整體取勢(shì)、直觀明道、推理優(yōu)術(shù)，凸顯數(shù)學(xué)育人價(jià)值
——“平行線的性質(zhì)”教學(xué)評(píng)析

周遠(yuǎn)方，胡 華

（湖北省教育科學(xué)研究院；湖北省襄陽市教育科學(xué)研究院）

高原老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）執(zhí)教的“平行線的性質(zhì)”展示課例，是“第十二屆初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)”的八個(gè)指定課題之一.該課例從E組脫穎而出，得到了本組學(xué)術(shù)委員和觀摩教師的一致好評(píng)，被評(píng)為本次展示活動(dòng)的最優(yōu)展示課例.本文從課題背景、總體評(píng)價(jià)、亮點(diǎn)掃描和改進(jìn)建議等四個(gè)方面對(duì)優(yōu)課展開評(píng)析，以期與大家分享、品賞和交流.

一、課題背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）和人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）對(duì)“平行線的性質(zhì)”的教學(xué)都提出了明確的要求和建議.

1.課題要求

“平行線的性質(zhì)”是一節(jié)典型的幾何命題課，指定課題對(duì)其內(nèi)容要求和教學(xué)提示如下.

（1）內(nèi)容要求.

①掌握平行線的性質(zhì)定理1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.了解定理的證明.

②探索并證明平行線的性質(zhì)定理2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.

③探索并證明平行線的性質(zhì)定理3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

（2）教學(xué)提示.

要以單元整體教學(xué)思想為指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線的判定的基礎(chǔ)上，通過性質(zhì)與判定的邏輯關(guān)系，猜想平行線的性質(zhì)，通過演繹推理證明平行線的性質(zhì)定理.教學(xué)中要盡量放手讓學(xué)生開展自主探究活動(dòng)，加大教學(xué)的開放性，使學(xué)生在獲得性質(zhì)定理的過程中經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)和證明的過程，感悟歸納推理過程和演繹推理過程的傳遞性，培養(yǎng)推理能力.

2.《標(biāo)準(zhǔn)》要求

對(duì)“平行線的性質(zhì)”的要求，主要從內(nèi)容、教學(xué)和方法三個(gè)方面給出了相應(yīng)的定位.

（1）內(nèi)容定位.

“相交線與平行線”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的基本內(nèi)容，而“平行線的判定與性質(zhì)”則是學(xué)生學(xué)會(huì)一些簡單的、基本的推理語言的起始內(nèi)容，也是學(xué)生體會(huì)通過“推理”獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的方法，培養(yǎng)言之有據(jù)的習(xí)慣和有條理地思考、表達(dá)的能力，從而完成從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過渡的重要內(nèi)容.

（2）教學(xué)定位.

圖形的性質(zhì)的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生理解歐幾里得平面幾何的基本思想，感悟幾何體系的一般觀念——通過定義確定論證的對(duì)象，通過公理確定論證的起點(diǎn)，通過證明確定論證的邏輯，通過命題確定論證的結(jié)果.因此，要強(qiáng)調(diào)研究幾何圖形的基本套路：實(shí)驗(yàn)探究—直觀發(fā)現(xiàn)—推理論證.在用幾何直觀理解基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理，培養(yǎng)學(xué)生初步的推理能力，形成“擺事實(shí)、講道理”的科學(xué)精神.

（3）方法定位.

平行線性質(zhì)定理的證明需要用反證法.因此，《標(biāo)準(zhǔn)》將其以“了解定理的證明”的要求定位，并作為“感悟反證法”的案例在附錄中給出了如下證明過程.

證明平行線性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.

例如圖1，設(shè)兩條平行線分別為AB和CD，被第三條直線EF所截，且直線AB被直線EF截于點(diǎn)O，我們要證明：如果AB∥CD，那么∠1=∠2.

圖1

證明：假設(shè)∠1≠∠2，過點(diǎn)O作直線A′B′，使∠EOB′=∠2.根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可得A′B′∥CD.這樣，過點(diǎn)O就有兩條直線AB，A′B′都平行于CD，這與平行公理“經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾.這說明假設(shè)∠1≠∠2不正確，從而得出∠1=∠2.

【說明】反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，平行線性質(zhì)定理的證明將是學(xué)生第一次接觸到反證法的證明，因此非常重要.在教學(xué)過程中，讓學(xué)生感知反證法的作用的同時(shí)，要力爭(zhēng)讓學(xué)生感悟反證法的邏輯和論證流程，感知矛盾律和排中律，形成初步的推理能力.

