一種可重構(gòu)3?RRR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其工作空間分析

徐 帥，尤晶晶,2，葉鵬達(dá)，李成剛，沈惠平

（1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，南京 210037；2.南京航空航天大學(xué)江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016；3.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016；4.常州大學(xué)機(jī)械與軌道交通學(xué)院，常州 213016）

“Robots”一詞最早誕生于20 世紀(jì)20 年代，作為20 世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，機(jī)器人在生產(chǎn)生活及其他各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)成為一個(gè)國家的重要發(fā)展目標(biāo)。智能機(jī)器人作為其中的一種典型產(chǎn)物，在滿足自主設(shè)計(jì)、制造的同時(shí)，又要能完成復(fù)雜危險(xiǎn)的任務(wù)，如焊接［1］、智能感知［2］和飛行器模擬［3］等。與此同時(shí)，傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，因機(jī)構(gòu)構(gòu)型的形式單一、功能簡單且適應(yīng)的工作環(huán)境相對固定，已經(jīng)很難滿足任務(wù)的需求［4］。而環(huán)境適應(yīng)能力強(qiáng)與構(gòu)型可變的重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，成為了學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題［5］。當(dāng)前，實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)器人重構(gòu)的方法有4種：（1）切換主動(dòng)與被動(dòng)副模式［6］；（2）施加關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)約束［7］；（3）改變運(yùn)動(dòng)副軸線方向［8］；（4）鎖合運(yùn)動(dòng)副［9］?；诖耍疚牟捎昧朔椒ǎ?）的思想，設(shè)計(jì)了一種可重構(gòu)支鏈，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)自由度或運(yùn)動(dòng)特性的改變。然而，并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)上存在支鏈干涉和運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角約束的限制，導(dǎo)致動(dòng)平臺轉(zhuǎn)動(dòng)能力差和環(huán)境適應(yīng)能力弱等問題。少自由度并聯(lián)機(jī)器人由于驅(qū)動(dòng)少、結(jié)構(gòu)緊湊和結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，吸引了國內(nèi)外學(xué)者的研究［10］，其中，三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)最為典型。工作空間可以反映出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能，是進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的重要依據(jù)，也是進(jìn)行尺度綜合的基礎(chǔ)。因此，研究并聯(lián)機(jī)器人的工作空間具有十分重要的意義。

目前，數(shù)值法與迭代搜索法是求解工作空間常用的兩種方法。文獻(xiàn)［11］提出了一種具有平轉(zhuǎn)解耦特性的3 球副移動(dòng)副球副+3（球副移動(dòng)副-虎克鉸鏈）（3 spherical-joint，prismatic-joint，spherical-joint+3（spherical-joint，prismatic-joint-universal-joint），3SPS+3（SP-U））六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)合柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)空間及支鏈行程范圍，采用邊界離散點(diǎn)搜索法，得到了機(jī)構(gòu)的位置和姿態(tài)可達(dá)工作空間。文獻(xiàn)［12］以4-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，運(yùn)用數(shù)值法求解并繪制了機(jī)構(gòu)的工作空間。文獻(xiàn)［13］提出了一種新型可重構(gòu)3-RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用一個(gè)簡單的4桿機(jī)構(gòu)，結(jié)合桿長約束條件繪制了機(jī)構(gòu)的工作空間。文獻(xiàn)［14］提出一種可繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的2-移動(dòng)副可繞轉(zhuǎn)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)副球副+移動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)副可按需要工作或鎖定 的 移 動(dòng) 副（2-prismatic-joint r-revolute-joint spherical-joint+prismatic-joint revolute-joint locked prismatic-joint spherical-joint，2-PrRS+PR（P）S）變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用Monte Carlo 法得到該機(jī)構(gòu)的工作空間點(diǎn)云圖。文獻(xiàn)［15］基于機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦原理，提出了一種1-轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)副+2-轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)副（1-revolute-joint revolute-joint revolute-joint revolute-joint+2-revolute-joint revolute-joint revolute-joint，1-RRRR+2-RRR）并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解數(shù)學(xué)模型，基于邊界離散法得到了機(jī)構(gòu)的工作空間。

本文提出了一種新型可重構(gòu)三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。首先，利用運(yùn)動(dòng)副的鎖合模式，實(shí)現(xiàn)3-RPR 型與3-RRR 型機(jī)構(gòu)之間的切換；然后，以3-RRR 構(gòu)型為例，基于方位特征（Position and orientation characteristic，POC）方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)方法［16］，對該構(gòu)型進(jìn)行了拓?fù)涮匦苑治?。其次，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，繪制了3-RRR 機(jī)構(gòu)的位置工作空間。最后，基于桿長配比法，分析桿長行程變化對機(jī)構(gòu)工作空間的影響。

