擬線性Schr?dinger方程解的多重性

朱文杰，陳春芳

(南昌大學數(shù)學系，江西 南昌 330031)

1 引言與主要結(jié)果

在本文中，我們考慮以下擬線性Schr?dinger方程

(1)

解的多重性。其中V，K∈C(RN，R)，f(u)在u=0的鄰域內(nèi)有定義，N≥3且τ>0。要求方程(1)的解，就轉(zhuǎn)化為求Schr?dinger方程

i?tψ=-Δψ+W(x)ψ-l(|ψ|2)ψ+

(2)

的孤立波解,其中ψ:RN×R→C，W:RN→R為位勢函數(shù)，l和ρ:R→R為實函數(shù)。當選取不同的函數(shù)ρ時，此方程可以應(yīng)用在物理學、光學、動力學等領(lǐng)域中，見文獻[1-4]。如果方程(2)具有ψ(x，t)=exp(-iEt)u(x)的形式且滿足ρ(s)=s時，則方程(2)可轉(zhuǎn)化成下述橢圓型方程

(3)

其中E∈R，V(x)=W(x)-E且h是一個新的非線性項。

當方程(3)中的τ>0時，由于非凸項“Δ(u2)u”的出現(xiàn)，與方程(3)所對應(yīng)的能量泛函可能沒有合適的工作空間使其是定義良好的并且是屬于C1的。為了解決這個困難，Alves等人在文獻[5]中采用變量替換方法求解方程(3),同時結(jié)合山路引理和Moser迭代方法，證明了當τ∈(0,τ0)時，方程(3)正解的存在性，其中τ0是一個很小的正數(shù)。后來，Wang和Li[6]證明了帶有臨界增長的擬線性Schr?dinger方程正解的存在性。關(guān)于此種情形的其他結(jié)果可參考文獻[7-10]。

最近，許多學者關(guān)注于考慮含有局部項的擬線性Schr?dinger方程的解的存在性，也就是考慮非線性項h(t)只在t=0的附近有定義的情形。Huang和Jia[11]考慮了帶有超臨界擬線性Schr?dinger橢圓方程，并分別討論了在三種位勢(緊位勢、井位勢、周期位勢)條件下的正解的存在性。Bao和Cheng[12]使用Clark定理得到具有如下形式方程

-Δu+V(x)u-Δ(u2)u=g(x，u)，x∈RN

多解的存在性，其中非線性項g(x，u)在原點附近是次線性增長的。與文獻[13-14]不同的是，此方程多解的存在性只有在N=3或N=4的時候才成立，這是因為在做L∞估計時要滿足迭代運算所導(dǎo)致的。更進一步,他們所得的弱解收斂到0。

受以上文獻啟發(fā)，本文主要解決以下兩個問題：

(Q1)：與文獻[12]對比，我們是否可以考慮非凸項“Δ(u2)u”的系數(shù)為正的情況，也即是方程(1)中τ>0情形,并且非線性項f只在原點附近有定義時解的存在性?

(Q2)：如果我們把文獻[11]中的非線性項是局部超線性增長的改成局部次線性增長，那這個問題的解還會存在嗎? 特別地，也會類似文獻[12]需要對空間維數(shù)N限制嗎?

本文采用文獻[12]的思路研究方程(1)，我們對方程(1)中的位勢函數(shù)V,K和非線性項f做出以下假設(shè)：

(V)0≤α≤V(x)≤β<∞，x∈RN，其中α，β是常數(shù)；

(f1)存在δ，M>0，p∈(1，2)使得f∈C((-δ,δ),R)是奇函數(shù)且|f(t)|≤M|t|p-1；

(K)0

本文的主要結(jié)果如下：

定理1.1假設(shè)(V)，(f1)-(f2)和(K)成立。則方程(1)存在無窮多個負能量解。

2 預(yù)備知識

這一節(jié)介紹本文所需要的空間和截斷函數(shù)。首先介紹本文的工作空間為

H1(RN):={u∈L2(RN):?u∈L2(RN)}

其范數(shù)為

通常，|·|s表示空間Ls(RN)的范數(shù)。C，Ci表示常數(shù)(i=1,2,3…)，不同位置可能不相同。

(4)