3.教材要求

學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容時(shí)，要注意觀察實(shí)物、模型和圖形，通過觀察、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)、歸納、對(duì)比、類比等來尋找圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)；還要注意體會(huì)通過“推理”獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的方法，培養(yǎng)言之有據(jù)的習(xí)慣和有條理地思考、表達(dá)的能力.同時(shí)，教材根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》要求，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，按照循序漸進(jìn)的原則，將反證法的學(xué)習(xí)安排在九年級(jí)上學(xué)期“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”之中，在用反證法證明“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”之后，給出了上述證明.

二、總體評(píng)價(jià)

平面幾何是理性思維的典范，邏輯推理是理性思維的完美體現(xiàn)，“借助圖形建立直觀，通過推理予以表達(dá)”是邏輯推理的精髓.圖形的性質(zhì)與判定是幾何研究的核心問題，而圖形的性質(zhì)主要研究圖形組成元素之間的相互關(guān)系.平行線的性質(zhì)既是研究角的相等或互補(bǔ)關(guān)系的理論依據(jù)，又是研究幾何圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的知識(shí)基礎(chǔ)，也是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)圖形性質(zhì)的開路先鋒.因此，在“平行線的性質(zhì)”的教學(xué)中，如何使幾何直觀、邏輯推理綜合地發(fā)揮作用，就成為發(fā)展學(xué)生幾何直觀和推理能力素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措.

本節(jié)課立足幾何命題教學(xué)“取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)”的三部曲，創(chuàng)新了“平行線的性質(zhì)”的教學(xué)方式，實(shí)現(xiàn)了“既見樹木，又見森林”的教學(xué)效果，充分展現(xiàn)了“用整體教學(xué)追求幾何直觀與邏輯推理融合發(fā)展”的教學(xué)特色（如圖2）.

圖2

1.整體取勢(shì)，確定研究方向

本節(jié)課采用單元設(shè)計(jì)和整體思想導(dǎo)學(xué)，承前啟后，確定研究方向，讓學(xué)生明確“為什么學(xué)”.通過整體設(shè)計(jì)體現(xiàn)一般觀念，利用“怎樣研究一類幾何圖形的性質(zhì)”的大觀念引領(lǐng)，整體規(guī)劃研究思路，充分展現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的演繹之路，有效發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀、抽象能力和推理能力素養(yǎng).

2.直觀明道，確定研究路徑

本節(jié)課采用類比學(xué)習(xí)和幾何直觀教學(xué)，以舊啟新，確定研究路徑，讓學(xué)生明確“學(xué)什么”.通過直觀類比構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，利用直觀類比平行線判定的研究內(nèi)容、過程、方法、順序等來研究平行線的性質(zhì)，遵循幾何教學(xué)的基本套路（背景—定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用），構(gòu)建了研究平行線的性質(zhì)的單元學(xué)習(xí)路徑.

3.推理優(yōu)術(shù)，確定研究方法

本節(jié)課采用合情推理和演繹推理悟?qū)W，起承轉(zhuǎn)合，確定研究方法，讓學(xué)生明確“怎樣學(xué)”.通過邏輯推理演繹學(xué)習(xí)方法，利用觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等思維活動(dòng)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷命題學(xué)習(xí)的完整過程（發(fā)現(xiàn)命題—提出命題—證明命題—運(yùn)用命題），學(xué)會(huì)研究一個(gè)幾何對(duì)象的基本思路（直觀感知—操作確認(rèn)—推理論證—度量計(jì)算），積累研究幾何圖形的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

總之，本節(jié)課通過“在直觀中感知、在實(shí)驗(yàn)中探索、在歸納中猜想、在動(dòng)態(tài)中驗(yàn)證、在演繹中推理、在交流中表征、在應(yīng)用中解釋”等系列化的教學(xué)活動(dòng)，師生共同合作，為我們展示了一節(jié)凸顯數(shù)學(xué)育人價(jià)值的優(yōu)秀課例.

三、亮點(diǎn)掃描

本節(jié)課無論是教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)課件和教學(xué)板書，還是教學(xué)視頻、教學(xué)反思和教學(xué)點(diǎn)評(píng)，都體現(xiàn)著執(zhí)教教師的獨(dú)具匠心，堪稱展示課的優(yōu)秀范本，其突出的“三精”亮點(diǎn)具體表現(xiàn)如下.

