歷年綜合水位-流量關(guān)系曲線擬合方法分析

蘭芝梅，朱 詠，陳學(xué)林

（1.甘肅省張掖水文站,甘肅 張掖 734000；2.甘肅省水文站,甘肅 蘭州 730000）

1 前言

水文現(xiàn)代化建設(shè)主要是將先進的自動化監(jiān)測設(shè)備應(yīng)用到水文測驗中,實現(xiàn)基礎(chǔ)水文數(shù)據(jù)的自動化監(jiān)測、傳輸、分析等功能。應(yīng)用歷年綜合水位～流量關(guān)系曲線進行推流計算,是滿足流量自動化監(jiān)測的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)的綜合關(guān)系曲線率定方法主要是采用整編規(guī)范中的t 檢驗對相鄰年份實測流量數(shù)據(jù)（2 個獨立樣本）的同分布顯著性檢驗分析,將通過t 檢驗的3 年～4 年的流量數(shù)據(jù)作為繪制綜合線的依據(jù)[1-3]。為進一步保證綜合線的科學(xué)性、合理性,本研究提出采用spss 軟件中單樣本k-s 非參數(shù)檢驗和多樣本k-w 非參數(shù)檢驗對實測流量數(shù)據(jù)進行分析研究。非參數(shù)檢驗在總體分布未知時有很大的優(yōu)越性,總是比傳統(tǒng)的參數(shù)檢驗安全[4],通過非參數(shù)檢驗的歷史實測流量樣本數(shù)據(jù),表明該樣本數(shù)據(jù)總體無顯著性差異,每年的水位流量關(guān)系變化較穩(wěn)定。對于穩(wěn)定的水位流量關(guān)系,可以對其進行數(shù)學(xué)公式的選配,以一個數(shù)學(xué)方程式來表達這種水位流量關(guān)系[5]。最小二乘法曲線擬合方法是使實測值與擬合值差的平方和最小,可較準(zhǔn)確地擬合水位流量關(guān)系曲線[6]。

2 實測流量成果的非參數(shù)檢驗分析

正義峽水文站位于張掖市高臺縣羅城鄉(xiāng)天城村,是黑河中游和下游的分界點,屬國家重要水文站、省界測驗斷面,測驗斷面無明顯沖淤變化；高崖水文站位于臨澤縣板橋鄉(xiāng)土橋村以上1.5 km 處,是黑河中游的省級重要站、中央報汛站,屬縣界測驗斷面,測驗河段基本順直,河床及兩岸系礫石細沙組成,屬流沙河床,沖淤變化較大[7]。

2.1 實測流量單樣本的總體分布分析

k-s 非參數(shù)檢驗是基于連續(xù)型計量資料樣本分布未知的前提下,用樣本本身的信息來檢驗樣本來自同一個總體假設(shè)的一種統(tǒng)計檢驗方法,其原理主要是運用某隨機變量x 的順序樣本來構(gòu)造樣本分布函數(shù),使得能以一定的概率保證x 的理論分布函數(shù)Fn（x）落在某個范圍內(nèi)[8]。k-s 非參數(shù)檢驗統(tǒng)計量Dn表示樣本所有變量xi,在經(jīng)驗分布與理論分布對應(yīng)值之差的最大絕對值[9],表達式為：

根據(jù)文獻[6]提出當(dāng)樣本容量n<100 時,顯著性水平=0.05,按照由Dn的精確分布制定的D（n,α）Lilliefors 修正臨界值檢驗表查驗,當(dāng)樣本實際統(tǒng)計量Dn

表1 單樣本k-s 非參數(shù)檢驗結(jié)果

由表1 可得正義峽和高崖水文站單年實測流量樣本數(shù)據(jù)的實際統(tǒng)計量Dn均大于查表值D（n,α）,即單樣本的總體均不服從正態(tài)分布,故傳統(tǒng)方法采用t 檢驗分析率定歷年綜合線理論上不嚴(yán)密。

