五維洛倫茲型憶阻混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)

劉 興 策， 劉 俊 俏

(大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116034)

0 引 言

混沌是一種普遍存在于自然界中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它具有很多值得研究的特性，比如：對(duì)初始條件敏感性、變化具有隨機(jī)性、長期行為具有不可預(yù)測(cè)性?；煦缭诤暧^上雖呈現(xiàn)出無規(guī)則的狀態(tài)，但其本質(zhì)是一種有序運(yùn)動(dòng)?；煦缱鳛榉蔷€性科學(xué)中的一門前沿課題[1-3]，其理論主要起源于對(duì)Lorenz系統(tǒng)和Chua系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和研究[4-5]。洛倫茲系統(tǒng)是美國氣象學(xué)家洛倫茲在模擬天氣這一非周期性現(xiàn)象時(shí)確定的，根據(jù)其研究結(jié)果可以得出結(jié)論：初期微小的差別隨著時(shí)間推移差別會(huì)越來越大[6-8]。正是這一理論，使洛倫茲系統(tǒng)在非線性系統(tǒng)的研究中具有舉足輕重的地位[9-13]。

眾所周知，非線性元件是混沌電路中必不可少的一部分。而憶阻器就是非線性元件中的代表。1971年，Chua[14]基于變量組合的完備性原則預(yù)測(cè)了憶阻器的存在。1976年，Chua等[15]進(jìn)一步闡述了憶阻器的組成原理和應(yīng)用特點(diǎn)，并且說明了憶阻器分為磁控憶阻器和荷控憶阻器。由于一直沒有發(fā)現(xiàn)具有記憶特性的元件，憶阻器的研究一直沒有得到科學(xué)界和工程界的重視。2008年，惠普實(shí)驗(yàn)室首次完成了納米憶阻器的實(shí)現(xiàn)，對(duì)憶阻器的研究取得了巨大的進(jìn)步[16-19]。納米憶阻器件的出現(xiàn)有望實(shí)現(xiàn)非易失性隨機(jī)存儲(chǔ)器，并且基于憶阻的隨機(jī)存儲(chǔ)器的集成度、功耗、讀寫速度都要比傳統(tǒng)的隨機(jī)存儲(chǔ)器優(yōu)越。憶阻器是硬件實(shí)現(xiàn)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)突觸的最好方式?？梢姡瑧涀杵髟诨煦缪芯恐械闹匾訹20]。

混沌研究雖然歷史久遠(yuǎn)，但將憶阻器應(yīng)用于混沌卻是近些年來的一個(gè)研究熱點(diǎn)。Muthuswamy等[21]通過用憶阻器來替換Chua電路中的蔡氏二極管，在2008年第一次運(yùn)用憶阻器構(gòu)建了混沌系統(tǒng)，并對(duì)該電路進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析與數(shù)值仿真。2012年包伯成等[22]將Chua電路中的蔡氏二極管用有源憶阻器模型替代，得到的新混沌振蕩電路與傳統(tǒng)意義上的混沌電路有很大的不同，包含一些特殊的動(dòng)力學(xué)行為如混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)移等。研究發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)的混沌電路相比，憶阻混沌電路具有更復(fù)雜的混沌特性。系統(tǒng)除了對(duì)電路參數(shù)體現(xiàn)出敏感性外，還依賴于憶阻器的初始值[23-25]。隨著憶阻器階數(shù)的增加，憶阻混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為就會(huì)變得更加復(fù)雜。由憶阻混沌電路產(chǎn)生的混沌信號(hào)也具有更強(qiáng)的偽隨機(jī)性，這些特性使其在傳統(tǒng)的混沌應(yīng)用領(lǐng)域混有著更廣闊的應(yīng)用前景[26-28]。因此研究設(shè)計(jì)更優(yōu)越的憶阻混沌電路對(duì)信息加密和混沌保密通信等各個(gè)領(lǐng)域有著非常重要的實(shí)際意義。

基于憶阻混沌系統(tǒng)對(duì)憶阻器初值敏感性以及在引入憶阻器后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為復(fù)雜度增加并且系統(tǒng)的穩(wěn)定性也會(huì)改變的特點(diǎn)[29]。本研究設(shè)計(jì)了一種五維洛倫茲型憶阻混沌系統(tǒng)。由于在系統(tǒng)中引入了憶阻器，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得更加復(fù)雜。通過在DSP平臺(tái)上進(jìn)行完整的動(dòng)態(tài)分析與實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證了憶阻混沌電路的有效性。其簡(jiǎn)單的電路結(jié)構(gòu)為憶阻混沌系統(tǒng)的分析提供了一種新的研究方法。