1 三自由度構(gòu)型設(shè)計(jì)

典型3-RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖和模型圖，分別如圖1、2 所示。它分別由正三角形形狀的動(dòng)平臺0、定平臺1 以及3 條結(jié)構(gòu)相同的有序單開鏈（Single open chain，SOC）構(gòu)成，且3 個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈通常采用等邊三角形對稱布置，其中，每條SOC又由1 個(gè)移動(dòng)副與固結(jié)于兩端的轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)而成，可表示為-A⊥P⊥C?（其中，⊥表示垂直，A、C為轉(zhuǎn)動(dòng)副，P為移動(dòng)副）。

圖1 3-RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic diagram of 3?RPR planar parallel mechanism

圖2 3-RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Structural model of 3-RPR planar parallel mechanism

為了實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的重構(gòu)，本文提出了一種可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)副鎖合的可重構(gòu)支鏈。不失一般性地，所提出的可重構(gòu)支鏈驅(qū)動(dòng)方式是依靠電機(jī)驅(qū)動(dòng)，為了突出機(jī)構(gòu)學(xué)原理，這里省略了驅(qū)動(dòng)部件改為人為切換，簡化后的結(jié)構(gòu)模型如圖3 所示。它主要由連桿1 與連桿2 兩部分組成，其中，連桿2 主要由內(nèi)套筒、外套筒和轉(zhuǎn)換套筒構(gòu)成［17］。

圖3 可重構(gòu)支鏈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of reconfigurable branch chain structure

將連桿1 放置在內(nèi)套筒的U 形插槽中，并通過螺栓和螺母連接，內(nèi)套筒與外套筒通過螺紋進(jìn)行傳動(dòng)。外套筒右端設(shè)置有凹槽，轉(zhuǎn)換套筒左端設(shè)置有凸緣，凸緣放置在外套筒凹槽處。轉(zhuǎn)換套筒與外套筒之間放置深溝球軸承，以保證相互之間獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)，采用擋環(huán)進(jìn)行軸向定位。

所設(shè)計(jì)的可重構(gòu)支鏈具有2 種運(yùn)動(dòng)副模式：當(dāng)連桿1 與內(nèi)套筒通過螺栓與螺母緊配合時(shí)，旋轉(zhuǎn)外套筒，帶動(dòng)轉(zhuǎn)換套筒一起移動(dòng)，此時(shí)支鏈為移動(dòng)副模式。當(dāng)連桿1 與內(nèi)套筒松配合時(shí)，此時(shí)支鏈為轉(zhuǎn)動(dòng)副模式。

綜上所述，將兩種運(yùn)動(dòng)副模式分別應(yīng)用在支鏈上，可得兩類三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。即3 條支鏈同時(shí)設(shè)置為移動(dòng)副模式，可得到一種3-RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)簡圖如圖1 所示；同理，設(shè)置為轉(zhuǎn)動(dòng)副模式，可得到一種3-RRR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)簡圖如圖4 所示。

圖4 可重構(gòu)三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.4 Schematic diagram of reconfigurable 3-DOF planar parallel mechanism

區(qū)別于一般的3-RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)不局限于一種工作模式。當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)奇異或工作環(huán)境發(fā)生改變，可轉(zhuǎn)換為其他構(gòu)型解決上述問題：如3-RRR 構(gòu)型。

傳統(tǒng)3-RRR 機(jī)構(gòu)的桿件為固定長度，本文設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)的從動(dòng)桿桿長可在一定的范圍內(nèi)變動(dòng)，即為一種移動(dòng)副裝置。以構(gòu)型3-RRR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，詳細(xì)分析機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征及工作空間。

2 3?RRR 構(gòu)型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

方位特征集方法運(yùn)算較為簡單，易操作且物理意義明確，適用于無過約束機(jī)構(gòu)和一般過約束機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)?；跈C(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，可確定機(jī)構(gòu)連續(xù)運(yùn)動(dòng)的拓?fù)涮卣?，這些特征也是與運(yùn)動(dòng)學(xué)性能密切相關(guān)的非線性特征，如機(jī)構(gòu)的POC、自由度（Degree-of-freedom，DOF）、耦合度等［18］。

2.1 機(jī)構(gòu)的POC 集

用拓?fù)鋵W(xué)符號來描述機(jī)構(gòu)，可將機(jī)構(gòu)中3 條支鏈用3 個(gè)單開鏈支路3-SOC｛?R|R|R-｝表示，即可通過支路中運(yùn)動(dòng)副的維數(shù)來反映平面機(jī)構(gòu)的POC 集。

