構(gòu)造相似三角形解題例談

劉曉玲

【摘要】數(shù)學(xué)課是中學(xué)課程教育的核心課程，在整個(gè)初中乃至高中都十分重要.教育者應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，可以有效提高學(xué)生的解題質(zhì)量及效率.本文以蘇教版“相似三角形”為例，提升學(xué)生對相似三角形的認(rèn)知，也能提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);構(gòu)造相似三角形;解題方法

數(shù)學(xué)在日常生活中作用越來越明顯，更加體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的優(yōu)勢，教育者應(yīng)該注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)[1-2].初中是中小學(xué)以及普高的過渡期，在一定程度上難度加大，不再是簡單的四則運(yùn)算，這也就更加體現(xiàn)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性[3].相似三角形作為初中學(xué)習(xí)架構(gòu)中關(guān)鍵性的一環(huán)，對于中考來說也是重要的考點(diǎn)和難點(diǎn).因此，探究相似三角形的方法以及形成一定的數(shù)學(xué)知識的架構(gòu)對于學(xué)生來說非常重要.

1 初中數(shù)學(xué)構(gòu)造相似三角形學(xué)習(xí)方法

相似三角形是初中幾何中的重要內(nèi)容，常常與其他知識點(diǎn)結(jié)合，以綜合題的形式呈現(xiàn)，變化很多，是中考中的常考題型.如果我們注重解題方法或基本解題模型，相信再遇到相似三角形的問題就迎刃而解了.下面就介紹一下相似三角形模型.

1.1 相似三角形中的 A字模型

例1 如，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，其中，點(diǎn)P以2cm/s的速度從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從C點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，一旦P或者Q點(diǎn)任意一點(diǎn)在t時(shí)間達(dá)到至B或者A時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止.如何用t表征代數(shù)式AP和AQ;時(shí)間t為多少時(shí)，△APQ∽△ABC.

解題思路 本題主要是考查相似三角形的判定定理，可以靈活變通，熟練掌握數(shù)學(xué)解題思路.

即：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

對于第一問來說，主要是采用速度公式求解;利用相似定理（∠PAQ=∠BAC），當(dāng)APAB=AQAC時(shí)，則有△APQ∽△ABC，與之相對應(yīng)的有：2t8=16-3t16

;當(dāng)APAC=AQAB時(shí)，則有△APQ∽△ABC，與之相對應(yīng)的有：2t16=16-3t8，利用相似性進(jìn)行計(jì)算求解.

解題過程 （1）首先看點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向，P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，利用速度公式可以得到AP=2t;

而AQ的長度為未經(jīng)過的長度，已知AC=16cm，則有AQ=16-3t.

（2）連接PQ，見圖2.

因?yàn)椤螾AQ=∠BAC，

所以當(dāng)APAB=AQAC時(shí)，△APQ∽△ABC，此時(shí)2t8=16-3t16，解得t=167;

因?yàn)椤螾AQ=∠BAC，

所以當(dāng)APAC=AQAB

時(shí)，△APQ∽△ACB，此時(shí)2t16=16-3t8，解得t=4.

所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為167s或4s.

例2 如圖3（a）和圖3（b），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC，在Rt△ABC中的BC邊上交于點(diǎn)D，此時(shí)過點(diǎn)D做CA邊的平行線，在Rt△ABC中的AB

邊上交于點(diǎn)E.此時(shí)，求DE的長，線段AD的中點(diǎn)為M，連接B、M兩點(diǎn)，與DE于點(diǎn)F，將BM延長邊AC于點(diǎn)G，求解EFDF的值.

解題思路 本題考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用.

（a）?????? （b）

解題過程

（1）因?yàn)锳D平分∠BAC，∠BAC=60°，所以∠DAC=30°;

在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=30°，AC=6，所以CD=23，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，所以BC=63，

所以BD=BC-CD=43.

因?yàn)镈E∥CA，所以△BDE∽△BCA，所以DECA=BDBC=23，所以DE=4.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，所以DM=AM，

因?yàn)镈E∥CA，所以△DFM∽△AGM，所以DFAG=DMAM，所以DF=AG，

因?yàn)镈E∥CA，所以△BEF∽△BAG，

所以EFAG=BEBA=BDBC=23，

所以EFDF=23.

1.2 倍長中線模型構(gòu)造三角形

例3 如圖4，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交AC于F，BE=AC，且BF=9，CF=6，那么AF的長度為.

解題思路 倍長中線是常見的輔助線，全等中相關(guān)的角的代換是解決類似題型的重點(diǎn).在本題當(dāng)中，將AD延長至G點(diǎn)，存在AD=DG，將B和G連接，利用三角形相似定理可以得到△ACD≌△GBD，則有AC=BG=BE，因此可以得到△AEF是等腰三角形，根據(jù)題中已有的線段數(shù)據(jù)進(jìn)行等量關(guān)系的設(shè)計(jì)和計(jì)算.

解題過程 如圖5：延長AD至G，使AD=DG，連接BG.

在△ACD和△GBD中：

CD=BD∠ADC=∠BDGAD=DG ，

所以△ACD≌△GBD，

所以∠CAD=∠G，AC=BG，

因?yàn)锽E=AC，所以BE=BG，

所以∠G=∠BEG，

因?yàn)椤螧EG=∠AEF，所以∠AEF=∠EAF，所以EF=AF，

所以AF+CF=BF-EF，

即AF+6=9-EF，

所以AF=32.

2 結(jié)語

總而言之，作為必考的重要科目，并非只靠幾節(jié)課的短期學(xué)習(xí)就能夠?qū)θ切蔚南嗨葡嚓P(guān)概念掌握和運(yùn)用，需要學(xué)生長期性的學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)方法，循序漸進(jìn)，長久累積，可以對其做好有效的認(rèn)知.通常求得相似三角形是解決生活實(shí)際問題的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).在幾何問題的求解過程中，與相似三角形進(jìn)行有效地聯(lián)合運(yùn)用，妙用相似三角形來求解生活中以及學(xué)習(xí)中的難題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)教育的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉永智.網(wǎng)格圖中相似三角形的畫法舉例[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2021（5）：43-44.

[2]王建林.中考相似三角形綜合題探析[J].中學(xué)教學(xué)參考，2020（23）：11-12.

[3]路緒文.例談相似三角形的應(yīng)用[J].速讀（下旬），2015（8）：78-78.