接下來，我們考慮以下修正方程

(5)

解的存在性。方程(5)所對應(yīng)的能量泛函為

(6)

的解的存在性，其中g(shù)(s):R→R且

現(xiàn)在我們定義

易知反函數(shù)G-1存在且是一個奇函數(shù)。下面，我們給出函數(shù)g，G-1的一些性質(zhì)。

引理2.1[5]函數(shù)g，G-1滿足：

接下來，我們采用以下變量代換

則

由引理2.1，我們得到泛函J在H1(RN)是定義良好的且J∈C1(H1(RN)，R)。另外，對任意的ω∈H1(RN)有

因此，想要求方程(5)的弱解，我們只需要討論半線性橢圓方程

的弱解。

3 主要結(jié)果的證明

在本節(jié)中，我們采用Clark定理來證明我們的結(jié)果。

定理3.1[15]設(shè)X是一個Banach空間，Ψ∈C1(X,R)。如果Ψ滿足(PS)條件且

(a)Ψ(-u)=Ψ(u)，Ψ(0)=0且Ψ有下界；

則以下結(jié)論至少有一條成立：

(1)存在臨界點序列{uk}，使得對任意的k都有Ψ(uk)<0，并且當k→+∞時有‖uk‖→0；

(2)存在r>0，使得對?s∈(0,r)，都有一個臨界點u滿足‖u‖=s且Ψ(u)=0。

下面，我們說明泛函J滿足Clark定理的所有假設(shè)條件。

引理3.2假設(shè)(V)，(f1)-(f2)和(K)成立。則泛函J有下界且滿足(PS)條件。

證明由(4)，(K)，引理2.1、H?lder不等式有

則根據(jù)Sobolev嵌入不等式得到

又因為1

下證泛函J滿足(PS)條件。令{vn}是一個(PS)序列，即當n→+∞時，有

|J(vn)|≤c，J′(vn)→0

顯然當n→+∞時，有on(1)=〈J′(vn)-J′(v0),vn-v0〉，即

(7)

對任意取定的R>0，令ξR∈C∞(RN，[0，1])滿足

on(1)=

(8)

接下來，由引理2.1，H?lder不等式以及{vn}是有界的可知

(9)

和

(10)

成立。聯(lián)立(8)-(10)有

然后再根據(jù)條件(V)和引理2.1，當R→+∞時，則有

(11)

又因為v0∈L2(RN)，則我們可以取R0>0足夠大使得

(12)

由(11)、(12)以及局部是緊嵌入的可知

也就意味著當n→+∞時，在L2(RN)中有vn→v0。

接下來，再次利用條件(K)、(4)以及引理2.1和H?lder不等式，我們得到

(13)

同理有

(14)

再由中值定理可得

(15)

最后，由(7)和(13)—(15)知

引理3.4令v是泛函J的一個臨界點，則存在與v，τ無關(guān)的常數(shù)C*使得|v|∞≤C*。

證明因為v∈H1(RN)是泛函J的一個臨界點，則對任意對φ∈H1(RN)有

(16)

令T>0，定義vT:=max{-T，min{v，T}}。取φ=|vT|2(η-1)v，其中η>1。容易驗證φ∈H1(RN)，因此我們把φ代入(16)有

根據(jù)vT的定義，我們知道上式等號左邊第二項是非負的。

通過(4)和引理2.1，我們得到

(17)

(18)

令T→+∞，由(17)、(18)、H?lder不等式和Sobolev不等式可知

和

下面，我們按照以上方法依次迭代下去，則有

然后令k→+∞可得

最后，由H1(RN)→L2*(RN)以及v的有界性可知|v|∞≤C‖v‖≤C*，其中C*與v，τ無關(guān)。

注記1從以上證明過程可以看出，與文獻[5-6]相比，我們不需要把參數(shù)τ限制在一個很小的范圍內(nèi)，也即是說，參數(shù)τ可以為一個取定的數(shù)。