1.思想融合，教學(xué)設(shè)計(jì)精致

眼界決定格局，思想決定高度.本節(jié)課將單元整體設(shè)計(jì)思想、數(shù)學(xué)公理化思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想和分類與整合思想融為一體，充分展現(xiàn)了“大概念，小單元；大問題，小延伸；大任務(wù)，小融合”的教學(xué)特色.通過充分挖掘教材，整合與“平行線的性質(zhì)”有關(guān)的內(nèi)容作為研究素材，在基于單元整體設(shè)計(jì)的同時(shí)，為后續(xù)的平移、三角形、四邊形等幾何圖形的學(xué)習(xí)提供了數(shù)量關(guān)系的理論支撐、思想方法的研究范式和幾何學(xué)習(xí)的基本套路.

本節(jié)課突出三條設(shè)計(jì)線索.以平行線的性質(zhì)的探索、證明和應(yīng)用為明線，以多種思想方法的融合為暗線，以多幅結(jié)構(gòu)框圖的精心設(shè)計(jì)、多元教學(xué)素材的有效嵌入、多樣學(xué)習(xí)方式的綜合運(yùn)用和系列化的研學(xué)活動(dòng)為主線，呈現(xiàn)了一份豐富多彩、新穎別致和畫面感極強(qiáng)的教學(xué)設(shè)計(jì).

2.過程融合，教學(xué)環(huán)節(jié)精當(dāng)

只有重視過程，才能深刻領(lǐng)悟教學(xué).本節(jié)課借鑒由一般到特殊研究相交線的習(xí)得經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合將平行線判定的條件和結(jié)論反過來的逆向思維，基于“類比判定學(xué)性質(zhì)”的認(rèn)知方法，通過融合思維過程和認(rèn)知過程來確定平行線的性質(zhì)的研究過程，形成幾何研究的一般觀念.整個(gè)教學(xué)過程以“喚醒經(jīng)驗(yàn)，梳理思路—類比判定，問題驅(qū)動(dòng)—開放探究，提出猜想—?dú)w納推理，演繹論證—性質(zhì)應(yīng)用，問題解決”的順序展開，各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)層層推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，邏輯結(jié)構(gòu)清晰，教學(xué)流程合理，教學(xué)過程自然流暢，教學(xué)環(huán)節(jié)精當(dāng)（如圖3）.

圖3

特別是面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑過程：性質(zhì)2和性質(zhì)3都是通過嚴(yán)格推理證明得到，但為什么性質(zhì)1卻只是通過實(shí)驗(yàn)探索得到？教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生明確：性質(zhì)1將在以后的學(xué)習(xí)中利用反證法加以證明，現(xiàn)階段我們把性質(zhì)1作為基本事實(shí)，運(yùn)用公理化思想就可以利用基本事實(shí)來推理性質(zhì)2和性質(zhì)3.這一質(zhì)疑互動(dòng)的真實(shí)過程，真正體現(xiàn)了課堂教學(xué)的生成機(jī)智，不僅解答了學(xué)生的疑惑，而且詮釋了教材的編寫意圖——遵循幾何學(xué)習(xí)循序漸進(jìn)和螺旋上升的原則，同時(shí)展現(xiàn)了教師具有較高的理解《標(biāo)準(zhǔn)》、理解教材和理解教學(xué)的專業(yè)功底和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.手段融合，教學(xué)生成精彩

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)因巧妙設(shè)計(jì)而精致，因動(dòng)態(tài)生成而精彩，因理性思維而深刻.本節(jié)課從精選課堂教學(xué)手段和板書精心設(shè)計(jì)入手，依托整體設(shè)計(jì)和動(dòng)態(tài)生成的結(jié)構(gòu)圖（如圖3），提高了課堂教學(xué)的實(shí)效性；借助幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)驗(yàn)證平行線的幾何特征，體現(xiàn)了信息技術(shù)的優(yōu)越性；通過作業(yè)分層設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)圖（如圖4），體現(xiàn)了“雙減”政策背景下的作業(yè)設(shè)計(jì)理念；等等.這一系列手段的合理運(yùn)用，既有效體現(xiàn)了教材的編寫意圖，又將教學(xué)預(yù)設(shè)和課堂生成有機(jī)融為一體，也為數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)提供了值得借鑒的教學(xué)案例.

圖4

學(xué)生的精彩表現(xiàn)也給了我們意外驚喜.無論是教材內(nèi)容的類比學(xué)習(xí)和分組學(xué)習(xí)的合作交流，還是課堂小結(jié)的相互質(zhì)疑和作業(yè)布置的分層設(shè)計(jì)，都呈現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的核心要素，既符合學(xué)生的認(rèn)知水平，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，凸顯了學(xué)生的主體作用.

四、改進(jìn)建議

教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，也是不斷完善中的藝術(shù).盡管本節(jié)課亮點(diǎn)頻現(xiàn)，但仍存在“三過”現(xiàn)象：學(xué)生探索過程過于流暢，推理論證過程操之過急，課堂小結(jié)過程過于單一.基于此，本節(jié)課仍可以從優(yōu)化“三觀”上進(jìn)一步完善.