1 憶阻器模型

包伯成教授提出的一種新型磁控憶阻器，可以表示為

(1)

電壓與電流之間的伏安關(guān)系可以表示為

(2)

式中：W(φ)為該憶阻器的憶導(dǎo)，表示電荷與磁通量的關(guān)系，單位為西門子。

W(φ)=α+β|φ|

(3)

式中：α和β為憶阻器的系數(shù)；φ為憶阻器的磁通量；vs為交流電壓源，表示為vs=Asin(2πft)，其中A為電壓幅值，f為頻率，正弦交流電壓源vs為憶阻器的輸入端，式(3)中的α=0，β=1。當(dāng)A=19，f分別為5、50 Hz時(shí)，憶阻器的伏安特性曲線如圖1所示。當(dāng)使用正弦交流激勵(lì)時(shí)，憶阻器的伏安關(guān)系圖是一個(gè)通過原點(diǎn)的閉合的“8”字曲線。隨著f的增加，曲線的旁瓣的面積逐漸減小，這符合憶阻器的基本特性。

(a)f=5 Hz

2 混沌系統(tǒng)

2.1 混沌電路

一種新型的洛倫茲型混沌電路原理如圖2(a)所示，圖中的GM是一種新型的憶阻器，其電路原理圖如圖2(b)所示。

(a)主電路圖

電路中各個(gè)元件的取值如表1所示：

表1 電路元件取值表

圖2中的理想磁控憶阻器由電壓從動(dòng)器、反向積分電路、絕對(duì)值電路，乘法器和電阻等組成，其數(shù)學(xué)模型通過分析輸入電壓和輸出電流之間的關(guān)系，可以很容易地得到憶阻器輸出電流(i)與輸入電壓(vs)的關(guān)系可以表示為

(4)

式中：vw為理想磁控憶阻器的內(nèi)部變量，g1為乘法器A0的增益，其中k=g1R1/R2，并且憶導(dǎo)W(vw)=kvw/R1。

如圖2(a)所示的混沌電路，根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律以及各元件基本特性，可以得出系統(tǒng)方程為

(5)

式中：vx、vy、vz、vu是4個(gè)電路變量，vw是理想磁控憶阻器內(nèi)部變量，g1、g2、g3是乘法器A1、A2、A3的增益，對(duì)方程進(jìn)行無量綱化處理可得

(6)

當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)a=-10，b=-10，c=8，初始條件為(1，1，0，0，0)，時(shí)間步長為0.01秒，計(jì)算出該參數(shù)條件下4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)分別為L1=0.696 6，L2=0，L3=-0.167 1，L4=-2.632 1，L5=-20.896 9。對(duì)其進(jìn)行仿真得到的混沌吸引子相圖如圖3所示。

(a)x-y平面

改變系統(tǒng)參數(shù)a、b、c并保持初始條件與步長不變，得到以下兩類混沌吸引子相圖，如圖4、圖5所示。

(a)x-y平面

(a)x-y平面

2.2 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分析

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以得到系統(tǒng)的散度可以表示為

a-c-5-1

(7)

令系統(tǒng)參數(shù)a=-10，b=-10，c=8，初值設(shè)為(1，1，0，0，0)，系統(tǒng)的散度小于零，這意味著系統(tǒng)是耗散的，并且系統(tǒng)可能存在混沌吸引子。令系統(tǒng)方程組式(6)中的各式等于零，可以得到系統(tǒng)平衡點(diǎn)E(0，0，0，0，0)，根據(jù)平衡點(diǎn)可以得到Jacobian矩陣為

(8)

其特征多項(xiàng)式可以表示為

P(λ)=λ5+13λ4-460λ3+393.559 3λ2+

18 000.009 2λ

(9)

由特征方程可計(jì)算出特征值為λ1=0，λ2=5，λ3=-8，λ4=-26.794 5，λ5=16.794 5。由特征方程可知，其系數(shù)a0=0，a1=18 000.009 2，a2=393.559 3，a3=-460，a4=13，a5=1。根據(jù)勞斯赫爾維茲判據(jù)可得，勞斯表中第一列有符號(hào)變換，變化的次數(shù)等于復(fù)平面右半平面根的個(gè)數(shù)，所以平衡點(diǎn)E(0，0，0，0，0)是不穩(wěn)定的。

