外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)齒形設(shè)計(jì)與分析*

李建宏 王士軍 李家鵬 王 劍 徐傳法 王 冉

（山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000）

活齒傳動(dòng)是一種用來傳遞兩同軸間回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的機(jī)械傳動(dòng)，它具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比范圍廣、承載能力強(qiáng)和傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)[1]，應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)內(nèi)激波活齒傳動(dòng)的中心輪齒廓方程及特性[2?4]進(jìn)行了豐富的研究，對(duì)外激波形式的活齒傳動(dòng)研究相對(duì)較少。孫玉鑫等人[5]提出一種新型的外波式活齒減速器；宜亞麗等人[6]對(duì)擺線凸輪外激波擺桿活齒傳動(dòng)齒形進(jìn)行了探究；廖振興等人[7]研究了外激波滾柱活齒齒廓構(gòu)建與特性。豆林瑞[8]對(duì)外激波擺桿活齒傳動(dòng)做了齒形構(gòu)建與性能分析。但是目前尚未有文獻(xiàn)對(duì)外激波擺動(dòng)活齒進(jìn)行研究。

外激波相比內(nèi)激波活齒傳動(dòng)具有性能更加優(yōu)良、便于加工以及傳動(dòng)效率更高等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)其研究將會(huì)十分有意義。本文提出了外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)并對(duì)其中心輪齒形展開研究。利用外激波與擺動(dòng)活齒的等效機(jī)構(gòu)和齒廓包絡(luò)機(jī)理,推導(dǎo)出了中心輪的理論齒廓方程與實(shí)際齒廓方程,并解析了中心輪齒形變化與實(shí)際齒廓方程中各參數(shù)之間的關(guān)系。推導(dǎo)出了中心輪理論齒廓的曲率方程,并通過實(shí)例驗(yàn)證了曲率的規(guī)律性。

1 傳動(dòng)原理

如圖1所示為外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)簡圖。其結(jié)構(gòu)組成包括H外激波器、K中心輪、G活齒架、T擺動(dòng)活齒和M活齒柱銷。輸入軸與輸出軸在同一軸線上，外激波器以偏心距離S與輸入軸相連接，活齒架與輸出軸同軸線相連接，中心輪的幾何中心在輸入、輸出軸的軸線上，并固定安裝。給輸入軸一個(gè)驅(qū)動(dòng)力，輸入軸帶動(dòng)外激波器繞O旋轉(zhuǎn)。因?yàn)榇送饧げㄆ鳛槠难b置，徑向尺寸會(huì)改變，導(dǎo)致擺動(dòng)活齒繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心O2旋轉(zhuǎn)。此時(shí)，中心輪固定安裝，會(huì)反推擺動(dòng)活齒，擺動(dòng)活齒又帶動(dòng)活齒架以等角速度ωk旋轉(zhuǎn)。

圖1 外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)簡圖

以一齒差外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)為例進(jìn)行研究，根據(jù)轉(zhuǎn)角分析法得到外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)比為

式中：ZK為中心輪齒數(shù)；ZG為擺動(dòng)活齒個(gè)數(shù)。

當(dāng)ZG>ZK，即ZG?ZK=1時(shí)，，外激波器與活齒架同向；當(dāng)ZG

2 中心輪齒廓方程的建立

對(duì)外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)進(jìn)行高低副替代，并且保證替代后，機(jī)構(gòu)的自由度、運(yùn)動(dòng)情況與替代前相同。根據(jù)結(jié)構(gòu)原理和等效機(jī)構(gòu)可知：激波器為曲柄，曲柄長度為偏心距S；激波器的幾何中心O1到擺動(dòng)活齒幾何中心A為連桿b，b=R?r；擺動(dòng)活齒的幾何中心A到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O2為搖桿c；激波器轉(zhuǎn)動(dòng)中心O到擺動(dòng)活齒轉(zhuǎn)動(dòng)中心O2的距離為機(jī)架d。當(dāng)四桿機(jī)構(gòu)有這樣的關(guān)系：b=d，S=c，則等效機(jī)構(gòu)就演化成平行四邊形機(jī)構(gòu)。當(dāng)外激波器轉(zhuǎn)過角度θ1時(shí)，活齒架轉(zhuǎn)過角度θ2。則擺動(dòng)活齒幾何中心A的軌跡為中心輪的理論廓線。由圖2可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)方程，即中心輪的理論廓線方程式為

圖2 外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)的等效機(jī)構(gòu)

中心輪的理論齒廓是擺動(dòng)活齒的幾何中心掃過的曲線，而實(shí)際齒廓是理論齒廓以擺動(dòng)活齒半徑r為偏距的內(nèi)等距曲線，根據(jù)齒廓包絡(luò)機(jī)理可得中心輪的實(shí)際齒廓方程為