式中：SM為運(yùn)動(dòng)副的POC 集；JiM為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的POC 集；m為運(yùn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)；PM為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC 集；v為獨(dú)立回路數(shù)；bMj為第j條支鏈末端的POC 集。

轉(zhuǎn)動(dòng)副的POC 集為R M=[t1；r1]，據(jù)此，建立回路、機(jī)構(gòu)的 POC 集。 對于支鏈 SOC1｛-A1|B1|C1-｝，有

同理，SOC2與SOC3的POC 集分別為

進(jìn)一步，確定機(jī)構(gòu)的POC 集為

2.2 機(jī)構(gòu)的DOF

具有v個(gè)獨(dú)立回路的機(jī)構(gòu)可視為由（v+1）條支鏈組成，因此可確定機(jī)構(gòu)v的個(gè)數(shù)為2。進(jìn)一步，可確定該回路與機(jī)構(gòu)的自由度。確定SOC1與SOC2組成的第1 回路LOOP1：｛-A1|B1|C1|C2|B2|A2-｝的自由度為

由LOOP1與SOC3構(gòu)成的第2 回路LOOP2：｛-A3|B3|C3-｝，可確定機(jī)構(gòu)的自由度為

2.3 機(jī)構(gòu)的耦合度

根據(jù)有序SOC 的機(jī)構(gòu)組成原理［19］，該機(jī)構(gòu)的兩個(gè)單開鏈回路約束度，可通過回路1、2 分別求出。

機(jī)構(gòu)的耦合度為

這樣，該機(jī)構(gòu)包含1 個(gè)SKC，機(jī)構(gòu)的耦合度κ=1。

2.4 位置反解模型

2.4.1 機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系建立及其參數(shù)標(biāo)注

建立機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系及其參數(shù)的標(biāo)注，如圖4 所示。該機(jī)構(gòu)定平臺1 上3 個(gè)頂點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)副幾何中心分別記作A1、A2和A3，動(dòng)平臺0 上3 個(gè)頂點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)副幾何中心分別記作C1、C2和C3。P為動(dòng)平臺外接圓的圓心，其半徑為a；O為定平臺的外接圓圓心，其半徑為b，O?xy為全局坐標(biāo)系，x軸平行于lA1A2，y 軸垂直于lA1A2。其姿態(tài)角γ為lC1C2與x軸正向的轉(zhuǎn)角，驅(qū)動(dòng)桿桿長Ai Bi=l1（i=1，2，3，下同。），從動(dòng)桿桿長Bi Ci=l2，θi、βi分別為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)角與從動(dòng)角。

2.4.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，就是利用機(jī)構(gòu)的姿態(tài)反求各桿件的位置和姿態(tài)［20］。對于3-RRR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，即用表示動(dòng)平臺位姿的3 個(gè)輸出參數(shù)xp、yp及γ，求輸入角θi。已知定平臺的邊長，由幾何關(guān)系可確定A1、A2、A3點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

C1、C2、C3在定坐標(biāo)系中分別表示為

由于3-RRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺ΔC1C2C3在平面x y內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)具有對稱性，因此選取一條支鏈對其分析，其他兩條支鏈原理上相同。對于第一條支鏈，根據(jù)閉環(huán)幾何約束條件可得到

將式（12）分別在x、y軸上投影展開為

已知A1、C1及P點(diǎn)的坐標(biāo)，可將式（13）進(jìn)一步化簡為

式中

兩個(gè)約束方程存在兩個(gè)未知數(shù)θi、βi，將式（14）等號兩邊平方，并作相加處理，可消去βi得到方程為

進(jìn)一步，求解式（16）可得

至此，已構(gòu)建了3-RRR 平面并聯(lián)機(jī)器人的位置反解模型。

3 3?RRR 構(gòu)型的工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間是指動(dòng)平臺所能運(yùn)動(dòng)到空間上所有軌跡點(diǎn)的集合［21］。傳統(tǒng)分析機(jī)構(gòu)工作空間的方法，基于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，采用二維搜索法得到機(jī)構(gòu)的位置工作空間圖，其方法簡單、便捷。基于此，結(jié)合桿長行程變化對工作空間的影響，研究工作空間的幾何特性。

3.1 支鏈的工作空間

假設(shè)第i條分支運(yùn)動(dòng)鏈在動(dòng)平臺中心處斷開，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)鏈可以看作串聯(lián)機(jī)器人，支鏈末端點(diǎn)在工作空間上的點(diǎn)集，稱為支鏈工作空間。選取第1支鏈作為支鏈工作空間的分析，如圖5 所示。其中，桿長lB1C1可在一定的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