2.2 實測流量多樣本同分布分析

多獨立樣本k-w 檢驗用于在樣本來自的總體分布未知情況下由多個獨立樣本數(shù)據(jù)檢驗多個總體的分布是否存在顯著差異,其原理是將多組樣本數(shù)據(jù)混合后按照升序排序,求出各變量的秩,檢驗各組秩的平均值是否存在顯著差異,如果各組秩的均值不存在顯著差異,則推斷多個總體的分布無顯著差異；如果各組秩的均值存在顯著差異,則推斷多個總體的分布存在顯著差異,至少有一個樣本不同于其他樣本[10]。k-w 秩和檢驗統(tǒng)計量為：

式中：N 為總樣本量；k 為樣本組數(shù)；ni為第i 組的樣本量；Ri為第i 組樣本中的秩總和。一般數(shù)組中會存在相等秩值的情況,需按照校正系數(shù)C 進行調(diào)整：

當(dāng)每個獨立樣本中實測數(shù)據(jù)大于等于5 時,KWC接近自由度為k-1 的卡方分布,用卡方分布進行統(tǒng)計量檢驗[11]。取顯著性水平=0.05,當(dāng)實際檢驗顯著性值>0.05 時,接受原假設(shè),即多個樣本的總體分布無顯著性差異?；谝陨戏治龇椒?應(yīng)用spss 軟件中k-w 檢驗對正義峽水文站和高崖水文站7 個獨立樣本進行檢驗分析,結(jié)果見表2。

表2 多獨立樣本k-w 非參數(shù)檢驗結(jié)果

由以上檢驗結(jié)果可知,正義峽水文站基本順直河道的測驗斷面相對穩(wěn)定,歷年實測流量數(shù)據(jù)的總體分布無顯著性差異,即在水力要素變化不大的前提下,每年的水位流量關(guān)系具有穩(wěn)定性；高崖水文站基本順直河道的測驗斷面不穩(wěn)定,歷年實測流量數(shù)據(jù)的總體分布存在顯著性差異,即每年的水位流量關(guān)系會存在一定的差異,不具備率定歷年綜合關(guān)系曲線的條件。故可以采用正義峽水文站2012 年～2018 年實測流量數(shù)據(jù),率定歷年綜合水位-流量關(guān)系曲線。

3 歷年綜合水位流量關(guān)系曲線擬合

3.1 擬合數(shù)據(jù)分析

正義峽水文站2012 年～2018 年暢流期實測流量數(shù)據(jù)共239 測次,經(jīng)分析舍棄在水位～流量關(guān)系上不合理的測次11 個,實際參與分析的共228 測次。其中實測最低水位2.17 m,最高水位5.70 m,水位變幅3.53 m；實測最小流量0.123 m3/s,最大流量570 m3/s。根據(jù)文獻[12]中黑河非汛期生態(tài)需水量最小達到多年平均流量的10%,在水位低于2.44 m 時需獨立率定綜合線。綜合以上分析,采用水位高于2.44 m（共202 測次）的實測流量數(shù)據(jù)擬合暢流期的常規(guī)綜合線；水位低于2.44 m（共26 測次）的實測流量數(shù)據(jù)擬合暢流期的生態(tài)流量綜合線。

曲線擬合是指采用某種方法求出某條光滑的曲線最佳擬合數(shù)據(jù),最小二乘法的多項式擬合原理是從整體上考慮函數(shù)q（x）=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2……+a0同實測數(shù)據(jù)點（xi,yi）的誤差平方和（SSE）最小[13],即：

從幾何意義上講就是尋求與給定點（xi,yi）的距離平方和最小的函數(shù)曲線y=q（x）,具體由多元函數(shù)求解極值的方法對式（5）中多項式系數(shù)進行求解,最終得到最佳多項式擬合函數(shù)。本文衡量擬合程度的指標(biāo)為均方根（RMSE）、確定系數(shù)R-square,其表達式為：

式中：SSR 為預(yù)測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)均值之差的平方和；SST為原始數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)均值之差的平方和,確定系數(shù)越接近1,表明方程的自變量對函數(shù)的解釋能力越強。