1.研究線索的整體觀可以進(jìn)一步優(yōu)化

一是可以進(jìn)一步通過整體性提升問題質(zhì)量.數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說，問題是數(shù)學(xué)的心臟.在基于“三線八角”回顧兩條平行直線判定方法的基礎(chǔ)上，可以提出如下更具有整體結(jié)構(gòu)的正反兩個(gè)方面的問題.

問題1：“圖形的判定”討論的是確定某種圖形需要什么條件，那么“圖形的性質(zhì)”需要研究什么問題？（研究這類圖形有怎樣的共同特性.）

問題2：根據(jù)平行線的判定方法，怎樣判斷兩條直線平行？怎樣判斷兩條直線不平行？（隱含著利用逆否命題轉(zhuǎn)換視角，導(dǎo)出平行線的性質(zhì).）

二是可以進(jìn)一步通過可視化呈現(xiàn)研究過程.在利用整體設(shè)計(jì)呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖3）的同時(shí)，還可以通過聚焦學(xué)生的認(rèn)知過程和思維過程可視化呈現(xiàn)平行線的研究路徑和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展?fàn)顩r.例如，可以用圖5表示平行線判定的研究思路（以角定線），用圖6表示平行線性質(zhì)的研究思路（以線定角），最終整合成如圖7所示的“平行線判定與性質(zhì)”的整體研究思路，既可以更直觀地總結(jié)研究過程，又可以更系統(tǒng)地呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

圖5

圖6

圖7

2.教學(xué)過程的育人觀可以進(jìn)一步優(yōu)化

一是可以進(jìn)一步突出研究過程的起承轉(zhuǎn)合.“平行線”是平面幾何圖形的重要基礎(chǔ).在此，學(xué)生將初次進(jìn)入幾何圖形系統(tǒng)研究的領(lǐng)域.此行，有著啟蒙、奠基與示范的作用.從相交線到平行線的類比思維，從判定到性質(zhì)的逆向思維，思維的遷移和發(fā)散，在此處閃耀著理性的光芒.所謂見樹木，更見森林；見貝殼，更見大海；見平行線，更見幾何圖形，更見數(shù)學(xué)的神奇與美妙，更見數(shù)學(xué)思想方法的深邃與悠遠(yuǎn).同時(shí)，還可以將“三會(huì)”目標(biāo)具體落實(shí)到平行線的學(xué)習(xí)之中——會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察幾何問題，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考幾何問題，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)幾何問題.在這種一般觀念指引下進(jìn)行幾何圖形性質(zhì)研究，更有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

二是可以進(jìn)一步展現(xiàn)研究起點(diǎn)的以退為進(jìn).“三線八角”模型特例應(yīng)該是垂直截線的情形，因此探究的起點(diǎn)可以退到這種模型特例開始，這樣更符合從特殊到一般的自然切入，可惜的是本節(jié)課居然沒有這樣做.事實(shí)上，把問題回歸到原始狀態(tài)，可讓學(xué)生學(xué)到以退為進(jìn)、逐步調(diào)整的方法和策略，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.訓(xùn)練系統(tǒng)的價(jià)值觀可以進(jìn)一步優(yōu)化

數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，正在于其思想方法、訓(xùn)練價(jià)值和育人功能的一脈相承.落實(shí)“四基”，提高“四能”，發(fā)展素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)訓(xùn)練系統(tǒng)（即對(duì)數(shù)學(xué)的例題、練習(xí)題、思考題、檢測(cè)題和作業(yè)題等的統(tǒng)稱）必須遵循的價(jià)值取向.盡管本節(jié)課的教學(xué)訓(xùn)練系統(tǒng)設(shè)計(jì)比較精細(xì)，但仍存在個(gè)別題目的表述不夠嚴(yán)謹(jǐn)之處（如不能僅用圖示完全代替題干的條件描述）.因此，只有充分挖掘教材訓(xùn)練系統(tǒng)的內(nèi)在價(jià)值，把教學(xué)訓(xùn)練系統(tǒng)設(shè)計(jì)成基于“四基”“四能”的探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，才能更好地凸顯“雙減”政策背景下的作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)訓(xùn)練系統(tǒng)的育人功能.

總之，真正高效的幾何課堂應(yīng)該達(dá)到思想方法、幾何直觀和邏輯推理的高度融合，讓思想之光、直觀之魅和理性之美閃爍于教學(xué)的全過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)之獨(dú)特的育人價(jià)值.