以A1為中心作支鏈掃過的區(qū)域，記為第1 類支鏈工作空間，如圖6（a），其外半徑為

內(nèi)孔半徑為

圖5 第1 分支鏈Fig.5 The first branching chain

顯然，當(dāng)桿長l1≤l2時(shí)，機(jī)構(gòu)工作空間不形成空洞，而當(dāng)A1副的轉(zhuǎn)角受到約束時(shí)，子工作空間形成1 個(gè)扇形區(qū)域，記為第2 類支鏈工作空間，如圖6（b）。

圖6 支鏈工作空間Fig.6 Branched chain workspace

3.2 位置工作空間

機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺有3 個(gè)輸入?yún)?shù)xp、yp及姿態(tài)角γ。當(dāng)γ為定值時(shí)，只考慮支鏈1 的約束，參考點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)范圍可由支鏈工作空間沿lC1P移動(dòng)得到；當(dāng)考慮3 條支鏈的約束時(shí)，滿足3 條支鏈工作空間分別沿著Cj P（j=7，8，9）平移，可得到3 條支鏈工作空間的交集部分，即為機(jī)構(gòu)的位置工作空間，設(shè)置動(dòng)平臺邊長a=160 mm，定平臺邊長b=300 mm，如圖7 中綠色區(qū)域。

3.3 桿長行程分析

支鏈的桿長行程變化，對應(yīng)的位置工作空間形式存在一定的差異。在此基于運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，選取γ=0 rad，分析桿長對機(jī)構(gòu)位置工作空間的影響。

（1）主動(dòng)桿l1與從動(dòng)桿l2不相等。設(shè)置l1=120 mm，l2=160 mm，得到的位置工作空間如圖8所示。

（2）主動(dòng)桿l1與從動(dòng)桿l2相等。首先，設(shè)置l1=l2=160 mm，得到的位置工作空間如圖9（a）所示；接著，設(shè)置l1=l2=120 mm，得到的位置工作空間如圖9（b）所示。

圖7 3-RRR 機(jī)構(gòu)位置工作空間Fig.7 3-RRR mechanical position workspace

圖8 第1 類位置工作空間Fig.8 The first kind of position workspace

圖9 第2 類位置工作空間Fig.9 The second kind of position workspace

由圖9（a）顯示，l1、l2的桿長分別為160 mm 時(shí)，機(jī)構(gòu)的工作空間大于第1 類機(jī)構(gòu)位置工作空間。由圖9（b）顯示，l1，l2的桿長分別為120 mm 時(shí)，機(jī)構(gòu)的位置工作空間最小。

（3）設(shè)置主動(dòng)桿l1=120 mm，120 mm≤l2≤240 mm。鑒于從動(dòng)桿桿長行程較大，在不影響桿長變動(dòng)范圍內(nèi)，分別選取桿長的最小值、中間值及最大值作為研究對象，畫出對應(yīng)的位置工作空間，分別如圖10（a～c）所示。

圖10 第3 類位置工作空間Fig.10 The third kind of position workspace

從圖10 可以看出，在120 mm≤l2≤180 mm時(shí)，機(jī)構(gòu)的位置工作空間隨著從動(dòng)桿桿長的增大而增大；在180 mm≤l2≤240 mm 時(shí)，機(jī)構(gòu)的位置工作空間隨著從動(dòng)桿桿長的增大而減小。結(jié)果表明，當(dāng)從動(dòng)桿桿長選取為主動(dòng)桿桿長的1.5 倍時(shí)，此時(shí)3-RRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置工作空間最大。

4 結(jié)論

本文通過設(shè)計(jì)一種可重構(gòu)支鏈，提出了一種新型可重構(gòu)三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并計(jì)算分析了其工作空間。主要研究結(jié)論如下：

（1）實(shí)現(xiàn)了3-RPR 型與3-RRR 型平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)之間的切換，為解決傳統(tǒng)三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)桿長尺寸固定、構(gòu)型單一等問題，提供了一種新的方案。

（2）以3-RRR 型平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，分析了機(jī)構(gòu)重要的拓?fù)渲笜?biāo)值；建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，并研究了桿長行程變化對工作空間的影響。

（3）基于運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，分析桿長行程變化對位置工作空間的影響。結(jié)果表明，當(dāng)從動(dòng)桿桿長選取為主動(dòng)桿桿長的1.5 倍時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置工作空間最大。