式中：r是活齒半徑；ξ是擺動(dòng)活齒和中心輪嚙合處公法線與Y軸的夾角，ξ可由下式求得。

設(shè)激波器偏心距S=3 mm，傳動(dòng)比，擺動(dòng)活齒半徑r=15 mm，活齒架半徑d=95 mm。運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)式（4）和式（5）編程得到中心輪的理論廓線和實(shí)際廓線，如圖3所示。此實(shí)例證明推導(dǎo)出的中心輪理論和實(shí)際齒廓方程是正確的。

圖3 中心輪理論廓線與實(shí)際廓線

3 參數(shù)對(duì)中心輪齒廓的影響

3.1 外激波器偏心距S對(duì)中心輪齒廓的影響

如圖4所示為外激波器偏心距S對(duì)中心輪齒廓的影響。從圖中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)活齒架半徑d=b=95 mm，傳動(dòng)比，擺動(dòng)活齒半徑r=15 mm，偏心距S由3 mm增加至7 mm過程中，中心輪齒廓齒頂變尖，齒根部分變凹。說明偏心距S的大小對(duì)中心輪齒廓影響較大，并且隨著S增大，會(huì)發(fā)生頂切現(xiàn)象。所以外激波偏心距S的選取不宜過大。

圖4 外激波器偏心距S對(duì)中心輪齒形的影響

3.2 活齒架半徑d對(duì)中心輪齒廓的影響

如圖5所示為活齒架半徑d對(duì)中心輪齒廓的影響。在圖中可以看到：當(dāng)偏心距S=3 mm，傳動(dòng)比，擺動(dòng)活齒半徑r=15 mm，隨著活齒架半徑d增加，中心輪的齒廓曲線變得更加平滑，曲率半徑增大，從而中心輪的接觸強(qiáng)度也有所提高。

圖5 活齒架半徑d對(duì)中心輪齒廓的影響

3.3 傳動(dòng)比對(duì)中心輪齒廓的影響

圖6 傳動(dòng)比對(duì)中心輪齒廓的影響

4 中心輪齒廓曲率分析

4.1 中心輪齒廓曲率方程推導(dǎo)

由式（4）和式（5）可以發(fā)現(xiàn)，如果直接求解中心輪齒廓曲率，計(jì)算過程極為復(fù)雜。中心輪的工作廓線為理論廓線的內(nèi)等距曲線，所以其工作廓線的曲率半徑與理論廓線的曲率半徑相差擺動(dòng)活齒的半徑r，這樣分析實(shí)際廓線曲率可以簡化為分析理論廓線曲率。

根據(jù)曲率公式可得中心輪理論廓線曲率

式中：x′，x′′分別為式（3）中x的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；y′、y′′分別為式（3）中y的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

由式（3）可以求出

代入式（6）整理得

則中心輪理論廓線的曲率半徑為：

中心輪實(shí)際廓線的曲率半徑為

其中：齒廓的凹線段取“+”，齒廓的凸線段取“?”。

4.2 中心輪齒廓曲率分析實(shí)例

設(shè)外激波擺動(dòng)活齒傳動(dòng)齒形設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示，根據(jù)式（3）和式（7），利用MATLAB軟件編程計(jì)算，得到圖7所示中心輪理論齒廓曲率變化規(guī)律圖。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)

圖7 中心輪理論齒廓曲率變化規(guī)律圖

從圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)：中心輪理論齒廓曲率在齒頂位置達(dá)到最大值0.035 7，在齒根位置達(dá)到最小值?0.002 7。得到最大曲率值后可以判斷中心輪齒廓是否與擺動(dòng)活齒發(fā)生干涉。

圖8 中心輪實(shí)體曲率分析圖

故可以判斷以上中心輪齒廓符合要求。

5 結(jié)語

利用外激波與擺動(dòng)活齒的等效機(jī)構(gòu)和齒廓包絡(luò)機(jī)理，推導(dǎo)出了中心輪的理論齒廓方程與實(shí)際齒廓方程，并對(duì)中心輪齒形展開研究，得到以下結(jié)論。

（1）其他參數(shù)不變，外激波偏心距S由3 mm增加至7 mm過程中，中心輪齒廓齒頂變尖，齒根部分變凹。說明偏心距S的大小對(duì)中心輪齒廓影響較大，并且隨著S增大，會(huì)發(fā)生頂切現(xiàn)象。所以外激波偏心距S的選取不易過大。

（2）其他參數(shù)不變，隨著活齒架半徑d增加，中心輪的齒廓變得更加平滑，接觸強(qiáng)度會(huì)得到增強(qiáng)。

（3）其他參數(shù)不變，當(dāng)擺動(dòng)活齒個(gè)數(shù)ZK增大時(shí)，中心輪齒廓齒頂逐漸變尖，曲率半徑減小。

（4）根據(jù)曲率公式推導(dǎo)出中心輪理論齒廓的曲率和曲率半徑公式，進(jìn)而得到工作廓線的曲率半徑公式。并通過實(shí)例分析了齒廓曲率的變化規(guī)律，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的中心輪齒廓符合要求。