2.3 參數(shù)a和c對(duì)系統(tǒng)的影響

本系統(tǒng)為五維混沌系統(tǒng)，將分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜結(jié)合進(jìn)行分析，可得其不同參數(shù)下所處的狀態(tài)。以參數(shù)a和c作為變量，初值為(1，1，0，0，0)，步長h=0.01，固定方程的剩余參數(shù)，通過改變參數(shù)a和c來觀察混沌系統(tǒng)不同的狀態(tài)。

取參數(shù)a∈[-10，1]，令b=-10，c=8，李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖如圖6所示。對(duì)比李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖可得二者可以一一對(duì)應(yīng)。由圖6可知，當(dāng)a取-8.25、-8.15和0時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1=0，系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)為極限環(huán)狀態(tài)。其他時(shí)候，最大李雅普諾夫指數(shù)L1始終大于0，L2=0，并且其他李雅普諾夫指數(shù)都小于0，所以此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。

(a)李雅普諾夫指數(shù)譜

圖7為取參數(shù)c=8，b=-10，a分別取-8.25、-8.15、0和-8時(shí)x-y的相圖，當(dāng)a取-8.25、-8.15和0時(shí)，相圖表現(xiàn)為極限環(huán)狀態(tài)，由李雅普諾夫指數(shù)譜可知，此時(shí)系統(tǒng)有4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)小于0，一個(gè)等于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)a取-8時(shí)，相圖為混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)中有三個(gè)小于0，一個(gè)等于零，一個(gè)大于0，處于混沌狀態(tài)。經(jīng)過分析可知，相圖與上文所示分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜完全對(duì)應(yīng)。

(a)a=-8.25

取參數(shù)c∈[0，18]、a=-10、b=-10，該條件下李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖如圖8所示。對(duì)比李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖可得二者一一對(duì)應(yīng)。當(dāng)c∈[0，0.55]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1等于0，分岔圖中也表現(xiàn)出周期口，所以系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)為極限環(huán)。當(dāng)c=0.55時(shí)，系統(tǒng)開始出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。當(dāng)c∈[0.55，8.85]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1大于0，并且沒有其他指數(shù)大于0，此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。當(dāng)c∈[8.85，8.9]，最大李雅普諾夫指數(shù)L1等于0，系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)為極限環(huán)。當(dāng)c∈[8.9，16.9]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1大于0，并且沒有其他指數(shù)大于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。當(dāng)c∈[16.9，18]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1等于零，其余各項(xiàng)均小于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為極限環(huán)狀態(tài)。

(a)李雅普諾夫指數(shù)譜

圖9為參數(shù)a=-10，b=-10，c分別取0.45、6、8.85、15和17.4時(shí)x-y的相圖，當(dāng)c分別取0.45、8.85和17.4時(shí)，相圖為極限環(huán)，由李雅普諾夫指數(shù)譜可知，此時(shí)系統(tǒng)有四個(gè)李雅普諾夫指數(shù)小于0，一個(gè)等于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)c取5和15時(shí)，相圖均為混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)中有三個(gè)小于0，一個(gè)等于零，一個(gè)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。經(jīng)過分析可知，相圖與上文所示分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜完全對(duì)應(yīng)。

(a)c=0.45

2.4 系統(tǒng)復(fù)雜度分析

復(fù)雜性的研究涉及各個(gè)領(lǐng)域，各領(lǐng)域?qū)W者對(duì)復(fù)雜性的認(rèn)識(shí)也不一樣，到目前為止，尚無統(tǒng)一的復(fù)雜性概念?；煦缦到y(tǒng)復(fù)雜度是指采用相關(guān)算法衡量混沌序列接近隨機(jī)序列的程度，復(fù)雜度值越大，序列越接近隨機(jī)序列，相應(yīng)的安全性也就越高。從本質(zhì)上來講，混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度屬于混沌動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性研究范疇。

