抗差Helmert估計(jì)在BDS/GPS組合定位權(quán)比分配中的應(yīng)用

許 政 萬勝來 郭 強(qiáng) 王 闖 馮思宇

1 中航機(jī)載系統(tǒng)共性技術(shù)有限公司, 江蘇省揚(yáng)州市沙灣中路9號, 225000

隨著全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)的快速發(fā)展，多系統(tǒng)組合定位成為必然趨勢。相比于其他衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，BDS與GPS有更好的兼容性[1-3]，且雙系統(tǒng)組合可顯著增加可見衛(wèi)星數(shù)量，改善衛(wèi)星的幾何分布，從而提高定位精度及可靠性。

但由于實(shí)際解算中觀測值來自于2個(gè)不同的系統(tǒng)，其觀測噪聲與隨機(jī)誤差各不相同，傳統(tǒng)等權(quán)模型將雙系統(tǒng)觀測值籠統(tǒng)地歸為一類，反而會降低組合定位的精度[4]。因此，獲取能表征觀測值隨機(jī)噪聲水平的方差-協(xié)方差陣[5]，構(gòu)建精確的隨機(jī)模型，進(jìn)而準(zhǔn)確地給出兩類觀測值的權(quán)比，實(shí)現(xiàn)組合定位精度的提升，是近年來國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注的熱點(diǎn)問題[6-9]。

為解決這一問題，本文提出一種利用抗差Helmert方差分量估計(jì)定權(quán)的BDS/GPS組合定位算法。首先，構(gòu)建Helmert方差分量估計(jì)組合定位模型；然后，引入基于IGGⅢ方案的等價(jià)權(quán)函數(shù)，改進(jìn)權(quán)函數(shù)調(diào)節(jié)因子，解決由粗差導(dǎo)致的方差分量估計(jì)模型失真的問題；最后，通過BDS/GPS雙系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)對所提算法的有效性和優(yōu)越性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 抗差Helmert方差分量估計(jì)算法設(shè)計(jì)

1.1 Helmert方差分量估計(jì)

假定BDS和GPS觀測陣LB和LG相互獨(dú)立，由參數(shù)平差模型構(gòu)成的誤差方程為：

(1)

根據(jù)最小二乘法代價(jià)函數(shù)最小理論，誤差方程為：

(2)

根據(jù)二次型期望公式推導(dǎo)出嚴(yán)密Helmert方差分量估計(jì)為：

(3)

式中，

(4)

1.2 基于IGGⅢ方案的抗差估計(jì)權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)

Helmert方差分量估計(jì)不具備抗差性，當(dāng)系統(tǒng)觀測值中存在粗差時(shí)，粗差產(chǎn)生的影響可能會轉(zhuǎn)移到隨機(jī)模型中，造成模型失真。引入抗差估計(jì)權(quán)函數(shù)，生成等價(jià)權(quán)矩陣對可疑數(shù)據(jù)進(jìn)行降權(quán)處理，削減粗差的影響，提升系統(tǒng)的抗干擾能力和可靠性。

按照抗差估計(jì)理論，建立目標(biāo)函數(shù)：

(5)

式中，i表示觀測類型，j表示某類觀測值數(shù)量，ρ(·)為連續(xù)凸函數(shù)，(Pj)i為權(quán)函數(shù)，(Vj)i為殘差函數(shù)。

基于等價(jià)權(quán)原理，可得抗差估計(jì)：

(6)

通過選取合適的權(quán)函數(shù)，確定等價(jià)權(quán)矩陣，可實(shí)現(xiàn)抗差估計(jì)，因此權(quán)函數(shù)的選取至關(guān)重要。本文選用基于IGGⅢ方案的抗差估計(jì)權(quán)函數(shù)：

(7)

式中，常數(shù)k1一般取值為1.5～2.0，常數(shù)k2一般取值為3.0～8.5，σ為ν的中誤差，σ=median(|νj|)/0.674 5。

(8)

(9)

1.3 抗差Helmert方差分量估計(jì)算法流程

1) 將BDS與GPS兩系統(tǒng)之間的初始權(quán)比設(shè)為PB=PG=1，同一系統(tǒng)內(nèi)部根據(jù)高度角模型進(jìn)行定權(quán)：

Pij=sin(Ej)

式中，Pij為權(quán)值，Ej為第j顆衛(wèi)星的高度角。

2) 按式(1)進(jìn)行預(yù)平差計(jì)算，獲取BDS與GPS系統(tǒng)的觀測值殘差信息VB和VG；

4) 按式(4)重新調(diào)整兩系統(tǒng)間的權(quán)陣；

5) 根據(jù)抗差估計(jì)理論，按式(9)計(jì)算自適應(yīng)抗差因子，降低含粗差觀測值的權(quán)重；

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

使用接收機(jī)實(shí)際采集到的BDS/GPS組合系統(tǒng)觀測數(shù)據(jù)與導(dǎo)航電文，對本文所提抗差組合定位算法(robust Helmert算法，簡稱RH算法)的性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證。接收機(jī)的真實(shí)空間直角坐標(biāo)為[-2 364 332.717 2 m,4 870 286.103 8 m,-3 360 810.227 0 m]，采樣周期為30 s，采樣時(shí)間為24 h，共計(jì)2 880個(gè)歷元，抗差估計(jì)權(quán)函數(shù)參數(shù)設(shè)為k1=1.5、k2=3.0。

為驗(yàn)證本文算法的正確性和有效性，選用基于高度角模型的最小二乘least squares組合定位算法(LS算法)和經(jīng)典Helmert方差分量估計(jì)組合定位算法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。分別利用3種算法對實(shí)際采集到的BDS/GPS組合系統(tǒng)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行定位解算，通過表征輸出定位結(jié)果聚合度的極差和均方根誤差(RMS)指標(biāo)來評價(jià)各算法的定位性能。

