了學生以往認為地平面就是平行于赤道的想法，這為學生發(fā)揮直觀想象能力造成了一定的阻礙，無法想象和繪制出對應的幾何圖形.

3啟示與建議

3.1博古通今，搭建數(shù)學文化之橋，踐行核心素養(yǎng)之路

在社會的歷史發(fā)展進程中，文化被定義為物質(zhì)財富和精神財富的總和，而數(shù)學文化則是數(shù)學成就領域中誕生的物質(zhì)財富.憶往昔，西方數(shù)學文化中的《幾何原本》《算術研究》，東方數(shù)學文化中的《周髀算經(jīng)》《九章算術》等，都在不斷地被人們所傳頌;看今朝，大數(shù)據(jù)時代下，數(shù)學在航空業(yè)、通訊業(yè)等領域的廣泛運用，是當今科技騰飛的最有力表現(xiàn).數(shù)學文化是由古延伸至今的橋梁，借助數(shù)學文化是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的一條途徑.同時在數(shù)學教學中，應注重向?qū)W生滲透古今中外典型的數(shù)學文化知識，以文化熏陶的方式提高學生對數(shù)學價值的認識.

3.2熟能生巧，徜徉數(shù)學文化之海，耕種核心素養(yǎng)之田

數(shù)學學習是一種充滿經(jīng)驗性的活動，數(shù)學的認知依賴于思維的內(nèi)部操作，亦是其經(jīng)驗性的重要表現(xiàn)[3].自2017年高考考綱修訂以來，近四年來高考真題、模擬試題中，與數(shù)學文化相關的題目層出不窮，學生在此方面積累的經(jīng)驗直接影響著他們解決數(shù)學文化試題的能力.教師應從數(shù)學文化海洋中篩選、組合與所學知識相關內(nèi)容，有組織、有計劃地開展數(shù)學文化試題的專題訓練，引導學生將自己脫離出具體的問題情景，將解決問題的活動過程轉(zhuǎn)變?yōu)樗伎嫉膶ο螅诖诉^程中，既是知識建構(gòu)的過程，同樣也是素養(yǎng)提升的過程，以此引領文化之水耕種素養(yǎng)之田.

3.3終身教育，弘揚數(shù)學文化之魂，發(fā)展核心素養(yǎng)之翼

教育是貫穿人一生的活動，高考并非教育的終點.要真正借助數(shù)學文化貫徹素養(yǎng)落地，更重要的是立足終身教育，將數(shù)學的精神、思想等廣泛地傳播與應用.無論是面對當下嚴峻的疫情挑戰(zhàn)，還是未來科技的風云變幻，數(shù)學都發(fā)揮著舉足輕重的作用，這也是數(shù)學素養(yǎng)作為育人價值的集中表現(xiàn)，因此，數(shù)學文化教育不應受高考局限，應放眼學生的終身教育，將當下的時事熱點以及未來的科技發(fā)展作為依托，讓學生經(jīng)歷問題抽象、模型建立等過程的同時，注重學生的未來發(fā)展，啟發(fā)學生的應用意識，逐步培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)，提升學生核心技能，建立學生正確的價值觀念.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部，普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2]汪曉勤，基于數(shù)學史的數(shù)學文化內(nèi)涵課例分析[J].上海課程教學研究，2019 （2）：37-43

[3]李士鑄.熟能生巧嗎[J].數(shù)學教育學報，1996 （03）：46-50

[4]陳昂，任子朝，突出理性思維，弘揚數(shù)學文化[J].中國考試，2015（3）：10-14