用q-差分算子定義的某些解析函數(shù)的性質(zhì)

王 波,劉金林

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

0 引言

q-微積分由其重要的應(yīng)用而影響了一些其他學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展,許多學(xué)者在這方面上做了大量研究.F.H. Jackson[1-2]引入并研究了q-導(dǎo)數(shù)和q-積分,H.M. Srivastava[3]在幾何函數(shù)理論中利用q-微積分引入q-超幾何函數(shù),G. Gasper等[4]研究并定義了基本超幾何級(jí)數(shù).最近,一些學(xué)者[5-16]研究了用算子定義的解析函數(shù)的性質(zhì).在上述研究的基礎(chǔ)上,本文利用q-差分算子和Janowski函數(shù)[17]定義多葉解析函數(shù)的一個(gè)新子類,給出類中函數(shù)的充分必要條件、系數(shù)估計(jì)、偏差定理、增長定理、凸性半徑、星形性半徑等幾何性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Ap表示在單位圓D={z∈C:|z|<1}內(nèi)解析且形如

的函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)類.特別地,當(dāng)p=1時(shí),記A=A1.

設(shè)f(z)和g(z)在單位圓D內(nèi)解析,若存在Schwarz函數(shù)w(z),使得g(z)=f(w(z))(z∈D),則稱g(z)從屬于f(z),記為g(z)f(z).特別地,若f(z)是單葉解析函數(shù),則g(z)f(z)?g(0)=f(0),g(D)?f(D).

定義1設(shè)函數(shù)p(z)在D內(nèi)解析,p(0)=1.若p(z)(1+Az)/(1+Bz)(-1≤B

定義2設(shè)q∈(0,1),定義q-數(shù)如下:

特別地,當(dāng)λ=0時(shí),記[0]q=0.

定義3設(shè)q∈(0,1),f′(0)存在,定義q-差分算子

從定義3可以看出

其中[p]q=(1-qp)/(1-q)=1+q+q2+…+qp-1.

定義4設(shè)f(z)∈Ap,-1≤B

則稱f(z)∈Sp,q(α,A,B).

由定義4可得如下等價(jià)關(guān)系:

([p]q[p-1]qf(z)))|<1.

(1)

特別地,當(dāng)參數(shù)α、A、B、q、p取特定值時(shí),Sp,q(α,A,B)分別為4個(gè)已知重要函數(shù)類:

(iv)當(dāng)α=0,A=1,B=-1,q→1-,p=1時(shí),f(z)∈S*,S*表示單葉星形函數(shù)類.

2 主要結(jié)果

(2)

證假設(shè)不等式(2)成立,要使f(z)∈Sp,q(α,A,B),只需不等式(1)成立.由于

從而f(z)∈Sp,q(α,A,B).

反之,若f(z)∈Sp,q(α,A,B),由定義4知,f(z)滿足不等式(1),即

(3)

因?yàn)椴坏仁?3)對(duì)所有的z∈D均成立,所以令z=Rez→1-可得不等式(2).

綜上所述,定理1得證.

由定理1得到如下系數(shù)估計(jì).

|ap+n|≤(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q/((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q)(n=1,2,…).

結(jié)果是精確的,極值函數(shù)為

f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+n/

((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).

[p]qrp-1-τ1rp≤|?qf(z)|≤[p]qrp-1+τ1rp,

其中τ1=(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q[p+1]q/

((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).結(jié)果是精確的,極值函數(shù)為

f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+1/

((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).

因?yàn)閨z|=r<1,所以rp+n-1≤rp,故

(4)

同理可得

(5)

因?yàn)閒(z)∈Sp,q(α,A,B),所以,由定理1得

從而

因此

從而

(6)

將式(6)代入式(4)和式(5),定理2得證.

利用定理2的證明方法可以得到如下增長定理.

rp-τ2rp+1≤|f(z)|≤rp+τ2rp+1,

其中τ2=(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q/((1+B)·[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)·[p]q[p-1]q).結(jié)果是精確的,極值函數(shù)為

f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+1/

((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)·(1+A)[p]q[p-1]q).

有f(z)∈Cp(σ).

證設(shè)f(z)∈Sp,q(α,A,B),要使f(z)∈Cp(σ),只需

(1+zf″(z)/f′(z)-σ)/(p-σ)(1+z)/(1-z),0≤σ

上式等價(jià)于|(zf″(z)-(p-1)f′(z))/(zf″(z)+(1-2σ+p)f′(z))|<1,化簡后得

(7)

由不等式(2)得

因此,若不等式(7)成立,則只需

即

|z|n

也就是

|z|<(p(p-σ)((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q)/((p+n)(n+p-σ)(1-α)(A-B)[p]q·[p-1]q))1/n.

定理4得證.

利用定理4的證明方法可得到在Sp,q(α,A,B)中函數(shù)的星形性半徑.

3 結(jié)束語

q-微積分在經(jīng)典的幾何函數(shù)論中有著廣泛應(yīng)用,如通過q-微積分研究q-超幾何函數(shù)級(jí)數(shù).本文利用q-差分算子和Janowski函數(shù)引入多葉解析函數(shù)的一個(gè)新子類,通過給出該類子族解析函數(shù)的充分必要條件,得到了該類子族的系數(shù)估計(jì)、偏差定理、增長定理和星形半徑等幾何性質(zhì).