復(fù)雜度分析包含行為復(fù)雜度和結(jié)構(gòu)復(fù)雜度，行為復(fù)雜度是指從混沌序列本身出發(fā)，利用一定方法度量短時(shí)間窗口內(nèi)序列產(chǎn)生新模式概率的大小，產(chǎn)生新模式概率越大則序列越復(fù)雜。目前，計(jì)算混沌偽隨機(jī)序列行為復(fù)雜度的算法比較多，且均以Kolmogorov方法和香農(nóng)熵為基礎(chǔ)，這類算法計(jì)算速度快，且結(jié)果比較準(zhǔn)確，但是如果選取的維數(shù)過高或者偽隨機(jī)序列符號(hào)空間過大時(shí)，計(jì)算結(jié)果會(huì)溢出，甚至得不到結(jié)果。結(jié)構(gòu)復(fù)雜度是指通過變換域內(nèi)頻率特性、能量譜特性等來分析序列的復(fù)雜程度，序列變換域內(nèi)能量譜分布越均衡，表示原序列越接近隨機(jī)信號(hào)，即序列復(fù)雜性越大，結(jié)合香農(nóng)熵概念即可計(jì)算出相應(yīng)的譜熵值。結(jié)構(gòu)復(fù)雜度對(duì)變換域能量特征進(jìn)行分析，其針對(duì)的是序列的全部而不是局部，因而與行為復(fù)雜度算法相比，其結(jié)果具有全局統(tǒng)計(jì)意義。本研究利用SE算法和C0算法對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度進(jìn)行分析。

SE(譜熵)算法主要采用傅立葉變換，通過傅立葉變換域內(nèi)能量分布，結(jié)合香農(nóng)熵得出譜熵值。C0算法主要是將序列分解為規(guī)則和不規(guī)則部分，對(duì)其中非規(guī)則部分比例進(jìn)行測(cè)量得到結(jié)果。以參數(shù)c作為變量對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜度進(jìn)行分析，取參數(shù)b=-10，a=-10，c∈[0，18]時(shí)，仿真結(jié)果如圖10所示。

(a)C0復(fù)雜度

由圖10分析可知，SE算法和C0算法具有高度的同步性，當(dāng)c<0.55時(shí)，系統(tǒng)處于極限環(huán)狀態(tài)，當(dāng)c∈[0.55，8.85]時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)c∈[8.85，8.9]時(shí)，系統(tǒng)處于極限環(huán)狀態(tài)，當(dāng)c∈[8.9，17.4]時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)c>17.4時(shí)，系統(tǒng)退化為極限環(huán)狀態(tài)。通過分析SE復(fù)雜度圖和C0復(fù)雜度圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)處于周期態(tài)時(shí)復(fù)雜度處于低點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài)時(shí)復(fù)雜度明顯增大，所呈現(xiàn)出的結(jié)果與圖8所示李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖相吻合。

2.5 吸引子共存

吸引子共存是一種特殊的現(xiàn)象，主要出現(xiàn)在一些特殊的混沌系統(tǒng)中。在研究非線性系統(tǒng)中，有不可或缺的作用。當(dāng)保持系統(tǒng)參數(shù)不變，而初始值發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)軌道可逐漸趨向于點(diǎn)、擬周期、周期或混沌等不同的狀態(tài)。為了探究這一特殊現(xiàn)象，令a=-10，b=-10，c=5，隨著初始值的變化，可以觀察到系統(tǒng)狀態(tài)的變化。數(shù)值模擬結(jié)果如圖11所示，圖中藍(lán)色部分表示初始值為(1，2，3，4，10)，圖中紅色部分表示初始值為(1，0，3，4，1)。

圖11 吸引子共存圖

3 系統(tǒng)DSP實(shí)現(xiàn)

由于混沌系統(tǒng)在使用模擬電路實(shí)現(xiàn)時(shí)容易受到外部擾動(dòng)影響，所以在實(shí)際電路中的相關(guān)特征條件較難準(zhǔn)確控制。遂在DSP平臺(tái)上對(duì)本系統(tǒng)進(jìn)行仿真，使用DSP實(shí)現(xiàn)表現(xiàn)出的混沌現(xiàn)象將更加穩(wěn)定。本研究使用的DSP仿真芯片為f28335，分別設(shè)定參數(shù)a、b、c，得到如圖12所示的圖像。

(a)a=-10，b=-10，c=8

4 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了一個(gè)五維洛倫茲型憶阻混沌電路，并介紹了其無量綱數(shù)學(xué)模型。在該混沌系統(tǒng)的研究中發(fā)現(xiàn)了三種不同的混沌吸引子。通過分析系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜、分岔圖、復(fù)雜度了解到本系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而表現(xiàn)出了高度的復(fù)雜性和敏感性。通過數(shù)值模擬，觀察到了混沌吸引子共存這一特殊現(xiàn)象。在DSP平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了該電路，并在DSP平臺(tái)上驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果的一致性。由于這些豐富的動(dòng)力學(xué)行為，這種新的洛倫茲型混沌系統(tǒng)在信息加密和安全通信等方面具有良好的應(yīng)用前景。