無粗差情況下的仿真結(jié)果如圖1和表1所示，可以看出，Helmert算法和RH算法在觀測歷元內(nèi)的誤差曲線穩(wěn)定，未出現(xiàn)大幅波動(dòng)，而LS算法的誤差曲線波動(dòng)略大，甚至在個(gè)別時(shí)刻出現(xiàn)了較大跳躍。

圖1 未添加粗差的定位誤差序列Fig.1 Positioning error diagram without gross error injection

表1 未添加粗差的定位結(jié)果對比

從表1定位結(jié)果可以看出，由Helmert算法和RH算法得到的E、N、U方向上的定位極差和RMS結(jié)果均優(yōu)于LS算法。

Helmert算法和RH算法在2 880個(gè)歷元內(nèi)GPS與BDS系統(tǒng)間權(quán)比的均值分別為3.86和3.41，雙系統(tǒng)間重新定權(quán)后，性能優(yōu)于僅通過高度角定權(quán)的LS算法。

為驗(yàn)證本文RH算法的組合定位性能，人為給GPS系統(tǒng)內(nèi)一顆隨機(jī)衛(wèi)星的偽距觀測值添加75 m的粗差，結(jié)果如圖2和表2所示?？梢钥闯?，LS算法受粗差影響，定位誤差波動(dòng)較大，與表1相比定位性能急劇下降；Helmert算法在2 880個(gè)歷元內(nèi)GPS與BDS系統(tǒng)間權(quán)比的均值為0.02，雖通過實(shí)時(shí)調(diào)整GPS系統(tǒng)權(quán)值盡可能降低了粗差帶來的影響，但從E、N、U方向上部分歷元的誤差曲線出現(xiàn)階躍可以看出，影響未被完全消除，定位性能有所下降；RH算法在2 880個(gè)歷元內(nèi)GPS與BDS系統(tǒng)間權(quán)比的均值為4.45，與未添加粗差時(shí)的權(quán)比接近，誤差曲線穩(wěn)定，未出現(xiàn)大幅波動(dòng)。表2中的定位性能指標(biāo)數(shù)據(jù)與表1相似，可見具有抗差模型的RH算法不僅可合理地定權(quán)，同時(shí)能夠較好地抑制粗差帶來的影響。

圖2 單系統(tǒng)添加粗差的定位誤差序列Fig.2 Single system positioning error diagram with gross error injection

表2 單系統(tǒng)添加粗差的定位結(jié)果對比

為進(jìn)一步驗(yàn)證RH算法的組合定位性能，在每一歷元分別給GPS和BDS系統(tǒng)內(nèi)一顆隨機(jī)衛(wèi)星的偽距觀測值添加75 m的粗差，結(jié)果如圖3和表3所示?？梢钥闯觯螂p系統(tǒng)內(nèi)增加了一顆含偽距粗差的衛(wèi)星，LS算法在E、N、U方向上的極差和RMS受到影響，誤差進(jìn)一步累加，證明僅通過高度角定權(quán)的LS算法完全無法抵御粗差；Helmert算法在2 880個(gè)歷元內(nèi)GPS與BDS系統(tǒng)間權(quán)比的均值為6.25，雙系統(tǒng)均出現(xiàn)含粗差的衛(wèi)星，導(dǎo)致算法無法通過實(shí)時(shí)調(diào)整權(quán)值降低粗差帶來的影響，且從E、N、U方向上的誤差曲線及定位性能指標(biāo)數(shù)據(jù)可以看出，整體性能降幅較大，部分歷元定位結(jié)果偏差甚至大于高度角定權(quán)的LS算法，可見粗差已經(jīng)導(dǎo)致Helmert算法模型收斂失真；RH算法在2 880個(gè)歷元內(nèi)GPS與BDS系統(tǒng)間權(quán)比的均值為5.24，通過抗差模型消減含粗差衛(wèi)星的權(quán)值，降低粗差的影響，使得系統(tǒng)間權(quán)比與前2次仿真結(jié)果接近且較為穩(wěn)定。表3中定位性能指標(biāo)數(shù)據(jù)與表2相比略有下降，從圖3可以看出，E、N、U方向上的誤差曲線在個(gè)別歷元出現(xiàn)波動(dòng)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，添加粗差后部分正常衛(wèi)星偽距觀測值被“污染”，殘差增幅達(dá)到抗差模型的臨界狀態(tài)，使得抗差效果有所降低。總體來說，RH算法能夠較好地抑制粗差帶來的影響，性能符合預(yù)期。

圖3 雙系統(tǒng)添加粗差的定位誤差序列Fig.3 Dual system positioning error diagram with gross error injection

表3 雙系統(tǒng)添加粗差的定位結(jié)果對比

3 結(jié) 語

本文針對組合定位中系統(tǒng)間權(quán)比分配的問題，提出一種抗差Helmert方差分量估計(jì)組合定位方法，引入并優(yōu)化基于IGGⅢ方案的抗差估計(jì)模型，通過自適應(yīng)抗差因子動(dòng)態(tài)消減可疑觀測，抵御粗差，改善經(jīng)典Helmert算法估計(jì)模型收斂失真的問題。通過仿真對比實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)BDS與GPS兩系統(tǒng)的偽距觀測值均存在粗差時(shí)，本文算法可有效抑制組合系統(tǒng)粗差觀測值的影響，合理確定兩類觀測值的權(quán)比，提高組合定位的精度與可靠性。