3.2 暢流期常規(guī)歷年綜合關(guān)系曲線

參與綜合線擬合的數(shù)據(jù)點共202 個,設(shè)自變量為水位z,因變量為流量q,經(jīng)過擬合分析可得最優(yōu)擬合函數(shù)：

綜合線的RMSE=1.2978,R-square=0.9999。為滿足高水推流的要求,將擬合函數(shù)高水延伸到歷年最大實測流量值850 m3/s。擬合結(jié)果見圖1。

圖1 暢流期常規(guī)歷年綜合水位-流量關(guān)系曲線

3.3 暢流期生態(tài)流量歷年綜合關(guān)系曲線

參與綜合線擬合的數(shù)據(jù)點共26 個,由于在生態(tài)流量期對推流精度要求高,因此根據(jù)數(shù)據(jù)點的散點圖分布情況,取其中15 個率定綜合線1,剩余11 個率定綜合線2。設(shè)自變量為水位z,因變量為流量q,經(jīng)過擬合分析可得綜合線1 的最優(yōu)擬合函數(shù)：

綜合線2 的最優(yōu)擬合函數(shù)：

綜合線1 的RMSE=0.1178,R-square=0.9877；綜合線2的RMSE=0.0772,R-square=0.9938。擬合結(jié)果見圖2。

圖2 暢流期生態(tài)流量歷年綜合水位-流量關(guān)系曲線

4 誤差分析

根據(jù)《水文資料整編規(guī)范》中定線精度要求,穩(wěn)定的水位流量關(guān)系曲線應(yīng)計算實測點對關(guān)系線的隨機不確定度和系統(tǒng)誤差,且一類精度水文站的系統(tǒng)誤差絕對值小于1%；隨機不確定度小于8%。經(jīng)對前文得到的綜合水位-流量關(guān)系曲線誤差計算,可得表3。

表3 水位流量綜合關(guān)系線型定線精度

正義峽水文站2019 年1 月～2020 年4 月暢流期實測流量共5 測次,應(yīng)用本文暢流期常規(guī)歷年綜合線進行推流,可得數(shù)據(jù)對比表4。

表4 實測流量與綜合線推流對比

由表3 可得,本文擬合的綜合線定線精度符合規(guī)范要求；由表4 可得,相對誤差均小于規(guī)范要求。

5 結(jié)論與討論

5.1 結(jié)論

本文采用多樣本k-w 非參數(shù)檢驗對河床基本穩(wěn)定的正義峽和測驗斷面處河床不穩(wěn)定的高崖水文站的參與綜合線擬合的多樣本數(shù)據(jù)進行對比分析,得出正義峽水文站歷年實測流量多樣本數(shù)據(jù)的總體無顯著性差異,而高崖水文站歷年實測流量多樣本數(shù)據(jù)的總體有顯著性差異,故可以采用正義峽水文站歷年實測流量率定歷年綜合水位-流量關(guān)系曲線；按照q=f（z）函數(shù)對實測數(shù)據(jù)進行擬合分析,率定暢流期水位高于2.44 m 綜合線一條；水位低于2.44 m 的生態(tài)流量期綜合線2條,擬合指標(biāo)均較好；經(jīng)過相關(guān)檢驗誤差分析,均符合規(guī)范要求。

5.2 討論

根據(jù)本文分析結(jié)果,可得出歷年綜合線在低水期并非單一線；參與率定綜合線的樣本數(shù)據(jù)來自一個總體,在水力要素不發(fā)生大的變化前提下,關(guān)系線穩(wěn)定不變。該方法適用于測驗斷面處河床基本穩(wěn)定的天然河道。本研究擬合的歷年綜合水位-流量關(guān)系曲線為單一函數(shù)曲線,可作為流量自動化監(jiān)測的技術(shù)支撐。

不足之處：本研究只是針對暢流期進行歷年綜合關(guān)系線定線分析,沒有對非暢流期的關(guān)系線分析；測驗斷面基本穩(wěn)定,而在水位較低時會出現(xiàn)不同的歷年綜合關(guān)系線,本文并沒有對其產(chǎn)生的深層原因做分析說明。